Pensieve header: A unified verification notebook for the $sl_2$-portfolio project; continues pensieve://Projects/PPSA/nb/Verification.pdf.

Continues pensieve://2017-06/ and pensieve://2017-08/.

Prolog

Go;

wdir=SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\SL2Portfolio"];
NotebookOpen[wdir<>"\\MakeSnips.nb"];

HL[ℰ_] := Style[ℰ, Background -> Yellow];

DocileQ

DQ[ℰ_] := (Exponent[Normal@ℰ /. {a->a/ϵ, (Subscript[a, i_])->(Subscript[a, i])/ϵ, (u:x|y):>(ϵ^(-1/2))u, (Subscript[(u:x|y), i_]):>(ϵ^(-1/2))(Subscript[u, i])}, ϵ, Min]≥0);

DQ/@{(ϵ^2)x y (Subscript[a, 2]), (ϵ^2)(x^2)(y^3)}

Initialization / Utilities

It is verification-risky to work with low $E!

$p=2; $k=1; $E:={$k,$p};
$trim:={(ℏ^(p_.))/;p>$p->0, (ϵ^(k_.))/;k>$k->0};
SetAttributes[{SS,SST},HoldAll];
TRule={(Subscript[T, i_])->(E^(ℏ (Subscript[t, i]))),T->(E^(ℏ t))}; (Subscript[q, ℏ])=(E^(γ ϵ ℏ));
SS[ℰ_,op_]:=Collect[
Normal@Series[If[$p>0,ℰ,ℰ/.TRule],{ℏ,0,$p}],
ℏ,op];
SS[ℰ_]:=SS[ℰ,Together];
SST[ℰ_,op___]:=SS[ℰ/.TRule,op];
Simp[ℰ_,op_]:=Collect[ℰ,_CU|_QU,op];
Simp[ℰ_]:=Simp[ℰ,SS[#,Expand]&];
SimpT[ℰ_]:=Collect[ℰ,_CU|_QU,SST[#,Expand]&];

Differential polynomials (DP):

(Subscript[DP, α_->(Subscript[D, x_]),β_->(Subscript[D, y_])])[P_][λ_]:=Total[CoefficientRules[Normal@P,{α,β}]/.({m_,n_}->c_):>c(∂_({x,m},{y,n}))λ]

HL[(Subscript[DP, x->(Subscript[D, ξ]),y->(Subscript[D, η])])[(x^2)(y^3)][(E^(δ ξ η))]==6 (E^(δ η ξ)) (δ^3) ξ+6 (E^(δ η ξ)) (δ^4) η (ξ^2)+(E^(δ η ξ)) (δ^5) (η^2) (ξ^3)]

CF[ℰ_] := ExpandDenominator@ExpandNumerator@Together[Expand[ℰ] //. (E^(x_))(E^(y_)):>(E^(x+y)) /. (E^(x_)):>(E^(CF[x]))];

Unprotect[SeriesData];
SeriesData /: CF[sd_SeriesData] := MapAt[CF,sd,3];
SeriesData /: Expand[sd_SeriesData] := MapAt[Expand,sd,3];
SeriesData /: Simplify[sd_SeriesData] := MapAt[Simplify,sd,3];
SeriesData /: Together[sd_SeriesData] := MapAt[Together,sd,3];
SeriesData /: Collect[sd_SeriesData,specs__] := MapAt[Collect[#,specs]&,sd,3];
Protect[SeriesData];

Self-Pair (SP):

(Subscript[SP, {}])[P_]:=P; (Subscript[SP, {ξ_->x_,ps___}])[P_] := Expand[P//(Subscript[SP, {ps}])] /. f_.(ξ^(d_.)):>(∂_({x,d}))f

(Subscript[SP, {ξ->x}])[((ξ^2)+ξ+3)((x^5)(E^x)+7x)+99a]

(Subscript[SP, {ξ->x,η->y}])[((ξ^2)+ξ+3+2ξ η)((x^5)(E^x)+7x)+99a+(E^(δ x y))ξ η]

DeclareAlgebra

Unprotect[NonCommutativeMultiply]; Attributes[NonCommutativeMultiply]={};
(NCM=NonCommutativeMultiply)[x_] := x;
NCM[x_,y_,z__] := (x**y)**z;
0**_=_**0=0;
(x_Plus)**y_:=(#**y)&/@x; x_**(y_Plus):=(x**#)&/@y;
B[x_,x_]=0; B[x_,y_] := x**y-y**x;
B[x_,y_,e_]:=B[x,y,e]=B[x,y];

DeclareAlgebra[U_Symbol, opts__Rule] := Module[{gp,sr,g,cp,M,CE,pow,k=0,
gs=Generators /. {opts},
cs=Centrals /. {opts} /. Centrals -> {} },
((Subscript[#, U])=U@#)&/@gs;
gp=Alternatives@@gs; gp=gp|(Subscript[gp, _]);(* gens *)
sr=Flatten@Table[{g->++k, (Subscript[g, i_])->{i,k}},{g,gs}]; (* sorting -> *) 
cp=Alternatives@@cs; (* cents *)
SetAttributes[M,HoldRest]; M[0,_]=0; M[a_,x_]:=a x;
CE[ℰ_]:=Collect[ℰ,_U,Expand]/.$trim;
(Subscript[U, i_])[ℰ_]:=ℰ/.{t:cp:>(Subscript[t, i]),u_U:>((Subscript[#, i])&)/@u};
(Subscript[U, i_])[NCM[]]=pow[ℰ_,0]=U@{}=(Subscript[1, U])=U[];
B[U@(Subscript[(x_), i_]),U@(Subscript[(y_), i_])]:=(Subscript[U, i])@B[U@x,U@y];
B[U@(Subscript[(x_), i_]),U@(Subscript[(y_), j_])] /; i=!=j := 0;
B[U@y_,U@x_]:=CE[-B[U@x,U@y]];
x_**(c_.(Subscript[1, U])):=CE[c x]; (c_.(Subscript[1, U]))**x_:=CE[c x];
(a_.U[xx___,x_])**(b_.U[y_,yy___]) :=If[OrderedQ[{x,y}/.sr],
CE@M[a b/.$trim,U[xx,x,y,yy]],
U@xx**CE@M[a b/.$trim,U@y**U@x+B[U@x,U@y,$E]]**U@yy ];
U@{c_.*(((l:gp))^(n_)),r___}/;FreeQ[c, gp]:= CE[c U@Table[l,{n}]**U@{r}];
U@{c_.*l:gp,r___} := CE[c U[l]**U@{r}];
U@{c_,r___}/;FreeQ[c, gp]:= CE[c U@{r}];
U@{l_Plus, r___} := CE[U@{#,r}& /@ l];
U@{l_,r___} := U@{Expand[l],r};
U[ℰ_NonCommutativeMultiply]:=U/@ℰ;
(Subscript[𝕆, U])[specs___,poly_] := Module[{sp,null,vs,us},
sp=Replace[{specs}, l_List:>(Subscript[l, null]), {1}];
vs=Join@@(First /@ sp);
us=Join@@(sp /. (Subscript[l_, s_]) :> (l/.(Subscript[x_, i_]):>(Subscript[x, s])));
CE[Total[
CoefficientRules[poly, vs] /. (p_->c_) :> c U@((us^p))
]] /. (Subscript[x_, null]):>x];
pow[ℰ_,n_]:=pow[ℰ,n-1]**ℰ;
(Subscript[𝕊, U])[ℰ_,ss___Rule] := CE@Total[
CoefficientRules[ℰ,First/@{ss}]/.(p_->c_):>c NCM@@MapThread[pow,{Last/@{ss},p}]];
(Subscript[m, j_->k_])[c_.*u_U] := CE[((c/.(Subscript[(t:cp), j])->(Subscript[t, k]))DeleteCases[u,(Subscript[_, j|k])])**U@@Cases[u,(Subscript[w_, j]):>(Subscript[w, k])]**U@@Cases[u,(Subscript[_, k])]];
U /: c_.*u_U*v_U := CE[c u**v];
(Subscript[S, i_])[c_.*u_U]:= CE[((c/.(Subscript[S, i])[U,Centrals])DeleteCases[u,(Subscript[_, i])])**(Subscript[U, i])[NCM@@Reverse@Cases[u,(Subscript[x_, i]):>S@U@x]]] ]

