n=2

(Subscript[ξ, α_,α_]):=Log[(Subscript[Ξ, α])]

A=B=IdentityMatrix[n]

Do[A=A.MatrixExp[SparseArray[{α,β}->(Subscript[ξ, α,β])/.(Subscript[ξ, α_,α_]):>Log[(Subscript[Ξ, α])],{n,n}]],{β,1,n},{α,1,β}]; (* This specifies the PBW ordering *)

Do[B=MatrixExp[SparseArray[{β,α}->(Subscript[η, α,β]),{n,n}]].B,{β,2,n},{α,1,β-1}];

MatrixForm/@{A,B}

M=(A/.{(Subscript[ξ, αβ__]):>(Subscript[ξ, αβ])[i],(Subscript[Ξ, α_]):>(Subscript[Ξ, α])[i]}).(B/.(Subscript[η, αβ__]):>(Subscript[η, αβ])[j])

LU=First@LUDecomposition[M, Pivoting -> False]

MatrixForm[L=LowerTriangularize[LU,-1]+IdentityMatrix[n]]

MatrixForm[U=UpperTriangularize[LU]]

Simplify[L.U-M]

A/.{ξ->ξ1,Ξ->Ξ1}//MatrixForm

B/.η->η1//MatrixForm

eqnsU=Table[U[[α,α+δα]]==(A[[α,α+δα]]/.{ξ->ξ1,Ξ->Ξ1}),{δα,0,n-1},{α,1,n-δα}]

varsU=Flatten@{Table[(Subscript[Ξ1, α]),{α,1,n}],Table[(Subscript[ξ1, α,α+δα]),{δα,1,n-1},{α,1,n-δα}]}

solU=TriangularSolve[eqnsU,varsU]

eqnsL=Table[(L[[α+δα,α]]/.solU)==(B[[α+δα,α]]/.{η->η1}),{δα,1,n-1},{α,1,n-δα}]

varsL=Flatten@Table[(Subscript[η1, α,α+δα]),{δα,1,n-1},{α,1,n-δα}]

solL=TriangularSolve[eqnsL,varsL]

vars=varsU⋃varsL/.(Subscript[Ξ1, α_]):>(Subscript[ξ1, α,α])

sol=solU⋃solL/.((Subscript[Ξ1, α_])->ℰ_):>((Subscript[ξ1, α,α])->Log[ℰ])

CF[(vars/.{(Subscript[η1, αβ__])->(Subscript[y, αβ])[i],(Subscript[ξ1, αβ__])->(Subscript[x, αβ])[j]}).(vars/.sol)]

(SuperStar[{(Subscript[η, 1,2])[4]}])

With[{n=2,$k=0},
(Subscript[sw, ut,ln,n,$k])[2,4]//Echo//(Subscript[sw, ut,ln,n,$k])[1,4]//Echo//(Subscript[utm, n])[1,2->3]
]

{n=2,$k=0}

(Subscript[sw, ut,ln,n,$k])[1,4]

(Subscript[utm, n])[1,2->3]

(Subscript[sw, ut,ln,n,$k])[1,4]//(Subscript[utm, n])[1,2->3]