(Subscript[cS, 1])[(Subscript[𝔼, {}->{1}])[0,0,(Subscript[y, 1])]]

{m,i,k}

(Subscript[cS, 1])[(Subscript[𝔼, {}->{1}])[0,0,(Subscript[y, 1])]]

m=cm

(Subscript[cS, 1])[(Subscript[𝔼, {}->{1}])[0,0,(Subscript[y, 1])]]

i=1

(Subscript[cS, 1])[(Subscript[𝔼, {}->{1}])[0,0,(Subscript[y, 1])]]

{m,i,k}={cm,1,1}

{λ,P}={η,Last@(Subscript[cS, 1])[(Subscript[𝔼, {}->{1}])[0,0,(Subscript[y, 1])]]}

P0=Normal@P /. ϵ->0

φs=Flatten@Table[(Subscript[φ, j1,j2,j3,j4])[λ],{j2,0,k},{j3,0,k-j2},{j1,0,2k+1-j2-j3},{j4,0,2k+1-j3-j2-j1}]

Length[φs]

F=Normal@Last@(Subscript[Exp, m,i,k-1])[λ,P]+(ϵ^k)φs.(φs/.(Subscript[φ, js__])[λ]:>Times@@(({(Subscript[y, i]),(Subscript[b, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])})^({js})))

rhs=Normal@Last@(Subscript[m, i,j->i])[(Subscript[𝔼, {}->{i}])[λ P0/.(Subscript[(x|y), i])->0,λ P0/.(Subscript[(b|a|t), i])->0, F+((O[ϵ])^(k+1))](Subscript[𝔼, {}->{j}])[0,0,P+((O[ϵ])^(k+1))/.(Subscript[u_, i]):>(Subscript[u, j])]]

at0=(#==0)& /@ Flatten@CoefficientList[F-1 /. λ->0, {(Subscript[y, i]),(Subscript[b, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}]

Sort[First/@CoefficientRules[P0 F-rhs, {(Subscript[y, i]),(Subscript[b, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}]]

Sort[φs]

((∂_λ)F)+P0 F-rhs

CoefficientRules[((∂_λ)F)+P0 F-rhs, {(Subscript[y, i]),(Subscript[b, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}]

atλ=(#==0)& /@ Flatten@CoefficientList[((∂_λ)F)+P0 F-rhs, {(Subscript[y, i]),(Subscript[b, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}]

DSolve[And@@(at0⋃atλ),φs,λ]

DSolve[And@@(at0⋃atλ)/.ϵ->1,φs,λ]