DeclareMorphism

DeclareMorphism[m_,U_->V_, ongs_List, oncs_List:{}] := (
Replace[ongs, {(g_->img_) :> (m[U[g]]=img),(g_:>img_) :> (m[U[g]]:=img/.$trim)}, {1}];
m[(Subscript[1, U])]=(Subscript[1, V]);
m[U[(Subscript[g_, i_])]] := (Subscript[V, i])[m[U@g]];
m[U[vs__]] := NCM@@(m/@U/@{vs});
m[ℰ_] := Simp[ℰ /. oncs /.  u_U:>m[u]] /. $trim; )

Meta-Operations

(Subscript[m, j_->j_])=Identity;
(Subscript[m, j_->k_])[ℰ_Plus] := Simp[(Subscript[m, j->k])/@ℰ];
(Subscript[m, is___,i_,j_->k_])[ℰ_]:=(Subscript[m, j->k])@(Subscript[m, is,i->j])@ℰ;
(Subscript[S, i_])[ℰ_Plus] := Simp[(Subscript[S, i])/@ℰ];

Implementing CU=𝒰((Subscript[sl, 2]^(γϵ)))

DeclareAlgebra[CU,Generators->{y,a,x},Centrals->{t}];
B[(Subscript[a, CU]),(Subscript[y, CU])]=-γ (Subscript[y, CU]); B[(Subscript[x, CU]),(Subscript[a, CU])]=-γ (Subscript[x, CU]);
B[(Subscript[x, CU]),(Subscript[y, CU])]=2ϵ (Subscript[a, CU])-t (Subscript[1, CU]);
(S@(Subscript[y, CU])=-(Subscript[y, CU]); S@(Subscript[a, CU])=-(Subscript[a, CU]); S@(Subscript[x, CU])=-(Subscript[x, CU]);)
(Subscript[S, i_])[CU,Centrals]={(Subscript[t, i])->-(Subscript[t, i])};
Δ@(Subscript[y, CU])=CU@(Subscript[y, 1])+(Subscript[T, 1])CU@(Subscript[y, 2]); Δ@(Subscript[a, CU])=CU@(Subscript[a, 1])+CU@(Subscript[a, 2]); Δ@(Subscript[x, CU])=CU@(Subscript[x, 1])+CU@(Subscript[x, 2]);

Verifying associativity on triples of generators:

With[{bas=CU/@{y,a,x}},
Table[z1**(z2**z3)-(z1**z2)**z3 // Simp // HL,
{z1,bas},{z2,bas},{z3,bas} ] ]

Verifying associativity on a “random” triple:

With[{z1=CU[y,y,a,a,x,x], z2=CU[y,a,x], z3=CU[y,y,a,x]}, {
(rhs=(z1**z2)**z3 // Simp) // Short,
z1**(z2**z3)-rhs // Simp //HL
}]// Timing

Verifying that S is an anti-homomorphism on CU:

With[{bas=CU/@{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1])}},
Table[HL@Simp[(Subscript[S, 1])[z1**z2]-(Subscript[S, 1])[z2]**(Subscript[S, 1])[z1]],
{z1,bas},{z2,bas} ] ]

Verifying the involutivity of S on products of triples:

With[{bas=CU/@{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1])}},
Table[HL@Simp[z1**z2**z3-(Subscript[S, 1])@(Subscript[S, 1])[z1**z2**z3]],
{z1,bas},{z2,bas},{z3,bas} ] ]

Verifying relabeling:

(Subscript[t, 1])(Subscript[t, 3])CU[(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 2])]+(Subscript[t, 1])(Subscript[t, 1])CU[(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[x, 2])] // (Subscript[m, 1->3])

Verifying meta-associativity:

Module[{z,u},
Table[u=CU[(Subscript[z[[1]], 1]),(Subscript[z[[2]], 2]),(Subscript[z[[3]], 3])]; z->HL[(Subscript[m, 1,3->3])@(Subscript[m, 2,3->3])@u==(Subscript[m, 2,3->3])@(Subscript[m, 1,2->2])@u],
{z,Tuples[{y,a,x},3]}]]

Implementing QU=(Subscript[𝒰, q])((Subscript[sl, 2]^(γϵ)))

Series[(1-T (E^(-2ϵ a ℏ)))/ℏ, {a,0,3}]

HL/@DQ/@Series[{(1-T (E^(-2ϵ a ℏ)))/ℏ, (E^(ℏ ϵ a))}, {ϵ,0,5}]

