Pensieve header:  The rank 2 mod $\epsilon^2$ invariant using integration techniques; continues UC4A2.nb and Theta.nb at pensieve://Projects/HigherRank/.

Initialization

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Talks\\Beijing-2407"];
Once[<<KnotTheory`; <<Rot.m];

(Subscript[T, 3])=(Subscript[T, 1])(Subscript[T, 2]);
(SuperPlus[i_]):=i+1;

The Lagrangian

nb2tex$PDFWidth *= 1.25;

ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[1]]:=(Subscript[T, 3])𝔼[Plus[
(∑_(ν=1)^3)((Subscript[x, ν,i])((Subscript[p, ν,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, ν,i]))+(Subscript[x, ν,j])((Subscript[p, ν,(SuperPlus[j])])-(Subscript[p, ν,j]))+((Subscript[T, ν])-1)(Subscript[x, ν,i])((Subscript[p, ν,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, ν,(SuperPlus[j])]))),
(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 2,i])((Subscript[T, 1])(Subscript[x, 1,i])-(Subscript[x, 1,j])),
ϵ((Subscript[T, 3])-1)(Subscript[p, 1,j])(Subscript[x, 3,i])((Subscript[p, 2,j])-(Subscript[p, 2,i])),
ϵ(1/2-(Subscript[p, 3,i])(Subscript[x, 3,i])-(Subscript[T, 3])(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 2,i])+(Subscript[p, 2,j])(Subscript[p, 3,i])(Subscript[x, 2,j])(Subscript[x, 3,i])-(Subscript[T, 2])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 2,i])(Subscript[x, 3,j])+((Subscript[T, 3])-1)(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 3,i])((Subscript[T, 1])(Subscript[p, 1,j])(Subscript[x, 1,i])+(Subscript[T, 2])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 2,i]))+((Subscript[p, 1,j])(Subscript[x, 1,j])((Subscript[p, 2,i])(Subscript[x, 2,i])-(Subscript[p, 3,i])(Subscript[x, 3,i]))+(Subscript[T, 1])(Subscript[p, 1,i])(Subscript[x, 1,i])((Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 3,j])-(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 2,j]))+((Subscript[T, 3])-1)(Subscript[p, 1,j])(Subscript[x, 1,j])((Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 2,i])-(Subscript[T, 1])(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 3,i])))/((Subscript[T, 1])-1)),
((O[ϵ])^2)
]]

Simplify[First[(Subscript[T, 3]^(-1))ℒ[(Subscript[X, i,j])[1]]]==(((-(Subscript[p, 1,i])+(Subscript[p, 1,(SuperPlus[i])])) (Subscript[x, 1,i])+(-1+(Subscript[T, 1])) ((Subscript[p, 1,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, 1,(SuperPlus[j])])) (Subscript[x, 1,i])+(-(Subscript[p, 1,j])+(Subscript[p, 1,(SuperPlus[j])])) (Subscript[x, 1,j])+(-(Subscript[p, 2,i])+(Subscript[p, 2,(SuperPlus[i])])) (Subscript[x, 2,i])+(-1+(Subscript[T, 2])) ((Subscript[p, 2,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, 2,(SuperPlus[j])])) (Subscript[x, 2,i])+(Subscript[T, 1]) (Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 1,i]) (Subscript[x, 2,i])-(Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 1,j]) (Subscript[x, 2,i])+(-(Subscript[p, 2,j])+(Subscript[p, 2,(SuperPlus[j])])) (Subscript[x, 2,j])+(-(Subscript[p, 3,i])+(Subscript[p, 3,(SuperPlus[i])])) (Subscript[x, 3,i])+(-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) ((Subscript[p, 3,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, 3,(SuperPlus[j])])) (Subscript[x, 3,i])+(-(Subscript[p, 3,j])+(Subscript[p, 3,(SuperPlus[j])])) (Subscript[x, 3,j]))+((1/2)-(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2]) (Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 2,j]) (Subscript[x, 1,i]) (Subscript[x, 2,i])+(((Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 2,i]) (Subscript[x, 1,j]) (Subscript[x, 2,i]))/(-1+(Subscript[T, 1])))+(((-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 2,j]) (Subscript[x, 1,j]) (Subscript[x, 2,i]))/(-1+(Subscript[T, 1])))-(((Subscript[T, 1]) (Subscript[p, 1,i]) (Subscript[p, 2,j]) (Subscript[x, 1,i]) (Subscript[x, 2,j]))/(-1+(Subscript[T, 1])))+(1-(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 2,i]) (Subscript[x, 3,i])+(-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 2,j]) (Subscript[x, 3,i])-(Subscript[p, 3,i]) (Subscript[x, 3,i])+(Subscript[T, 1]) (-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 1,i]) (Subscript[x, 3,i])-(((Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 3,i]) (Subscript[x, 1,j]) (Subscript[x, 3,i]))/(-1+(Subscript[T, 1])))-(((Subscript[T, 1]) (-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 1,j]) (Subscript[x, 3,i]))/(-1+(Subscript[T, 1])))+(Subscript[T, 2]) (-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (Subscript[p, 2,j]) (Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 2,i]) (Subscript[x, 3,i])+(Subscript[p, 2,j]) (Subscript[p, 3,i]) (Subscript[x, 2,j]) (Subscript[x, 3,i])+(((Subscript[T, 1]) (Subscript[p, 1,i]) (Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 1,i]) (Subscript[x, 3,j]))/(-1+(Subscript[T, 1])))-(Subscript[T, 2]) (Subscript[p, 2,j]) (Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 2,i]) (Subscript[x, 3,j])) ϵ+((O[ϵ])^2))]

ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[-1]]:=(Subscript[T, 3]^(-1))𝔼[Plus[
(∑_(ν=1)^3)((Subscript[x, ν,i])((Subscript[p, ν,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, ν,i]))+(Subscript[x, ν,j])((Subscript[p, ν,(SuperPlus[j])])-(Subscript[p, ν,j]))+((Subscript[T, ν]^(-1))-1)(Subscript[x, ν,i])((Subscript[p, ν,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, ν,(SuperPlus[j])]))),
(Subscript[T, 2]^(-1))((Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 1,j])(Subscript[x, 2,i])-(Subscript[T, 1]^(-1))(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 2,i])),
ϵ (Subscript[T, 1]^(-1))(((Subscript[T, 3])-1)(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 2,i])(Subscript[x, 3,i])-((Subscript[T, 3])-1)(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 3,i])),
ϵ(-1/2+(Subscript[p, 3,i])(Subscript[x, 3,i])-(Subscript[T, 1]^(-1))(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 2,i])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 2,i])-(1-(Subscript[T, 1]^(-1))-(Subscript[T, 2]^(-1)))(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 2,i])-(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 1,j])(Subscript[x, 2,i])-(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 2,j])+(Subscript[T, 1]^(-1))(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 3,i])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 3,i])-(1-(Subscript[T, 2]^(-1)))(Subscript[p, 2,j])(Subscript[p, 3,i])(Subscript[x, 2,i])(Subscript[x, 3,i])-(Subscript[p, 2,j])(Subscript[p, 3,i])(Subscript[x, 2,j])(Subscript[x, 3,i])+(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 3,j])+(Subscript[p, 2,j])(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 2,i])(Subscript[x, 3,j])+(1-(Subscript[T, 3]^(-1)))(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 3,i])((Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 2,j])+(Subscript[p, 1,j])(Subscript[x, 1,i])-(Subscript[p, 2,i])(Subscript[x, 2,i])+(2-(Subscript[T, 2]^(-1)))(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 2,i]))+((Subscript[T, 1])(1-(Subscript[T, 2]^(-1)))(Subscript[p, 1,i])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 2,i])-(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 2,i])(Subscript[x, 1,j])(Subscript[x, 2,i])+(Subscript[T, 1])(Subscript[p, 1,i])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 2,j])-(Subscript[T, 2]^(-1))((Subscript[T, 3])-1)(Subscript[p, 1,i])(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 3,i])+(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 3,i])(Subscript[x, 1,j])(Subscript[x, 3,i])-(Subscript[T, 1])(Subscript[p, 1,i])(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 3,j]))/((Subscript[T, 1])-1)),
((O[ϵ])^2)
]]

