Clear[λ];
K=Knot[8,2]

soup=Times@@PD[K]/.x:X[i_,j_,k_,l_]:>If[PositiveQ[x],
a[j,i]a[k,-j]a[-l,-k]a[-i,l],
a[-j,i]a[k,j]a[l,-k]a[-i,-l] ]

cs=soup//.a[i_,x___,j_]a[j_,y___,k_]:>a[i,x,j,y,k]

A=Table[0,Length@cs,Length@cs]

t=1-(λ^2); r=t+t\[Conjugate];

{t,r}

Times@@PD[K]/.x:X[i_,j_,k_,l_]:>(
aps=If[PositiveQ[x],{j,k,-l,-i},{-j,k,l,-i}];
is=Position[cs,#][[1,1]]& /@ aps;
A[[is,is]]+=If[PositiveQ[x],
(({{0, t\[Conjugate], 0, -t\[Conjugate]}, {t, -r, -t\[Conjugate], 2t\[Conjugate]}, {0, -t, 0, t}, {-t, 2t, t\[Conjugate], -r}})),(({{r, -t, -2 t\[Conjugate], t\[Conjugate]}, {-t\[Conjugate], 0, t\[Conjugate], 0}, {-2t, t, r, -t\[Conjugate]}, {t, 0, -t, 0}}))
])

A

Plot[MatrixSignature[A/.λ->(E^(I t))], {t,0,π}]

Bed[K_,λ_]:=Module[{soup,a,cs,A,is,t,r},
t=1-(λ^2); r=t+t\[Conjugate];
soup=Times@@PD[K]/.x:X[i_,j_,k_,l_]:>If[PositiveQ[x],
a[j,i]a[k,-j]a[-l,-k]a[-i,l],
a[-j,i]a[k,j]a[l,-k]a[-i,-l] ];
cs=soup//.a[i_,x___,j_]a[j_,y___,k_]:>a[i,x,j,y,k];
A=Table[0,Length@cs,Length@cs];
Times@@PD[K]/.x:X[i_,j_,k_,l_]:>(
aps=If[PositiveQ[x],{j,k,-l,-i},{-j,k,l,-i}];
is=Position[cs,#][[1,1]]& /@ aps;
A[[is,is]]+=If[PositiveQ[x],
(({{0, t\[Conjugate], 0, -t\[Conjugate]}, {t, -r, -t\[Conjugate], 2t\[Conjugate]}, {0, -t, 0, t}, {-t, 2t, t\[Conjugate], -r}})),(({{r, -t, -2 t\[Conjugate], t\[Conjugate]}, {-t\[Conjugate], 0, t\[Conjugate], 0}, {-2t, t, r, -t\[Conjugate]}, {t, 0, -t, 0}}))
]);
MatrixSignature[A]
];