Pensieve header: Examples for “Geography vs. Identity”. Most material is from TurboGassner.nb at pensieve://2019-11/.

δ /: (Subscript[δ, i_,j_]):=If[i==j,1,0];

(Subscript[τ, i_,j_])[ζ_] := (ζ /. {(Subscript[z_, k_]):>(Subscript[z, k/.{i->j,j->i}]),(Subscript[z_, l_,k_]):>(Subscript[z, l/.{i->j,j->i},k/.{i->j,j->i}])})
(* Non-linear over ℚ((Subscript[t, i]^(±1)))! *)

The Burau Representation

(Subscript[B, i_,j_])[ξ_]:=ξ/.(Subscript[v, k_]):>(Subscript[v, k])+(Subscript[δ, k,j])(t-1)((Subscript[v, j])-(Subscript[v, i]))//Expand

(bas3={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])})//(Subscript[B, 1,2])

bas3//(Subscript[B, 1,2])//(Subscript[B, 1,3])//(Subscript[B, 2,3])

bas3//(Subscript[B, 2,3])//(Subscript[B, 1,3])//(Subscript[B, 1,2])

The Gassner Representation

(Subscript[G, i_,j_])[ξ_]:=ξ/.(Subscript[v, k_]):>(Subscript[v, k])+(Subscript[δ, k,j])((Subscript[t, i])-1)((Subscript[v, j])-(Subscript[v, i]))//Expand

(bas3//(Subscript[G, 1,2])//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 2,3]))==(bas3//(Subscript[G, 2,3])//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 1,2]))

{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,2])//(Subscript[G, 1,3])
{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 1,2])

{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 2,3])
{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 2,3])//(Subscript[G, 1,3])

({(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,2])//(Subscript[τ, 1,2])//(Subscript[τ, 2,3])//(Subscript[τ, 1,2]))-({(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[τ, 2,3])//(Subscript[τ, 1,2])//(Subscript[G, 2,3])//(Subscript[τ, 2,3]))

({(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,2])//(Subscript[τ, 2,3])//(Subscript[τ, 1,2]))-({(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[τ, 2,3])//(Subscript[τ, 1,2])//(Subscript[G, 2,3]))

The Turbo-Gassner Representation

(Subscript[TG, i_,j_])[ξ_] := ξ /. {
(Subscript[v, k_]):>(Subscript[v, k])+(Subscript[δ, k,j])(((Subscript[t, i])-1)((Subscript[v, j])-(Subscript[v, i]))+(Subscript[v, i,j])-(Subscript[v, i,i]))+(Subscript[δ, k,i])((Subscript[u, j])-(Subscript[u, i]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),
(Subscript[v, l_,k_]):>(Subscript[v, l,k])+((Subscript[t, i])-1)
((Subscript[δ, k,j])((Subscript[v, l,j])-(Subscript[v, l,i]))+((Subscript[δ, l,i])-(Subscript[δ, l,j])(Subscript[t, i]^(-1))(Subscript[t, j]))((Subscript[u, k])+(Subscript[δ, k,j])((Subscript[t, i])-1)((Subscript[u, j])-(Subscript[u, i])))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])),
(Subscript[u, k_]):>(Subscript[u, k])+(Subscript[δ, k,j])((Subscript[t, i])-1)((Subscript[u, j])-(Subscript[u, i])),
(Subscript[w, k_]):>(Subscript[w, k])+((Subscript[δ, k,j])-(Subscript[δ, k,i]))((Subscript[t, i]^(-1))-1)(Subscript[w, j])}//Expand

bas3={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3]),(Subscript[v, 1,1]),(Subscript[v, 1,2]),(Subscript[v, 1,3]),(Subscript[v, 2,1]),(Subscript[v, 2,2]),(Subscript[v, 2,3]),(Subscript[v, 3,1]),(Subscript[v, 3,2]),(Subscript[v, 3,3]),(Subscript[u, 1]^2) (Subscript[w, 1]),(Subscript[u, 1]^2) (Subscript[w, 2]),(Subscript[u, 1]^2) (Subscript[w, 3]),(Subscript[u, 1]) (Subscript[u, 2]) (Subscript[w, 1]),(Subscript[u, 1]) (Subscript[u, 2]) (Subscript[w, 2]),(Subscript[u, 1]) (Subscript[u, 2]) (Subscript[w, 3]),(Subscript[u, 1]) (Subscript[u, 3]) (Subscript[w, 1]),(Subscript[u, 1]) (Subscript[u, 3]) (Subscript[w, 2]),(Subscript[u, 1]) (Subscript[u, 3]) (Subscript[w, 3]),(Subscript[u, 2]^2) (Subscript[w, 1]),(Subscript[u, 2]^2) (Subscript[w, 2]),(Subscript[u, 2]^2) (Subscript[w, 3]),(Subscript[u, 2]) (Subscript[u, 3]) (Subscript[w, 1]),(Subscript[u, 2]) (Subscript[u, 3]) (Subscript[w, 2]),(Subscript[u, 2]) (Subscript[u, 3]) (Subscript[w, 3]),(Subscript[u, 3]^2) (Subscript[w, 1]),(Subscript[u, 3]^2) (Subscript[w, 2]),(Subscript[u, 3]^2) (Subscript[w, 3])};
(bas3//(Subscript[TG, 1,2])//(Subscript[TG, 1,3])//(Subscript[TG, 2,3]))==(bas3//(Subscript[TG, 2,3])//(Subscript[TG, 1,3])//(Subscript[TG, 1,2]))

(bas3//(Subscript[TG, 1,2])//(Subscript[τ, 2,3])//(Subscript[τ, 1,2]))==(bas3//(Subscript[τ, 2,3])//(Subscript[τ, 1,2])//(Subscript[TG, 2,3]))