Simplify[First[(Subscript[T, 3])ℒ[(Subscript[X, i,j])[-1]]]==(((-(Subscript[p, 1,i])+(Subscript[p, 1,(SuperPlus[i])])) (Subscript[x, 1,i])+(-1+(1/(Subscript[T, 1]))) ((Subscript[p, 1,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, 1,(SuperPlus[j])])) (Subscript[x, 1,i])+(-(Subscript[p, 1,j])+(Subscript[p, 1,(SuperPlus[j])])) (Subscript[x, 1,j])+(-(Subscript[p, 2,i])+(Subscript[p, 2,(SuperPlus[i])])) (Subscript[x, 2,i])+(-1+(1/(Subscript[T, 2]))) ((Subscript[p, 2,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, 2,(SuperPlus[j])])) (Subscript[x, 2,i])-(((Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 1,i]) (Subscript[x, 2,i]))/((Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])))+(((Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 1,j]) (Subscript[x, 2,i]))/(Subscript[T, 2]))+(-(Subscript[p, 2,j])+(Subscript[p, 2,(SuperPlus[j])])) (Subscript[x, 2,j])+(-(Subscript[p, 3,i])+(Subscript[p, 3,(SuperPlus[i])])) (Subscript[x, 3,i])+(-1+(1/((Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])))) ((Subscript[p, 3,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, 3,(SuperPlus[j])])) (Subscript[x, 3,i])+(-(Subscript[p, 3,j])+(Subscript[p, 3,(SuperPlus[j])])) (Subscript[x, 3,j]))+(-(1/2)-(((Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 2,i]) (Subscript[x, 1,i]) (Subscript[x, 2,i]))/(Subscript[T, 1]))+(((Subscript[T, 1]) (-1+(Subscript[T, 2])) (Subscript[p, 1,i]) (Subscript[p, 2,j]) (Subscript[x, 1,i]) (Subscript[x, 2,i]))/((-1+(Subscript[T, 1])) (Subscript[T, 2])))-(((-(Subscript[T, 1])-(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 2,j]) (Subscript[x, 1,i]) (Subscript[x, 2,i]))/((Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])))-(((Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 2,i]) (Subscript[x, 1,j]) (Subscript[x, 2,i]))/(-1+(Subscript[T, 1])))-(Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 2,j]) (Subscript[x, 1,j]) (Subscript[x, 2,i])+(((Subscript[T, 1]) (Subscript[p, 1,i]) (Subscript[p, 2,j]) (Subscript[x, 1,i]) (Subscript[x, 2,j]))/(-1+(Subscript[T, 1])))-(Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 2,j]) (Subscript[x, 1,i]) (Subscript[x, 2,j])+(((-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 2,i]) (Subscript[x, 3,i]))/(Subscript[T, 1]))-(((-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 2,j]) (Subscript[x, 3,i]))/(Subscript[T, 1]))+(Subscript[p, 3,i]) (Subscript[x, 3,i])+(((Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 3,i]) (Subscript[x, 1,i]) (Subscript[x, 3,i]))/(Subscript[T, 1]))-(((-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (Subscript[p, 1,i]) (Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 1,i]) (Subscript[x, 3,i]))/((-1+(Subscript[T, 1])) (Subscript[T, 2])))+(((-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 1,i]) (Subscript[x, 3,i]))/((Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])))+(((Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 3,i]) (Subscript[x, 1,j]) (Subscript[x, 3,i]))/(-1+(Subscript[T, 1])))-(((-1+(Subscript[T, 2])) (Subscript[p, 2,j]) (Subscript[p, 3,i]) (Subscript[x, 2,i]) (Subscript[x, 3,i]))/(Subscript[T, 2]))-(((-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (Subscript[p, 2,i]) (Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 2,i]) (Subscript[x, 3,i]))/((Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])))+(((-1+2 (Subscript[T, 2])) (-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (Subscript[p, 2,j]) (Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 2,i]) (Subscript[x, 3,i]))/((Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2]^2)))-(Subscript[p, 2,j]) (Subscript[p, 3,i]) (Subscript[x, 2,j]) (Subscript[x, 3,i])+(((-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])) (Subscript[p, 2,j]) (Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 2,j]) (Subscript[x, 3,i]))/((Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])))-(((Subscript[T, 1]) (Subscript[p, 1,i]) (Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 1,i]) (Subscript[x, 3,j]))/(-1+(Subscript[T, 1])))+(Subscript[p, 1,j]) (Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 1,i]) (Subscript[x, 3,j])+(Subscript[p, 2,j]) (Subscript[p, 3,j]) (Subscript[x, 2,i]) (Subscript[x, 3,j])) ϵ+((O[ϵ])^2))]

ℒ[(Subscript[C, i_])[φ_]]:=(Subscript[T, 3]^φ)𝔼[(∑_(ν=1)^3)(Subscript[x, ν,i])((Subscript[p, ν,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, ν,i]))+ϵ φ((Subscript[p, 3,i]) (Subscript[x, 3,i])-1/2)+((O[ϵ])^2)]

ℒ[(Subscript[C, i])[φ]]

nb2tex$PDFWidth /= 1.25;

<< FormalGaussianIntegration.m

(Subscript[ps, i_]):=Sequence[(Subscript[p, 1,i]),(Subscript[p, 2,i]),(Subscript[p, 3,i])];
(Subscript[xs, i_]):=Sequence[(Subscript[x, 1,i]),(Subscript[x, 2,i]),(Subscript[x, 3,i])];
(Subscript[vs, i_]):=Sequence[(Subscript[ps, i]),(Subscript[xs, i])];
ℱ[is___]:=𝔼[Sum[(Subscript[π, ν,i])(Subscript[p, ν,i]),{i,{is}}, {ν,3}]];
ℒ[K_]:=CF[ℒ/@Features[K][[2]]];
vs[K_] := Union@@Table[{(Subscript[vs, i])},{i,Features[K][[1]]}]

Reidemeister 3

BalancingHack=ReplaceAll[ϵSeries[most___,last_]:>ϵSeries[most,CF[last/.{(Subscript[π, ss__]):>(B^(-1))(Subscript[π, ss]), (Subscript[p, ss__]):>B (Subscript[p, ss])}]/.(B^(b_))/;b<0->0]];

Short[lhs=∫ℱ[i,j,k]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),k])[1](Subscript[X, (SuperPlus[j]),(SuperPlus[k])])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, k]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[k])])}//BalancingHack]

rhs=∫ℱ[i,j,k]ℒ/@((Subscript[X, j,k])[1](Subscript[X, i,(SuperPlus[k])])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),(SuperPlus[j])])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, k]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[k])])}//BalancingHack;lhs==rhs

The Trefoil

K=Knot[3,1]; ∫ℒ[K]\[DifferentialD] vs[K]