DeclareAlgebra[QU, Generators -> {y,a,x}, Centrals -> {t,T}];
B[(Subscript[a, QU]),(Subscript[y, QU])]=-γ (Subscript[y, QU]); B[(Subscript[x, QU]),(Subscript[a, QU])]=-γ QU@x;
B[(Subscript[x, QU]),(Subscript[y, QU])]:=SS[(Subscript[q, ℏ])-1]QU@{y,x}+(Subscript[𝕆, QU])[{a},SS[(1-T (E^(-2ϵ a ℏ)))/ℏ]];
(S@(Subscript[y, QU]):=(Subscript[𝕆, QU])[{a,y},SS[-(T^(-1))(E^(ℏ ϵ a))y]]; S@(Subscript[a, QU])=-(Subscript[a, QU]); S@(Subscript[x, QU]):=(Subscript[𝕆, QU])[{a,x},SS[-(E^(ℏ ϵ a))x]];)
(Subscript[S, i_])[QU,Centrals]={(Subscript[t, i])->-(Subscript[t, i]), (Subscript[T, i])->(Subscript[T, i]^(-1))};
Δ@(Subscript[y, QU]):=(Subscript[𝕆, QU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1])}, 1]),(Subscript[{(Subscript[y, 2])}, 2]),SS[(Subscript[y, 1])+(Subscript[T, 1])(E^(-ℏ ϵ (Subscript[a, 1])))(Subscript[y, 2])]]; Δ@(Subscript[a, QU])=QU@(Subscript[a, 1])+QU@(Subscript[a, 2]); Δ@(Subscript[x, QU]):=(Subscript[𝕆, QU])[(Subscript[{(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1])}, 1]),(Subscript[{(Subscript[x, 2])}, 2]),SS[(Subscript[x, 1])+(E^(-ℏ ϵ (Subscript[a, 1])))(Subscript[x, 2])]];

With[{bas=QU/@{y,a,x}},Table[{z1,z2}->Simp[z1**z2-z2**z1],{z1,bas},{z2,bas}] ]

Verifying associativity on triples of generators:

With[{bas=QU/@{y,a,x}},
Table[HL[z1**(z2**z3)-(z1**z2)**z3] // Simp,
{z1,bas},{z2,bas},{z3,bas} ] ]

Verifying associativity on a “random” triple (~34 secs @ $p=5, $k=2):

With[{z1=QU[y,y,a,a,x,x], z2=QU[y,a,x], z3=QU[y,y,a,x]}, {
(rhs=(z1**z2)**z3 // Simp) // Short,
HL[z1**(z2**z3)-rhs // Simp ]
}]// Timing

Verifying that S is an anti-homomorphism on QU:

With[{bas=QU/@{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1])}},
Table[{z1,z2}->HL@Simp[(Subscript[S, 1])[z1**z2]-(Subscript[S, 1])[z2]**(Subscript[S, 1])[z1]],
{z1,bas},{z2,bas} ] ]

Verifying that (Subscript[Lim, ℏ->0])QU=CU using a “random” product (~23 secs @ $p=5, $k=2):

With[{z1=CU[y,y,a,a,x,x], z2=CU[y,a,x], z3=CU[y,y,a,x]}, {
Short[lhs=z1**(z2**z3)],
Short[rhs=(QU@@z1)**((QU@@z2)**(QU@@z3))],
Expand[Limit[rhs /. TRule⋃{QU->CU}, ℏ->0]-lhs] // HL
}] // Timing

Implementing θ

DeclareMorphism[Cθ,CU->CU, {y->-(Subscript[x, CU]), a->-(Subscript[a, CU]), x->-(Subscript[y, CU])}, {t->-t, T->(T^(-1))}];DeclareMorphism[Qθ,QU->QU, {y:>(Subscript[𝕆, QU])[{a,x},SS[-(T^(-1/2))(E^(ℏ ϵ a))x]], a->-(Subscript[a, QU]), x:>(Subscript[𝕆, QU])[{a,y},SS[-(T^(-1/2))(E^(ℏ ϵ a))y]]}, {t->-t, T->(T^(-1))}]

Verifying involutivity on CU:

With[{bas=CU/@{y,a,x}},
Table[z->Cθ[z]->HL[Cθ[Cθ[z]]], {z,bas}] ]

Verifying that θ is a multiplicative homomorphism on CU:

With[{bas=CU/@{y,a,x}},
Table[Cθ[z1**z2]-Cθ[z1]**Cθ[z2] // HL, {z1,bas},{z2,bas}] ]

Verifying involutivity on QU:

With[{bas=QU/@{y,a,x}},
Table[z->Qθ[z]->HL[Simp[Qθ[Qθ[z]],PowerExpand]], {z,bas}] ]

Verifying that θ is a multiplicative homomorphism on QU:

With[{bas=QU/@{y,a,x}},
Table[{z1,z2}->HL[Simp[Qθ[z1**z2]-Qθ[z1]**Qθ[z2]]], {z1,bas},{z2,bas}] ]

The Asymmetric Dequantizator

Following pensieve://People/VanDerVeen/Dequant1.pdf.

A𝔻$f=γ((Cosh[ℏ(a ϵ+((γ ϵ)/2)-(t/2))]-Cosh[ℏ(Sqrt[(((((t-γ ϵ)/2)))^2)+ϵ ω])])/(ℏ (E^(ℏ((a+γ)ϵ-t/2)))Sinh[((γ ϵ ℏ)/2)]((a^2)ϵ+a γ ϵ-a t-ω)));

Docility of A𝔻$f:

HL@DQ@Block[{$p=4}, Collect[SS@A𝔻$f /. ω->(Subscript[a, 1]), ϵ]]

Scaling behaviour of A𝔻$f:

HL@Simplify[A𝔻$f == ((A𝔻$f /. γ->1) /. {ϵ->γ ϵ, a->(γ^(-1))a, ω->(γ^(-1))ω})]

HL@FullSimplify[A𝔻$f == ((A𝔻$f /. γ->1) /. {ℏ -> (γ^2)ℏ,ϵ->ϵ/γ, a->a/γ, t->(γ^(-2))t, ω->(γ^(-3))ω})]

A𝔻$ω=γ CU[y,x]+ϵ CU[a,a]-(t-γ ϵ)CU[a];

DeclareMorphism[A𝔻,QU->CU,{a->(Subscript[a, CU]),x->CU@x, y:>(Subscript[𝕊, CU])[SS[A𝔻$f],a->(Subscript[a, CU]),ω->A𝔻$ω]**(Subscript[y, CU])}]

Verifying that the asymmetric dequantizator is a homomorphism:

With[{bas=QU/@{y,a,x}},Table[{z1,z2}->HL[SimpT[A𝔻[z1**z2]-A𝔻[z1]**A𝔻[z2]]], {z1,bas},{z2,bas}] ]

The Symmetric Dequantizator

Following pensieve://People/VanDerVeen/Dequant1.pdf.

