n=3;
A=IdentityMatrix[n];
Do[A=A.MatrixExp[SparseArray[{α,β}->(Subscript[ξ, α,β]),{n,n}]],{β,1,n},{α,1,β}];
A//MatrixForm

Reduce[x+y+z==0&&x+y==0]

Solve[(E^x)==(E^y),x, Assuming ->{ y∈Reals}]

(Subscript[utm, n_])[i_,j_->k_]:=Module[{A,α,β,eqns,vars,sol,ζ},
(Subscript[𝔼, {i,j}->{k}])[
A=IdentityMatrix[n];
Do[A=A.MatrixExp[SparseArray[{α,β}->(Subscript[ξ, α,β]),{n,n}]],{β,1,n},{α,1,β}]; (* This specifies the PBW ordering *)
eqns=And@@Thread[Flatten[CF[(Inverse[A/.(Subscript[ξ, αβ__]):>(Subscript[ζ, αβ])]/.(Subscript[ζ, α_,α_]):>(Subscript[ξ, α,α])[i]+(Subscript[ξ, α,α])[j]).(A/.(Subscript[ξ, αβ__]):>(Subscript[ξ, αβ])[i]).(A/.(Subscript[ξ, αβ__]):>(Subscript[ξ, αβ])[j])]]==Flatten[IdentityMatrix[n]]];vars=Union@Cases[eqns,(Subscript[ζ, __]),∞];{sol}=Solve[eqns,vars];
CF[(vars/.(Subscript[ζ, αβ__])->(Subscript[x, αβ])[k]).(vars/.sol)+Sum[(Subscript[x, α,α])[k]((Subscript[ξ, α,α])[i]+(Subscript[ξ, α,α])[j]),{α,n}]]
]
];

(Subscript[utm, n_])[i_,j_->k_]:=Module[{A,α,β,lhs,rhs,eqns,vars,sol,ζ},
(Subscript[𝔼, {i,j}->{k}])[
A=IdentityMatrix[n];
Do[A=A.MatrixExp[SparseArray[{α,β}->(Subscript[ξ, α,β]),{n,n}]],{β,1,n},{α,1,β}]; (* This specifies the PBW ordering *)
lhs=(A/.(Subscript[ξ, αβ__]):>(Subscript[ξ, αβ])[i]).(A/.(Subscript[ξ, αβ__]):>(Subscript[ξ, αβ])[j]);
rhs=A/.(Subscript[ξ, αβ__]):>(Subscript[ζ, αβ])/.(Subscript[ζ, α_,α_]):>(Subscript[ξ, α,α])[i]+(Subscript[ξ, α,α])[j];
eqns=And@@Thread[Flatten/@CF/@(lhs==rhs)];
vars=Union@Cases[rhs,(Subscript[ζ, __]),∞];{sol}=Solve[eqns,vars];
CF[(vars/.(Subscript[ζ, αβ__])->(Subscript[x, αβ])[k]).(vars/.sol)+Sum[(Subscript[x, α,α])[k]((Subscript[ξ, α,α])[i]+(Subscript[ξ, α,α])[j]),{α,n}]]
]
];

(Subscript[utm, 3])[1,2->3]

Table[First@Timing[n->(Subscript[utm, n])[1,2->3]],{n,6}]
Table[First@Timing[n->(Subscript[utm, n])[1,2->3]],{n,7}]

Short[lhs=(Subscript[utm, 5])[1,2->2]//(Subscript[utm, 5])[2,3->1]]
rhs=(Subscript[utm, 5])[2,3->2]//(Subscript[utm, 5])[1,2->1];
lhs≡rhs

TriangularSolve[eqns_,vars_]:=Module[{sol={}},
MapThread[
{e,v}|->sol=sol⋃First@Solve[e/.sol,v],
{eqns,vars}
];
sol
]

(Subscript[utm, n_])[i_,j_->k_]:=Module[{A,α,β,lhs,rhs,eqns,vars,sol,ζ},
(Subscript[𝔼, {i,j}->{k}])[
A=IdentityMatrix[n];
Do[A=A.MatrixExp[SparseArray[{α,β}->(Subscript[ξ, α,β]),{n,n}]],{β,1,n},{α,1,β}]; (* This specifies the PBW ordering *)
lhs=(A/.(Subscript[ξ, αβ__]):>(Subscript[ξ, αβ])[i]).(A/.(Subscript[ξ, αβ__]):>(Subscript[ξ, αβ])[j]);
rhs=A/.(Subscript[ξ, αβ__]):>(Subscript[ζ, αβ])/.(Subscript[ζ, α_,α_]):>(Subscript[ξ, α,α])[i]+(Subscript[ξ, α,α])[j];
sol=TriangularSolve[
Flatten@Table[lhs[[α,α+δα]]==rhs[[α,α+δα]],{δα,1,n-1},{α,1,n-δα}],
vars=Flatten@Table[(Subscript[ζ, α,α+δα]),{δα,1,n-1},{α,1,n-δα}]
];
CF[(vars/.(Subscript[ζ, αβ__])->(Subscript[x, αβ])[k]).(vars/.sol)+Sum[(Subscript[x, α,α])[k]((Subscript[ξ, α,α])[i]+(Subscript[ξ, α,α])[j]),{α,n}]]
]
];

(Subscript[utm, 3])[1,2->3]

Table[First@Timing[n->(Subscript[utm, n])[1,2->3]],{n,9}]

n=5;
lhs=(Subscript[utm, n])[1,2->2]//(Subscript[utm, n])[2,3->1]
rhs=(Subscript[utm, n])[2,3->2]//(Subscript[utm, n])[1,2->1];
lhs≡rhs