Pensieve header: Aw calculations for the WKO4 paper.

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\WKO4"];

Section 1 - Introduction

<< FreeLie.m;
<< AwCalculus.m;
$SeriesShowDegree=4;

Section 2.2 - Some Preliminaries on Lie Algebras and Cyclic Words

(Subscript[x, 1])=LW[1]; (Subscript[x, 2])=LW[2];
{α,β,γ} = LS /@ {(Subscript[x, 1])+b[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])], (Subscript[x, 2])-b[(Subscript[x, 1]),b[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]], (Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])-2b[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]}

{b[α,β], b[α,b[β,γ]]+b[β,b[γ,α]]+b[γ,b[α,β]]}

bch=BCH[LW@x,LW@y]

Timing@{Length@(bch@16), (bch@16)[[1090;;1092]] // TopBracketForm}

{(Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 2])} = CWS /@ {CW["1"]-3CW["121"],  CW["2"]+CW["22"]}

DegreeScale[h] /@ {(Subscript[ω, 1]),(Subscript[ω, 2])}

{λ=⟨1->α, 2 -> β⟩, γ // (Subscript[D, λ])}

λ1=λ; λ2=⟨1->β, 2 -> γ⟩; tb[λ1,λ2]

{(Subscript[D, b[λ1,λ2]])[(Subscript[ω, 1])]@{8}, b[(Subscript[D, λ1]),(Subscript[D, λ2])][(Subscript[ω, 1])]@{8}}

{(Subscript[D, tb[λ1,λ2]])[(Subscript[ω, 1])]@{8}, b[(Subscript[D, λ1]),(Subscript[D, λ2])][(Subscript[ω, 1])]@{8}}

{(Subscript[Γ, 0])[λ], (∂_t)(Subscript[Γ, t])[λ], λ // (E^(-t (Subscript[D, λ]))) // adSeries[(ad/((E^ad)-1)), (Subscript[Γ, t])[λ]]}

{γ // (E^(-t (Subscript[D, λ]))), γ // CC[(Subscript[Γ, t])[λ]]}

{(Subscript[Λ, 0])[λ], (∂_t)(Subscript[Λ, t])[λ], λ // (E^(Subscript[D, (Subscript[Λ, t])[λ]])) // adSeries[(ad/((E^ad)-1)), (Subscript[Λ, t])[λ], tb]}

{γ // CC[t λ], γ // (E^(-(Subscript[D, (Subscript[Λ, t])[λ]])))}

{α // (Subscript[CC, 1])[-γ], α // (Subscript[CC, 1])[-γ] // (Subscript[RC, 1])[γ], α // (Subscript[CC, 1])[-γ] // (Subscript[CC, 1])[γ]}

With[{γ=b[b[LW@v,LW@u],LW@u]}, (Subscript[div, u])[γ]] // TopBracketForm

With[{u=1}, {(Subscript[J, u])[γ], (∫_0^1)(γ // (Subscript[RC, u])[s γ] // (Subscript[div, u]) // (Subscript[CC, u])[-s γ])\[DifferentialD]s}]

{div[λ]@{5}, j[λ]@{5}}

Section 2.3 - The [AT]-inspired presentation (Subscript[E, l]) of (Subscript[(A^w), exp])

(Subscript[x, 1])=LW[1]; (Subscript[x, 2])=LW[2];
{(Subscript[ζ, a])=El[⟨1->LS[(Subscript[x, 1])+b[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]], 2->LS[(Subscript[x, 2])-b[(Subscript[x, 1]),b[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]]]⟩, CWS[CW["1"]-3CW["121"]]],
(Subscript[ζ, b])=El[⟨1->LS[(Subscript[x, 2])-b[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]], 2->LS[(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+b[(Subscript[x, 2]),b[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]]]⟩, CWS[CW["2"]-2CW["12"]]],
(Subscript[ζ, c])=El[⟨1->LS[(Subscript[x, 1])-b[b[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])],b[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]]], 2->LS[(Subscript[x, 2])+3b[(Subscript[x, 1]),b[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])]]]⟩, CWS[CW["1"]-2CW["12"]+CW["121"]]]}

(Subscript[ζ, a])=El[
⟨1->RandomLieSeries[{1,2}], 2 -> RandomLieSeries[{1,2}]⟩,
RandomCWSeries[{1,2}]
]

(Subscript[ζ, b])=El[
⟨3->RandomLieSeries[{3,4}], 4 -> RandomLieSeries[{3,4}]⟩,
RandomCWSeries[{3,4}]
]

(Subscript[ζ, c])=El[
⟨1->RandomLieSeries[{1,2}], 2 -> RandomLieSeries[{1,2}]⟩,
RandomCWSeries[{1,2}]
]

Testing the Union Operation

(Subscript[ζ, a])⋃(Subscript[ζ, b])

Es[(Subscript[ζ, a])]⋃Es[(Subscript[ζ, b])]

Es[(Subscript[ζ, a])⋃(Subscript[ζ, b])]

Testing the Product

(Subscript[ζ, a])**(Subscript[ζ, c])

$SeriesShowDegree=5;

Es[(Subscript[ζ, a])**(Subscript[ζ, c])]

Es[(Subscript[ζ, a])]**Es[(Subscript[ζ, c])]

$SeriesShowDegree=3;

(Subscript[ζ, a])

(Subscript[ζ, a]) // Es

(Subscript[ζ, a]) // Es // El