S𝔻$g=(Sqrt[((2γ(Cosh[(ℏ/2)(Sqrt[(t^2)+(γ^2) (ϵ^2)+4 ϵ ϖ])]-Cosh[((t-ϵ γ-2ϵ a)/(2/ℏ))]))/(Sinh[((γ ϵ ℏ)/2)](t (2 a+γ)-2 a (a+γ) ϵ+2 ϖ) ℏ))]);

S𝔻$f=Simplify[(E^(ℏ(t/2-ϵ a)))(S𝔻$g /. {a->-a, t->-t})];

Verify agreement with the formulas in pensieve://People/VanDerVeen/Dequant1.pdf:

{S𝔻$P=((Cosh[ℏ(((ϵ-t)/2)+ϵ a)]-Cosh[ℏ(Sqrt[(((t^2)+(ϵ^2))/4)+ϵ ϖ])])/(ℏ Sinh[((-ϵ ℏ)/2)](ϖ-ϵ (a^2)+(t-ϵ)a+t/2))),
Simplify[S𝔻$P == (S𝔻$P /. {a->-a-1, t->-t})] // HL,
PowerExpand@Simplify[(S𝔻$P/.{ℏ -> (γ^2)ℏ,ϵ->ϵ/γ, a->a/γ, t->(γ^(-2))t, ϖ->(γ^(-3))ϖ}) == S𝔻$g(S𝔻$g /. {a->-a-γ, t->-t})] // HL,
S𝔻$Q=Simplify[S𝔻$P /. {a->c-1/2}],
Simplify[S𝔻$Q==(S𝔻$Q /. {c->-c, t->-t})] // HL,
FullSimplify[S𝔻$g==FullSimplify[(Sqrt[S𝔻$Q]) /. c->a+1/2/.{ℏ -> (γ^2)ℏ,ϵ->ϵ/γ, a->a/γ, t->(γ^(-2))t, ϖ->(γ^(-3))ϖ}]] // HL,
HL@DQ@Block[{$p=4}, Collect[SS@S𝔻$g /. ω->(Subscript[a, 1]), ϵ]],
HL@DQ@Block[{$p=4}, Collect[SS@S𝔻$f /. ω->(Subscript[a, 1]), ϵ]]
}

S𝔻$ϖ=γ CU[y,x]+ϵ CU[a,a]-(t-γ ϵ)CU[a]-t γ (Subscript[1, CU])/2;

DeclareMorphism[S𝔻,QU->CU,{a->(Subscript[a, CU]),
x:>(Subscript[𝕊, CU])[SS[S𝔻$f],a->(Subscript[a, CU]),ϖ->S𝔻$ϖ]**(Subscript[x, CU]),
y:>(Subscript[𝕊, CU])[SS[S𝔻$g],a->(Subscript[a, CU]),ϖ->S𝔻$ϖ]**(Subscript[y, CU]) }]

Verifying the θ-symmetry:

Table[HL@SimpT[Cθ[S𝔻[z]]==S𝔻[Qθ[z]]], {z, QU/@{y,a,x}}]

Verifying that the symmetric dequantizator is a homomorphism:

With[{bas=QU/@{y,a,x}},Table[{z1,z2}->HL@SimpT[S𝔻[z1**z2]-S𝔻[z1]**S𝔻[z2]], {z1,bas},{z2,bas}] ]

The representation ρ

ρ@(Subscript[y, CU])=ρ@(Subscript[y, QU])=(({{0, 0}, {ϵ, 0}}));ρ@(Subscript[a, CU])=ρ@(Subscript[a, QU])=(({{γ, 0}, {0, 0}}));
ρ@(Subscript[x, CU])=(({{0, γ}, {0, 0}})); ρ@(Subscript[x, QU])=(({{0, (1-(E^(-γ ϵ ℏ)))/(ϵ ℏ)}, {0, 0}}));
ρ[(E^(ℰ_))]:=MatrixExp[ρ[ℰ]];
ρ[ℰ_]:=(ℰ/.TRule/.t->γ ϵ/.(U:CU|QU)[u___]:>Fold[Dot,(({{1, 0}, {0, 1}})),ρ/@U/@{u}])

Verifying that ρ represents CU and QU:

Table[HL[SS[ρ[z1**z2]==ρ[z1].ρ[z2]]/. (ϵ^(k_.))/;k>$k->0], {U,{CU,QU}},{z1,U/@{y,a,x}},{z2,U/@{y,a,x}} ]

Commuting (e^(α a)) with (e^(ξ x)):

Table[HL[ρ[(E^(ξ U@x))].ρ[(E^(α U@a))]==ρ[(E^(α U@a))].ρ[(E^((E^(-γ α))ξ U@x))]], {U,{CU,QU}}]

Œ and the logoi Λ

Logoi from Pensieve://Talks/Toulouse-1705/DogmaDemo.nb and from Pensieve://Talks/Sydney-1708/ExtraDetails@@.nb.

(Subscript[Œ, U_])[s1__,Q1_,P1_](Subscript[Œ, U_])[s2__,Q2_,P2_] ^:= (Subscript[Œ, U])[s1,s2,Q1+Q2,P1 P2];

CU@(Subscript[Œ, CU])[specs___,Q_,P_] := (Subscript[𝕆, CU])[specs,SS[(E^Q)P]];
QU@(Subscript[Œ, QU])[specs___,Q_,P_] := (Subscript[𝕆, QU])[specs,SS[(E^Q)P]];

(Subscript[c_Integer, k_Integer]) := c+((O[ϵ])^(k+1));
(Subscript[Λ, U_,k_])[{α_,β_},{x_,x_}]:=(Subscript[Œ, U])[{x},(α+β)x,(Subscript[1, k])];
(Subscript[Λ, U_,k_])[{ξ_,α_},{x,a}]:=(Subscript[Œ, U])[{a,x},α a+(E^(-γ α))ξ x,(Subscript[1, k])];
(Subscript[Λ, U_,k_])[{α_,η_},{a,y}]:=(Subscript[Œ, U])[{y,a},α a+(E^(-γ α))η y,(Subscript[1, k])];

Table[
{(Subscript[Λ, U,1])[{α,β},{u,u}], lhs=U@(Subscript[Œ, U])[{(Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2])},ℏ(α (Subscript[u, 1])+β (Subscript[u, 2])),1], HL[lhs==U@(Subscript[Λ, U,1])[ℏ{α,β},{u,u}]]},
{U,{CU,QU}}, {u,{y,a,x}}]

{(Subscript[Λ, #,1])[{ξ,α},{x,a}], lhs=#@(Subscript[Œ, #])[{x,a},ℏ(ξ x+α a),1], HL[lhs==#@(Subscript[Λ, #,1])[ℏ{ξ,α},{x,a}]]}& /@ {CU,QU}

