Pensieve header: Double Integration.

Startup

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\SL2Portfolio2"];
(Subscript[PP, _]):=Identity;
<<"Engine-Speedy.m";
<<"Objects.m";
$k=1;
HL[ℰ_] := Style[ℰ, Background -> If[TrueQ@ℰ,Green,Pink]];
ℏ=γ=1;
RI:=RandomChoice[{-1,1}]×RandomInteger[{1,3}];

(Subscript[(OverBar[R]), 3,4])

(Subscript[P, 1,2])

(Subscript[(OverBar[R]), 3,4])//(Subscript[P, 4,3])

{
int=((Subscript[𝔼, {i}->{1,2}])[(Subscript[β, i])(Subscript[b, 1])+(Subscript[α, i])(Subscript[a, 2]),(Subscript[η, i])(Subscript[y, 1])+(Subscript[ξ, i])(Subscript[x, 2]),1]*(Subscript[(OverBar[R]), 3,4]))//(Subscript[bm, 3,1->1])//(Subscript[am, 4,2->2])//(Subscript[P, 1,2]),
 (Subscript[dΔ, i->i,j])//int
} // Column

(Subscript[𝔼, {}->{1}])[μ (Subscript[a, 1])(Subscript[b, 1]),ν (Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1]),1]//(Subscript[dm, i,1->i])

Block[{$k=1},Module[
{RR=(Subscript[R, 3,4]),AM=(Subscript[am, 2,4->2]),BM=(Subscript[bm, 3,1->1])},
{
pint=Simplify/@(
(Subscript[𝔼, {}->{1}])[μ (Subscript[a, 1])(Subscript[b, 1]),ν (Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1]),1]//(Subscript[dm, i,1->i])//((Subscript[𝔼, {i}->{1,2}])[(Subscript[β, i])(Subscript[b, 1])+(Subscript[α, i])(Subscript[a, 2]),(Subscript[η, i])(Subscript[y, 1])+(Subscript[ξ, i])(Subscript[x, 2]),1]RR)//BM//AM//(Subscript[P, 1,2])
),
pΔint=Simplify/@(
(Subscript[𝔼, {}->{1}])[μ (Subscript[a, 1])(Subscript[b, 1]),ν (Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1]),1]//(Subscript[dm, i,1->i])// (Subscript[dΔ, i->j,i])//((Subscript[𝔼, {i}->{1,2}])[(Subscript[β, i])(Subscript[b, 1])+(Subscript[α, i])(Subscript[a, 2]),(Subscript[η, i])(Subscript[y, 1])+(Subscript[ξ, i])(Subscript[x, 2]),1]RR)//BM//AM//(Subscript[P, 1,2])
),
HL[pint (Subscript[𝔼, {}->{j}])[0,0,1]≡pΔint]
}]] // Column

Block[{$k=1},Table[
pint=Simplify/@(
(Subscript[𝔼, {}->{1}])[μ (Subscript[a, 1])(Subscript[b, 1]),ν (Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1]),1]//(Subscript[dm, i,1->i])//((Subscript[𝔼, {i}->{1,2}])[(Subscript[β, i])(Subscript[b, 1])+(Subscript[α, i])(Subscript[a, 2]),(Subscript[η, i])(Subscript[y, 1])+(Subscript[ξ, i])(Subscript[x, 2]),1]RR)//BM//AM//(Subscript[P, 1,2])
);
pΔint=Simplify/@(
(Subscript[𝔼, {}->{1}])[μ (Subscript[a, 1])(Subscript[b, 1]),ν (Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1]),1]//(Subscript[dm, i,1->i])// (Subscript[dΔ, i->j,i])//((Subscript[𝔼, {i}->{1,2}])[(Subscript[β, i])(Subscript[b, 1])+(Subscript[α, i])(Subscript[a, 2]),(Subscript[η, i])(Subscript[y, 1])+(Subscript[ξ, i])(Subscript[x, 2]),1]RR)//BM//AM//(Subscript[P, 1,2])
);
Echo@HL@TrueQ[pint (Subscript[𝔼, {}->{j}])[0,0,1]≡pΔint],
{RR,{(*(Subscript[R, 3,4]),*)(Subscript[R, 3,4])//(Subscript[bS, 3])//(Subscript[bS, 3])}},{AM,{(Subscript[am, 2,4->2]),(Subscript[am, 4,2->2])}},{BM,{(*(Subscript[bm, 1,3->1]),*)(Subscript[bm, 3,1->1])}}
]]

