SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Talks\\LearningSeminarOnCategorification-2006"];
<< "../../Projects/Profile/Profile.m";
<< "../../Projects/SL2Portfolio2/Engine-Speedy.m";
<< "../../Projects/SL2Portfolio2/Objects.m";
$k=0; γ=ℏ=1;

(Subscript[R, i,j])

(Subscript[cm, i,j->k])

(Subscript[dm, i,j->k])

(Subscript[𝔾, sp1_])[ω1_,L1_,Q1_]//(Subscript[𝔼, sp2__])[L2_,Q2_,P2_]:=(Subscript[𝔼, {}->sp1])[L1,Q1,ω1+O[ϵ]]//(Subscript[𝔼, sp2])[L2,Q2,P2]

G1=Expand/@(Subscript[𝔾, {1,2,3}])[ω,{(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 3])}.(({{(Subscript[l, 11]), (Subscript[l, 12]), (Subscript[l, 13])}, {(Subscript[l, 21]), (Subscript[l, 22]), (Subscript[l, 23])}, {(Subscript[l, 31]), (Subscript[l, 32]), (Subscript[l, 33])}})).{(Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3])},{(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]),(Subscript[y, 3])}.(({{α, β, θ}, {g, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}})).{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}]

G1//(Subscript[cm, 1,2->0])//Simplify

(Subscript[𝔼, {}->r_])[L_,Q_,P_]//𝔾:=(Subscript[𝔾, r])[Normal@P,L,Q]

G1//(Subscript[cm, 1,2->0])//𝔾

(Subscript[𝔾, S_])[ω_,L_,Q_]//𝔾Form := Module[{M,i,j},
M = Table[Simplify[(∂_((Subscript[x, i]),(Subscript[y, j])))Q],{i,S},{j,S}];
PrependTo[M, (Subscript[y, #])&/@S];
M = Join[
{Prepend[(Subscript[x, #])&/@S, ω]},
Transpose[M],
{Prepend[Table[(∂_(Subscript[a, i]))L,{i,S}], "𝔾"]}
];
MatrixForm[M]
];

(Subscript[𝔾, S1_])[ω1_,L1_,Q1_]≡(Subscript[𝔾, S2_])[ω2_,L2_,Q2_]:=(Sort[S1]===Sort[S2])∧Simplify[ω1==ω2]∧Simplify[L1==L2]∧Simplify[Q1==Q2]

G1//𝔾Form

G1//(Subscript[cm, 1,2->0])//𝔾//𝔾Form

(G2=(Subscript[𝔾, {0,3}])[(ω/(1-g (Subscript[b, 0]))),{(Subscript[b, 0]),(Subscript[b, 3])}.(({{(Subscript[l, 11])+(Subscript[l, 12])+(Subscript[l, 21])+(Subscript[l, 22]), (Subscript[l, 13])+(Subscript[l, 23])}, {(Subscript[l, 31])+(Subscript[l, 32]), (Subscript[l, 33])}})).{(Subscript[a, 0]),(Subscript[a, 3])},{(Subscript[y, 0]),(Subscript[y, 3])}.(({{((β+(α δ-g β) (Subscript[b, 0])+δ (Subscript[B, 0]^((Subscript[l, 11])+(Subscript[l, 21]))) (Subscript[B, 3]^(Subscript[l, 31]))+α (Subscript[B, 0]^((Subscript[l, 12])+(Subscript[l, 22]))) (Subscript[B, 3]^(Subscript[l, 32]))+g (Subscript[B, 0]^((Subscript[l, 11])+(Subscript[l, 12])+(Subscript[l, 21])+(Subscript[l, 22]))) (Subscript[B, 3]^((Subscript[l, 31])+(Subscript[l, 32]))))/(1-g (Subscript[b, 0]))), ((θ+(α ϵ-g θ) (Subscript[b, 0])+ϵ (Subscript[B, 0]^((Subscript[l, 11])+(Subscript[l, 21]))) (Subscript[B, 3]^(Subscript[l, 31])))/(1-g (Subscript[b, 0])))}, {((ψ+(δ ϕ-g ψ) (Subscript[b, 0])+ϕ (Subscript[B, 0]^((Subscript[l, 12])+(Subscript[l, 22]))) (Subscript[B, 3]^(Subscript[l, 32])))/(1-g (Subscript[b, 0]))), ((Ξ+(ϵ ϕ-g Ξ) (Subscript[b, 0]))/(1-g (Subscript[b, 0])))}})).{(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 3])}])//𝔾Form
(G1//(Subscript[cm, 1,2->0])//𝔾)≡G2