{(Subscript[Λ, #,2])[{α,η},{a,y}], lhs=#@(Subscript[Œ, #])[{a,y},ℏ(η y+α a),1], HL[lhs==#@(Subscript[Λ, #,2])[ℏ{α,η},{a,y}]]}& /@ {CU,QU}

Goal. In either U, compute F=(e^(-ηy))(e^(ξx))(e^(ηy))(e^(-ξx)). First compute G=(e^(ξx))((ye)^(-ξx)), a finite sum. Now F satisfies the ODE (∂_η)F=(∂_η)((e^(-ηy))(e^(ηG)))=-yF+FG with initial conditions F(η=0)=1. So we set it up and solve:

If[$k>0,With[{U=CU},
Module[{G,F,fs,bs,e,b,es,sol},
G=Echo@Simp[Table[(ξ^k)/k!, {k,0, $k+1}].NestList[Simp[B[(Subscript[x, U]) ,# ]]&, (Subscript[y, U]), $k+1]];
fs=Echo@Flatten@Table[(Subscript[f, l,i,j,k])[η],{l,0,$k},{i,0, l},{j,0, l},{k,0, l}];
F=Echo[fs.(bs=fs/.(Subscript[f, l_,i_,j_,k_])[η]:>(ϵ^l)U@{(y^i),(a^j),(x^k)})];
es=Flatten[Table[Coefficient[e,b]==0,{e,{F-(Subscript[1, U])/.η->0,F**G-(Subscript[y, U])**F-(∂_η)F}},{b,bs}]];
sol=Echo@First[F/.DSolve[es,fs,η]];
Echo[sol/.{(E^(_))->1,U->Times}];
Collect[sol/.{(E^(_))->1,U->Times}, ϵ, Simplify]
]]]

(Subscript[Λ, U_,kk_])[{ξ1_,η1_},{x,y}]:=(Subscript[Λ, U,kk])[{ξ1,η1},{x,y}]=Block[{$k=kk,$p=kk},Module[{ξ,η,G,F,fs,f,bs,e,b,es},
G=Simp[Table[(ξ^k)/k!, {k,0, $k+1}].NestList[Simp[B[(Subscript[x, U]) ,# ]]&, (Subscript[y, U]), $k+1]];
fs=Flatten@Table[(Subscript[f, l,i,j,k])[η],{l,0,$k},{i,0, l},{j,0, l},{k,0, l}];
F=fs.(bs=fs/.(Subscript[f, l_,i_,j_,k_])[η]:>(ϵ^l)U@{(y^i),(a^j),(x^k)});
es=Flatten[Table[Coefficient[e,b]==0,{e,{F-(Subscript[1, U])/.η->0,F**G-(Subscript[y, U])**F-(∂_η)F}},{b,bs}]];
F=F/.DSolve[es,fs,η][[1]];
(Subscript[Œ, U])[{y,a,x},
ξ x+η y+(U /. {CU->-t η ξ, QU-> η ξ(1-T)/ℏ}),
F+(Subscript[0, $k])/.{(E^(_))->1,U->Times}
] /. {ξ->ξ1,η->η1}]];

Timing@(Subscript[Λ, QU,3])[{ξ,η},{x,y}]

{(Subscript[Λ, CU,1])[{ξ,η},{x,y}], lhs=CU@(Subscript[Œ, CU])[{x,y},ℏ(ξ x+η y),1], HL[lhs==CU@(Subscript[Λ, CU,1])[ℏ{ξ,η},{x,y}]]}

{(Subscript[Λ, QU,1])[{ξ,η},{x,y}], lhs=QU@(Subscript[Œ, QU])[{x,y},ℏ(ξ x+η y),1], HL@SimpT[lhs==QU@(Subscript[Λ, QU,1])[ℏ{ξ,η},{x,y}]]}

{tt=Last[(Subscript[Λ, CU,2])[{ξ,η},{x,y}]],Log[tt], Exponent[Normal@Log[tt]/.{ξ->ℏ ξ, η->ℏ η, x->ℏ x, y->ℏ y},ℏ]} // Expand

{tt=Last[(Subscript[Λ, QU,2])[{ξ,η},{x,y}]],Log[tt], Exponent[Normal@Log[tt]/.{ξ->d ξ, η->d η, x->d x, y->d y},d]} // Expand

Simp[(Subscript[Œ, U_])[specs___,Q_,P_]] := (Subscript[Œ, U])[specs,CF[Q],CF[P]];

(Subscript[Λ, U_,k_])[{υ1_,ω1_,δ_},{u_,w_}] := Simp@Module[{υ,ω,yax,q,p,Q,d},
{yax,q,p}=List@@(Subscript[Λ, U,k])[{υ,ω},{u,w}];
(Subscript[Œ, U])[yax,Q=(υ u+ω w+δ u w+d υ ω)/(1-d δ),Expand[(((1-d δ))^(-1))(E^(-Q))(Subscript[DP, υ->(Subscript[D, u]),ω->(Subscript[D, w])])[p][(E^Q)]]+(Subscript[0, k])] /. {d->(∂_(υ,ω))q}/.{υ->υ1,ω->ω1}];

Block[{$p=4, $k=1},
{(Subscript[Λ, CU,$k])[ℏ{ξ,η,δ},{x,y}],
Short[lhs=CU@(Subscript[Œ, CU])[{x,y},ℏ(ξ x+η y+δ x y),(Subscript[1, $k])], 5],
 HL@Simp[lhs-CU@(Subscript[Λ, CU,$k])[ℏ{ξ,η,δ},{x,y}]]}
]

{(Subscript[Λ, QU,2])[{ξ,η,δ},{x,y}], lhs=QU@(Subscript[Œ, QU])[{x,y},ℏ(ξ x+η y+δ x y),1],HL@SimpT[lhs==QU@(Subscript[Λ, QU,1])[ℏ{ξ,η,δ},{x,y}]]}

{tt=ComposeSeries[(1+t δ)Last[(Subscript[Λ, CU,2])[{ξ,η,δ},{x,y}]],(((1+t δ))^4)ϵ+((O[ϵ])^18)];Together@Log[tt],
Exponent[Normal@Together@Log[tt]/.{ξ->d ξ, η->d η, x->d x, y->d y},d],
Exponent[Normal@Together@Log[tt]/.{x->d x, y->d y},d]
} // Expand

{tt=Last[(Subscript[Λ, QU,2])[{ξ,η,δ},{x,y}]];Log[tt], Exponent[Normal@Together@Log[tt]/.{ξ->d ξ, η->d η, x->d x, y->d y},d]} // Expand

