Pensieve header: Will it work with an imaginary integrand? (Maybe, but not here).

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Talks\\Groningen-240530"];

Preliminaries

Once[<<KnotTheory`; <<Rot.m];

CF[ω_.ℰ_𝔼]:=CF[ω]CF/@ℰ;
CF[ℰ_List]:=CF/@ℰ;
CF[ℰ_] := Module[{vs,ps,c},
vs=Cases[ℰ,(Subscript[(x|p|ξ|π), __]),∞]⋃{x,p,ϵ};
Total[CoefficientRules[Expand[ℰ], vs] /. (ps_->c_) :> Factor[c](Times@@(vs^ps))] ];

Integration

𝔼/:𝔼[A_]𝔼[B_]:=𝔼[A+B];

$π=Identity; (* hacks in pink *)

Unprotect[Integrate];
∫ω_.𝔼[L_]\[DifferentialD](vs_List):=Module[{n,L0,Q,Δ,G,Z0,Z,λ,DZ,FZ,a,b},
n=Length@vs; L0=L/.ϵ->0;
Q=Table[(-(∂_(vs[[a]],vs[[b]]))L0)/.Thread[vs->0]/.(Subscript[(p|x), __])->0,{a,n},{b,n}];
If[(Δ=Det[Q])==0,Return@"Degenerate\! Q!"];
Z=Z0=CF@$π[L+vs.Q.vs/2]; G=Inverse[Q];
(Subscript[DZ, a_]):=(∂_(vs[[a]]))Z; (Subscript[DZ, a_,b_]):=(∂_(vs[[b]]))(Subscript[DZ, a]);
FZ:=CF@$π[(1/2)(∑_(a=1)^n)(∑_(b=1)^n)G[[a,b]]((Subscript[DZ, a,b])+(Subscript[DZ, a])(Subscript[DZ, b]))];
FixedPoint[(Z=Z0+(∫_0^λ)FZ \[DifferentialD]λ)&,Z];
PowerExpand@Factor[ω (Δ^(-1/2))]𝔼[CF[Z/.λ->1/.Thread[vs->0]]]];
Protect[Integrate];

The Right-Handed Trefoil

K=Mirror@Knot[3,1]; Features[K]

ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[s_]]:=(T^(s/2))𝔼[
(Subscript[x, i])((Subscript[p, i+1])-(Subscript[p, i]))+(Subscript[x, j])((Subscript[p, j+1])-(Subscript[p, j]))+((T^s)-1)(Subscript[x, i])((Subscript[p, i+1])-(Subscript[p, j+1]))+(ϵ s/2)×((Subscript[x, i])((Subscript[p, i])-(Subscript[p, j]))(((T^s)-1)(Subscript[x, i])(Subscript[p, j])+2(-(Subscript[x, j])(Subscript[p, j])))+1)]
ℒ[(Subscript[C, i_])[0]]:=𝔼[(Subscript[x, i])((Subscript[p, i+1])-(Subscript[p, i]))];
ℒ[(Subscript[C, i_])[1]]:=(T^(1/2))𝔼[(Subscript[x, i])((Subscript[p, i+1])-(Subscript[p, i]))+ϵ ((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]) (Subscript[x, i]^2)(Subscript[p, i]^2))];
ℒ[(Subscript[C, i_])[-1]]:=(T^(-1/2))𝔼[(Subscript[x, i])((Subscript[p, i+1])-(Subscript[p, i]))+ϵ ((Subscript[c, 3])+(Subscript[c, 4]) (Subscript[x, i]^2)(Subscript[p, i]^2))];
ℒ[K_]:=CF[ℒ/@Features[K][[2]]]
vs[K_]:=Join@@Table[{(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i])},{i,Features[K][[1]]}]

{vs[K],ℒ[K]}

$π=Normal[#+((O[ϵ])^2)]&;∫ℒ[K]\[DifferentialD](vs@K)

Invariance Under Reidemeister 3

lhs=∫(𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+I (Subscript[π, k])(Subscript[p, k])]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, i+1,k])[1](Subscript[X, j+1,k+1])[1]))\[DifferentialD]{(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[p, k]),(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[x, k]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[p, k+1]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[x, k+1])};
rhs=∫(𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+I (Subscript[π, k])(Subscript[p, k])]ℒ/@((Subscript[X, j,k])[1](Subscript[X, i,k+1])[1](Subscript[X, i+1,j+1])[1]))\[DifferentialD]{(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[p, k]),(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[x, k]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[p, k+1]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[x, k+1])};
lhs==rhs

lhs

Invariance Under Reidemeister 2b

Territory: (Subscript[(x|p), (SuperPlus[(i|j)])]), (Subscript[x, i|j]).

lhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, i+1,j+1])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1])}
rhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, j])[0](Subscript[C, j+1])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1])};
lhs==rhs

Invariance Under R2c

lhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]ℒ/@((Subscript[X, i+1,j])[1](Subscript[X, i,j+2])[-1](Subscript[C, j+1])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[x, j+2]),(Subscript[p, j+2])}
rhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, j])[0](Subscript[C, j+1])[1](Subscript[C, j+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[x, j+2]),(Subscript[p, j+2])};
lhs==rhs

Invariance Under R1l

lhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]ℒ/@((Subscript[X, i+2,i])[1](Subscript[C, i+1])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2])}
rhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, i+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2])};
lhs==rhs

Invariance Under R1r

lhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]ℒ/@((Subscript[X, i,i+2])[1](Subscript[C, i+1])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2])}
rhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, i+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2])};
lhs==rhs

(lhs==rhs)/.{(Subscript[c, 5])->0}

Invariance Under Sw

lhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]ℒ/@((Subscript[X, i+1,j+1])[1](Subscript[C, i])[-1](Subscript[C, j])[-1](Subscript[C, i+2])[1](Subscript[C, j+2])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2]),(Subscript[x, j+2]),(Subscript[p, j+2])}
rhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]ℒ/@((Subscript[X, i+1,j+1])[1](Subscript[C, i])[0](Subscript[C, j])[0](Subscript[C, i+2])[0](Subscript[C, j+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2]),(Subscript[x, j+2]),(Subscript[p, j+2])};
lhs==rhs