(({{((β+(α δ-g β) (Subscript[b, 0])+δ (Subscript[B, 0]^((Subscript[l, 11])+(Subscript[l, 21]))) (Subscript[B, 3]^(Subscript[l, 31]))+α (Subscript[B, 0]^((Subscript[l, 12])+(Subscript[l, 22]))) (Subscript[B, 3]^(Subscript[l, 32]))+g (Subscript[B, 0]^((Subscript[l, 11])+(Subscript[l, 12])+(Subscript[l, 21])+(Subscript[l, 22]))) (Subscript[B, 3]^((Subscript[l, 31])+(Subscript[l, 32]))))/(1-g (Subscript[b, 0]))), ((θ+(α ϵ-g θ) (Subscript[b, 0])+ϵ (Subscript[B, 0]^((Subscript[l, 11])+(Subscript[l, 21]))) (Subscript[B, 3]^(Subscript[l, 31])))/(1-g (Subscript[b, 0])))}, {((ψ+(δ ϕ-g ψ) (Subscript[b, 0])+ϕ (Subscript[B, 0]^((Subscript[l, 12])+(Subscript[l, 22]))) (Subscript[B, 3]^(Subscript[l, 32])))/(1-g (Subscript[b, 0]))), ((Ξ+(ϵ ϕ-g Ξ) (Subscript[b, 0]))/(1-g (Subscript[b, 0])))}}))/.

G1//(Subscript[dm, 1,2->0])//𝔾//𝔾Form

(G3=(Subscript[𝔾, {0,3}])[(ω/(1+g((Subscript[B, 0])-1))),{(Subscript[b, 0]),(Subscript[b, 3])}.(({{(Subscript[l, 11])+(Subscript[l, 12])+(Subscript[l, 21])+(Subscript[l, 22]), (Subscript[l, 13])+(Subscript[l, 23])}, {(Subscript[l, 31])+(Subscript[l, 32]), (Subscript[l, 33])}})).{(Subscript[a, 0]),(Subscript[a, 3])},{(Subscript[y, 0]),(Subscript[y, 3])}.(({{((β-g β+α δ+(g β-α δ) (Subscript[B, 0])+δ (Subscript[B, 0]^((Subscript[l, 11])+(Subscript[l, 21]))) (Subscript[B, 3]^(Subscript[l, 31]))+α (Subscript[B, 0]^((Subscript[l, 12])+(Subscript[l, 22]))) (Subscript[B, 3]^(Subscript[l, 32]))+g (Subscript[B, 0]^((Subscript[l, 11])+(Subscript[l, 12])+(Subscript[l, 21])+(Subscript[l, 22]))) (Subscript[B, 3]^((Subscript[l, 31])+(Subscript[l, 32]))))/(1+g((Subscript[B, 0])-1))), ((α ϵ+θ-g θ+(-α ϵ+g θ) (Subscript[B, 0])+ϵ (Subscript[B, 0]^((Subscript[l, 11])+(Subscript[l, 21]))) (Subscript[B, 3]^(Subscript[l, 31])))/(1+g((Subscript[B, 0])-1)))}, {((δ ϕ+ψ-g ψ+(-δ ϕ+g ψ) (Subscript[B, 0])+ϕ (Subscript[B, 0]^((Subscript[l, 12])+(Subscript[l, 22]))) (Subscript[B, 3]^(Subscript[l, 32])))/(1+g((Subscript[B, 0])-1))), ((Ξ-g Ξ+ϵ ϕ+(g Ξ-ϵ ϕ) (Subscript[B, 0]))/(1+g((Subscript[B, 0])-1)))}})).{(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 3])}])//𝔾Form
(G1//(Subscript[dm, 1,2->0])//𝔾)≡G3