Reorderings with Rord

(Subscript[Rord, (Subscript[u_, i_]),(Subscript[w_, j_])->k_])[(Subscript[Œ, U_])[L___,(Subscript[{l___,(Subscript[u_, i_]),(Subscript[w_, j_]),r___}, s_]),R___,Q_,P_]] := Simp@Module[{υ,ω,δ,Λ1,yax,q,p,kk=P[[5]],δ1=(∂_((Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])))Q},
{yax,q,p}=Echo[List@@If[δ1===0,(Subscript[Λ, U,kk])[{υ,ω},{u,w}],(Subscript[Λ, U,kk])[{υ,ω,δ},{u,w}]] /. {y->(Subscript[y, k]),a->(Subscript[a, k]),x->(Subscript[x, k]),t->(Subscript[t, s]),T->(Subscript[T, s])}];
(Subscript[Œ, U])[L,(Subscript[{l,Sequence@@yax,r}, s]),R,q+(Q/.(Subscript[u, i])|(Subscript[w, j])->0), (E^(-q))(Subscript[DP, (Subscript[u, i])->(Subscript[D, υ]),(Subscript[w, j])->(Subscript[D, ω])])[P][p (E^q)]] /. {υ->(∂_(Subscript[u, i]))Q/.(Subscript[w, j])->0,ω->(∂_(Subscript[w, j]))Q/.(Subscript[u, i])->0, δ->δ1}];

(Subscript[Rord, (Subscript[u_, i_]),(Subscript[w_, j_])->k_])[(Subscript[Œ, U_])[L___,(Subscript[{l___,(Subscript[u_, i_]),(Subscript[w_, j_]),r___}, s_]),R___,Q_,P_]] := Simp@Module[{υ,ω,δ,Λ1,yax,q,p,n,kk=P[[5]],δ1=(∂_((Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])))Q},
{yax,q,p}=List@@If[δ1===0,(Subscript[Λ, U,kk])[{υ,ω},{u,w}],(Subscript[Λ, U,kk])[{υ,ω,δ},{u,w}]] /. {y->(Subscript[y, n]),a->(Subscript[a, n]),x->(Subscript[x, n]),t->(Subscript[t, s]),T->(Subscript[T, s])};
(*Echo@{{{(Subscript[u, i]),υ},{(Subscript[w, j]),ω}},P,p (E^q)};*)
(Subscript[Œ, U])[L,(Subscript[{l,Sequence@@yax,r}, s]),R,q+(Q/.(Subscript[u, i])|(Subscript[w, j])->0), (E^(-q))(Subscript[SP, {(Subscript[u, i])->υ,(Subscript[w, j])->ω}])[P p (E^q)]] /. {n->k,υ->(∂_(Subscript[u, i]))Q/.(Subscript[w, j])->0,ω->(∂_(Subscript[w, j]))Q/.(Subscript[u, i])->0, δ->δ1}];

With[{c𝕠=(Subscript[Œ, CU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[x, 1])}, 1]), (Subscript[{(Subscript[x, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[y, 2])}, 2]),ℏ (Subscript[t, 1])(Subscript[a, 2])+ℏ (Subscript[t, 1]^(-1))((E^(Subscript[t, 1]))-1)(Subscript[y, 1])(Subscript[x, 2]),(Subscript[1, 2])+ϵ (Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])]},
{Short[rhs=c𝕠//(Subscript[Rord, (Subscript[x, 2]),(Subscript[a, 2])->3]),3], HL[CU[c𝕠]==CU[rhs]]}]

With[{c𝕠=(Subscript[Œ, CU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2])}, 1]), (Subscript[{(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[y, 2])}, 2]),
ℏ((Subscript[l, 11])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 12])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 2])+(Subscript[l, 21])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 22])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[γ, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[γ, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2])),(Subscript[1, 2])+ϵ((Subscript[l, 1])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[p, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[p, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2]))]},
{Short[rhs=c𝕠//(Subscript[Rord, (Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2])->3]) // (Subscript[Rord, (Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 1])->4]),3], HL[CU[c𝕠]==CU[rhs]]}]

ℏ (Subscript[a, 3]) (Subscript[l, 11]) (Subscript[t, 1])+ℏ (Subscript[a, 3]) (Subscript[l, 12]) (Subscript[t, 1])+ℏ (Subscript[a, 3]) (Subscript[l, 21]) (Subscript[t, 2])+ℏ (Subscript[a, 3]) (Subscript[l, 22]) (Subscript[t, 2])+ℏ (Subscript[x, 4]) (Subscript[y, 1]) (Subscript[γ, 11])+ℏ (Subscript[x, 4]) (Subscript[y, 2]) (Subscript[γ, 12])+ℏ (Subscript[x, 4]) (Subscript[y, 1]) (Subscript[γ, 21])+ℏ (Subscript[x, 4]) (Subscript[y, 2]) (Subscript[γ, 22]) // Simplify

With[{c𝕠=(Subscript[Œ, CU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1])}, 1]), (Subscript[{(Subscript[x, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[y, 2])}, 2]),
ℏ((Subscript[l, 11])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 12])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 2])+(Subscript[l, 21])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 22])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[γ, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[γ, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2])),(Subscript[1, 2])+ϵ((Subscript[l, 1])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[p, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[p, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2]))]},
{Short[rhs=c𝕠//(Subscript[Rord, (Subscript[x, 2]),(Subscript[a, 2])->3]),3], HL[CU[c𝕠]==CU[rhs]]}]

With[{q𝕠=(Subscript[Œ, QU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1])}, 1]), (Subscript[{(Subscript[x, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[y, 2])}, 2]),
ℏ((Subscript[l, 11])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 12])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 2])+(Subscript[l, 21])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 22])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[γ, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[γ, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2])),(Subscript[1, 2])+ϵ((Subscript[l, 1])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[p, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[p, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2]))]},
{Short[rhs=q𝕠//(Subscript[Rord, (Subscript[x, 2]),(Subscript[a, 2])->3]),3], HL[QU[q𝕠]==QU[rhs]]}]

With[{q𝕠=(Subscript[Œ, QU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1])}, 1]), (Subscript[{(Subscript[x, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[y, 2])}, 2]),
ℏ((Subscript[l, 11])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 12])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 2])+(Subscript[l, 21])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 22])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[γ, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[γ, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2])),(Subscript[1, 2])+ϵ((Subscript[l, 1])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[p, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[p, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2]))]},
{Short[rhs=q𝕠//(Subscript[Rord, (Subscript[a, 2]),(Subscript[y, 2])->3]),3], HL[QU[q𝕠]==QU[rhs]]}]

