Pensieve header: Proof of invariance of $\rho_1$.

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Talks\\Waco-2203"];
Once[<<KnotTheory`; <<RVK.m];
(Subscript[δ, i_,j_]):=If[TrueQ[i==j],1,0];
ρ[K_]:=Module[{Cs,r,n,A,s,i,j,k,Δ,G,g,ρ1},
{Cs,r}=List@@RVK[K]; n=Length[Cs];
A=IdentityMatrix[2n+1];
Cases[Cs,{s_,i_,j_}:>(A[[{i,j},{i+1,j+1}]]=(({{-(T^s), (T^s)-1}, {0, -1}})))];
Δ=(T^((-Total[r]-Total[Cs[[All,1]]])/2))Det[A];
G=Inverse[A];(Subscript[g, α_,β_]):=G[[α,β]];
Echo@Union@Flatten@Simplify@Table[{s,i,j}=c;
{(Subscript[g, i,k])==(Subscript[δ, i,k])+(T^s)(Subscript[g, i+1,k])+(1-(T^s))(Subscript[g, j+1,k]), (Subscript[g, j,k])==(Subscript[δ, j,k])+(Subscript[g, j+1,k]),
(Subscript[g, k,i])==(T^(-s))((Subscript[g, k,i+1])-(Subscript[δ, k,i+1])), (Subscript[g, k,j])==(Subscript[g, k,j+1])-(1-(T^s))(Subscript[g, k,i])-(Subscript[δ, k,j+1])},
{c,Cs},{k,2n+1}
];
ρ1=(∑_(k=1)^n)({s,i,j}=Cs[[k]]; s((1-(T^s))(Subscript[g, j,i])((Subscript[g, j,i])-(Subscript[g, i,i]))+2(Subscript[g, j,j])(Subscript[g, j,i])-(Subscript[g, j,i])(Subscript[g, i,j])-(Subscript[g, j,j])(Subscript[g, i,i])-(Subscript[g, j,i])+(Subscript[g, i,i])-1/2));
ρ1-=(∑_(k=1)^(2n))r[[k]]((Subscript[g, k,k])-1/2);
Factor@{Δ,(Δ^2)ρ1}];
Table[K->ρ[K], {K,AllKnots[{3,6}]}]

PR[s_,i_,j_]:={
(Subscript[g, i,m_]):>(Subscript[δ, i,m])+(T^s)(Subscript[g, i+1,m])+(1-(T^s))(Subscript[g, j+1,m]), (Subscript[g, j,m_]):>(Subscript[δ, j,m])+(Subscript[g, j+1,m]),
(Subscript[g, m_,i]):>(T^(-s))((Subscript[g, m,i+1])-(Subscript[δ, m,i+1])), (Subscript[g, m_,j]):>(Subscript[g, m,j+1])-(1-(T^s))(Subscript[g, m,i])-(Subscript[δ, m,j+1])
}

R[s_,i_,j_]:=s((1-(T^s))(Subscript[g, j,i])((Subscript[g, j,i])-(Subscript[g, i,i]))+2(Subscript[g, j,j])(Subscript[g, j,i])-(Subscript[g, j,i])(Subscript[g, i,j])-(Subscript[g, j,j])(Subscript[g, i,i])-(Subscript[g, j,i])+(Subscript[g, i,i])-1/2)

lhs=Simplify[R[1,i,j]+R[1,i+1,k]+R[1,j+1,k+1]//.PR[1,i,j]⋃PR[1,i+1,k]⋃PR[1,j+1,k+1]]

PR[1,i,j]

rhs=Simplify[R[1,j,k]+R[1,i,k+1]+R[1,i+1,j+1]//.PR[1,j,k]⋃PR[1,i,k+1]⋃PR[1,i+1,j+1]]

Simplify[lhs-rhs]