((Subscript[(OverBar[R]), 3,4])//(Subscript[bS, 3]))≡((Subscript[R, 3,4])//(Subscript[bS, 3])//(Subscript[bS, 3]))

Block[{$k=1},Table[
pint=Simplify/@(
(Subscript[𝔼, {}->{1}])[μ (Subscript[a, 1])(Subscript[b, 1]),ν (Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1]),1]//(Subscript[dm, i,1->i])//((Subscript[𝔼, {i}->{1,2}])[(Subscript[β, i])(Subscript[b, 1])+(Subscript[α, i])(Subscript[a, 2]),(Subscript[η, i])(Subscript[y, 1])+(Subscript[ξ, i])(Subscript[x, 2]),1]RR)//BM//AM//(Subscript[P, 1,2])
);
pΔint=Simplify/@(
(Subscript[𝔼, {}->{1}])[μ (Subscript[a, 1])(Subscript[b, 1]),ν (Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1]),1]//(Subscript[dm, i,1->i])// (Subscript[dΔ, i->i,j])//((Subscript[𝔼, {i}->{1,2}])[(Subscript[β, i])(Subscript[b, 1])+(Subscript[α, i])(Subscript[a, 2]),(Subscript[η, i])(Subscript[y, 1])+(Subscript[ξ, i])(Subscript[x, 2]),1]RR)//BM//AM//(Subscript[P, 1,2])
);
Echo@HL@TrueQ[pint (Subscript[𝔼, {}->{j}])[0,0,1]≡pΔint],
{RR,{(Subscript[R, 3,4]),(Subscript[R, 3,4])//(Subscript[bS, 3])//(Subscript[bS, 3]),(Subscript[R, 3,4])//(Subscript[(OverBar[bS]), 3])//(Subscript[(OverBar[bS]), 3]),(Subscript[R, 3,4])//(Subscript[aS, 4])//(Subscript[aS, 4]),(Subscript[R, 3,4])//(Subscript[(OverBar[aS]), 4])//(Subscript[(OverBar[aS]), 4])}},{AM,{(Subscript[am, 2,4->2]),(Subscript[am, 4,2->2])}},{BM,{(Subscript[bm, 1,3->1]),(Subscript[bm, 3,1->1])}}
]]

Block[{$k=1},inp=Simplify /@ ((Subscript[𝔼, {}->{1}])[RI (Subscript[a, 1])(Subscript[b, 1]),RI (Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1]),1]//(Subscript[dm, i,1->i]));
Table[
Echo@HL@TrueQ[(Subscript[𝔼, {}->{j}])[0,0,1](inp//((Subscript[𝔼, {i}->{1,2}])[(Subscript[β, i])(Subscript[b, 1])+(Subscript[α, i])(Subscript[a, 2]),(Subscript[η, i])(Subscript[y, 1])+(Subscript[ξ, i])(Subscript[x, 2]),1]RR)//BM//AM//(Subscript[P, 1,2]) )≡(inp//ΔΔ//((Subscript[𝔼, {i}->{1,2}])[(Subscript[β, i])(Subscript[b, 1])+(Subscript[α, i])(Subscript[a, 2]),(Subscript[η, i])(Subscript[y, 1])+(Subscript[ξ, i])(Subscript[x, 2]),1]RR)//BM//AM//(Subscript[P, 1,2]))],
{ΔΔ,{(Subscript[dΔ, i->i,j]),(Subscript[dΔ, i->j,i])}},{AM,{(Subscript[dm, 2,4->2]),(Subscript[dm, 4,2->2])}},{BM,{(Subscript[dm, 1,3->1]),(Subscript[dm, 3,1->1])}}, {RR,{(Subscript[R, 3,4]),(Subscript[R, 3,4])//(Subscript[dS, 3])//(Subscript[dS, 3]),(Subscript[R, 3,4])//(Subscript[dS, 4])//(Subscript[dS, 4])}}
]] // MatrixForm