Timing@With[{q𝕠=(Subscript[Œ, QU])[(Subscript[{(Subscript[x, 1]),(Subscript[y, 1])}, 1]), (Subscript[{(Subscript[x, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[y, 2])}, 2]),
ℏ((Subscript[l, 12])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 2])+(Subscript[l, 22])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[γ, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[γ, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2])),(Subscript[0, 2])+ϵ((Subscript[l, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[p, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[p, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2]))]},
{Short[rhs=q𝕠//(Subscript[Rord, (Subscript[x, 1]),(Subscript[y, 1])->3]),5]}]

Timing@With[{q𝕠=(Subscript[Œ, QU])[(Subscript[{(Subscript[x, 1]),(Subscript[y, 1])}, 1]), (Subscript[{(Subscript[x, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[y, 2])}, 2]),
ℏ((Subscript[l, 12])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 2])+(Subscript[l, 22])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[γ, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[γ, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2])),(Subscript[1, 2])+ϵ((Subscript[l, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[p, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[p, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2]))]},
{Short[rhs=q𝕠//(Subscript[Rord, (Subscript[x, 1]),(Subscript[y, 1])->3]),5], HL@SimpT[QU[q𝕠]==QU[rhs]]}]

Timing@With[{q𝕠=(Subscript[Œ, QU])[(Subscript[{(Subscript[x, 1]),(Subscript[y, 1])}, 1]), (Subscript[{(Subscript[x, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[y, 2])}, 2]),
ℏ((Subscript[l, 12])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 2])+(Subscript[l, 22])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[γ, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[γ, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2])),(Subscript[1, 2])+ϵ((Subscript[l, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[p, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[p, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2]))]},
{Short[rhs=q𝕠//(Subscript[Rord, (Subscript[x, 1]),(Subscript[y, 1])->1]),5], HL@SimpT[QU[q𝕠]==QU[rhs]]}]

Canonical ordering with Cord

Cord[(Subscript[Œ, U_])[L___,(Subscript[{l___,(Subscript[u_, i_]),(Subscript[w_, j_]),r___}, s_]),R___,Q_,P_]] /; OrderedQ[{w,u} /. {y->1,a->2,x->3}] := ((*Echo@{(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])};*)Cord[(Subscript[Rord, (Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])->Unique[]])[(Subscript[Œ, U])[L,(Subscript[{l,(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j]),r}, s]),R,Q,P]]]);
Cord[(Subscript[Œ, U_])[specs__,Q_,P_]] := (Subscript[Œ, U])[Sequence@@Sort@{specs},Q,P] /. Flatten[{specs} /. (Subscript[{yax__}, s_]):>({yax}/.(Subscript[u_, i_]):>((Subscript[u, i])->(Subscript[u, s])))]

Cord@(Subscript[Œ, CU])[(Subscript[{(Subscript[x, 1]),(Subscript[y, 1])}, 1]),0,(Subscript[0, 1])+(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])]

Block[{$p=4,$k=0, c𝕠=(Subscript[Œ, CU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[y, 2])}, 1]),
ℏ((Subscript[l, 11])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 12])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 2])+(Subscript[l, 21])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 22])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[γ, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[γ, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2])),(Subscript[1, 0])+ϵ((Subscript[l, 1])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[p, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[p, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2]))]},
Timing@{Short[Cord[c𝕠],8], HL@Simp[CU[c𝕠]-CU[Cord[c𝕠]]]}]

Block[{$p=4,$k=1, c𝕠=(Subscript[Œ, CU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[y, 2])}, 1]),
ℏ((Subscript[l, 11])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 12])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 2])+(Subscript[l, 21])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 22])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[γ, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[γ, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2])),(Subscript[1, 1])+ϵ((Subscript[l, 1])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[p, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[p, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2]))]},
Timing@{Short[Cord[c𝕠],8], HL@Simp[CU[c𝕠]-CU[Cord[c𝕠]]]}]

With[{q𝕠=(Subscript[Œ, QU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[y, 2])}, 1]),
ℏ((Subscript[l, 11])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 12])(Subscript[t, 1])(Subscript[a, 2])+(Subscript[l, 21])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 22])(Subscript[t, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[γ, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[γ, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[γ, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2])),(Subscript[1, 0])+ϵ((Subscript[l, 1])(Subscript[a, 1])+(Subscript[l, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[p, 11])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 12])(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])+(Subscript[p, 21])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1])+(Subscript[p, 22])(Subscript[x, 2])(Subscript[y, 2]))]},
Cord[q𝕠]]

Stitching Œ’s.

(Subscript[m, j_->k_])[(Subscript[Œ, U_])[specs__,Q_,P_]] := Cord[(Subscript[Œ, U])[Sequence@@Append[DeleteCases[{specs},(Subscript[{__}, j|k])],(Subscript[Flatten[{Cases[{specs},(Subscript[{us__}, j]):>{us}],Cases[{specs},(Subscript[{us__}, k]):>{us}]}], k])],Q,P] /. {(Subscript[t, j])->(Subscript[t, k]),(Subscript[T, j])->(Subscript[T, k])}]

c𝕠=(Subscript[Œ, CU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1])}, 1]),(Subscript[{(Subscript[y, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[x, 2])}, 2]),(Subscript[{(Subscript[y, 3]),(Subscript[a, 3]),(Subscript[x, 3])}, 3]),ℏ Sum[(Subscript[l, 10i+j])(Subscript[t, i])(Subscript[a, j])+(Subscript[γ, 10i+j])(Subscript[y, i])(Subscript[x, j]), {i,3},{j,3}], (Subscript[1, 2])];
{c𝕠 // (Subscript[m, 3->4]), HL@Simp[CU[(Subscript[m, 3->4])[c𝕠]]-(Subscript[m, 3->4])[CU[c𝕠]]]}

Verifying that m commutes with evaluation, in CU:

c𝕠=(Subscript[Œ, CU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1])}, 1]),(Subscript[{(Subscript[y, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[x, 2])}, 2]),(Subscript[{(Subscript[y, 3]),(Subscript[a, 3]),(Subscript[x, 3])}, 3]),ℏ Sum[(Subscript[l, 10i+j])(Subscript[t, i])(Subscript[a, j])+(Subscript[γ, 10i+j])(Subscript[y, i])(Subscript[x, j]), {i,3},{j,3}], (Subscript[1, 2])];
Timing@{c𝕠 // (Subscript[m, 2->3]), HL@Simp[CU[(Subscript[m, 2->3])[c𝕠]]-(Subscript[m, 2->3])[CU[c𝕠]]]}

Verifying that m commutes with evaluation, in QU:

q𝕠=(Subscript[Œ, QU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1])}, 1]),(Subscript[{(Subscript[y, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[x, 2])}, 2]),(Subscript[{(Subscript[y, 3]),(Subscript[a, 3]),(Subscript[x, 3])}, 3]),ℏ Sum[(Subscript[l, 10i+j])(Subscript[t, i])(Subscript[a, j])+(Subscript[γ, 10i+j])(Subscript[y, i])(Subscript[x, j]), {i,3},{j,3}], (Subscript[1, 2])];
Timing@{q𝕠 // (Subscript[m, 2->3]), HL@SimpT[QU[(Subscript[m, 2->3])[q𝕠]]-(Subscript[m, 2->3])[QU[q𝕠]]]}

(Subscript[Œ, U_])[sp1__,Q1_,P1_]≡(Subscript[Œ, U_])[sp2__,Q2_,P2_] := Sort[{sp1}]==Sort[{sp2}]∧Simplify[Q1==Q2]∧Simplify[Normal[P1-P2]==0]

Verifying meta-associativity in CU:

c𝕠=(Subscript[Œ, CU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1])}, 1]),(Subscript[{(Subscript[y, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[x, 2])}, 2]),(Subscript[{(Subscript[y, 3]),(Subscript[a, 3]),(Subscript[x, 3])}, 3]),ℏ Sum[(Subscript[λ, 10i+j])(Subscript[t, i])(Subscript[a, j])+(Subscript[γ, 10i+j])(Subscript[y, i])(Subscript[x, j]), {i,3},{j,3}], (Subscript[1, 0])];
Timing@HL[(lhs=c𝕠//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1]))≡(rhs=c𝕠//(Subscript[m, 2,3->2])//(Subscript[m, 1,2->1]))]

c𝕠=(Subscript[Œ, CU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1])}, 1]),(Subscript[{(Subscript[y, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[x, 2])}, 2]),(Subscript[{(Subscript[y, 3]),(Subscript[a, 3]),(Subscript[x, 3])}, 3]),ℏ Sum[(Subscript[λ, 10i+j])(Subscript[t, i])(Subscript[a, j])+(Subscript[γ, 10i+j])(Subscript[y, i])(Subscript[x, j]), {i,3},{j,3}], (Subscript[1, 1])];
Timing@HL[(lhs=c𝕠//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1]))≡(rhs=c𝕠//(Subscript[m, 2,3->2])//(Subscript[m, 1,2->1]))]

c𝕠=(Subscript[Œ, CU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1])}, 1]),(Subscript[{(Subscript[y, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[x, 2])}, 2]),ℏ Sum[(Subscript[l, 10i+j])(Subscript[t, i])(Subscript[a, j])+(Subscript[γ, 10i+j])(Subscript[y, i])(Subscript[x, j]), {i,2},{j,2}], (Subscript[1, 1])];
Short[Simplify /@ (cexample=c𝕠//(Subscript[m, 1->2])), 12]
Short[Simplify /@ (qexample=(q𝕠=c𝕠 /. CU->QU)//(Subscript[m, 1->2])),12]

R in QU.

The Faddeev-Quesne formula:

(Subscript[E, q_,k_])[x_]:=E^((∑_(j=1)^(k+1)) (((((1-q))^j)(x^j))/(j(1-(q^j))))); (Subscript[E, q_])[x_]:=(Subscript[E, q,$k])[x]

Table[Series[(Subscript[E, (Subscript[q, ℏ]),k])[x],{ϵ,0,4}], {k,0,5}] // Column

Table[Together@SeriesCoefficient[(Subscript[E, q,5])[x], {x,0,n}], {n,0,5}]

Table[HL@FunctionExpand[QFactorial[n,q]SeriesCoefficient[(Subscript[E, q,5])[x], {x,0,n}]], {n,0,5}]

QU[(Subscript[R, i_,j_])]:=(Subscript[𝕆, QU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1])}, i]),(Subscript[{(Subscript[a, 2]),(Subscript[x, 2])}, j]),SS[(E^(ℏ (Subscript[b, 1])(Subscript[a, 2])))(Subscript[E, (Subscript[q, ℏ])])[ℏ (Subscript[y, 1])(Subscript[x, 2])]/.(Subscript[b, 1])->(γ^(-1))(ϵ (Subscript[a, 1])-(Subscript[t, i]))]];
QU[(Subscript[R, i_,j_]^(-1))]:=(Subscript[S, j])@QU[(Subscript[R, i,j])];

QU[(Subscript[R, 3,4])] // Short

Verifying R2 (~2 secs @ $p=4, $k=2):

QU[(Subscript[R, 1,2])**(Subscript[R, 1,2]^(-1))] // Simp // HL // Timing

Verifying R3 (~156 secs @ $p=4, $k=2):

{Short[lhs=QU[(Subscript[R, 1,2])**(Subscript[R, 1,3])**(Subscript[R, 2,3])]], HL@SimpT[lhs-QU[(Subscript[R, 2,3])**(Subscript[R, 1,3])**(Subscript[R, 1,2])]]} // Timing

R in (Subscript[Œ, QU]).

(Subscript[Œ, QU,k_])[(Subscript[R, i_,j_])]:=(Subscript[Œ, QU])[(Subscript[{(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}, i]),(Subscript[{(Subscript[y, j]),(Subscript[a, j]),(Subscript[x, j])}, j]), -ℏ (γ^(-1))(Subscript[t, i])(Subscript[a, j])+ℏ (Subscript[y, i])(Subscript[x, j]),Series[(E^(ℏ (γ^(-1))(Subscript[t, i])(Subscript[a, j])-ℏ (Subscript[y, i])(Subscript[x, j])))((E^(ℏ (Subscript[b, i])(Subscript[a, j])))(Subscript[E, (Subscript[q, ℏ]),k])[ℏ (Subscript[y, i])(Subscript[x, j])]/.(Subscript[b, i])->(γ^(-1))(ϵ (Subscript[a, i])-(Subscript[t, i]))), {ϵ,0,k}]]

{(Subscript[Œ, QU,1])[(Subscript[R, 1,2])], (Subscript[Œ, QU,2])[(Subscript[R, 1,2])]}

The morphism (Subscript[Œ, U,k]).

(Subscript[Œ, U_,k_])[a_*b_] := (Subscript[Œ, U,k])[a](Subscript[Œ, U,k])[b];
(Subscript[Œ, U_,k_])[(Subscript[m, is__])[a_]] := (Subscript[m, is])[(Subscript[Œ, U,k])[a]];

(Subscript[Œ, QU,1])[(Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 3,4])(Subscript[R, 5,6])]

(Subscript[Œ, QU,1])[(Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 3,4])(Subscript[R, 5,6])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 4,6->4])]

(Subscript[Œ, QU,1])[(Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 3,4])(Subscript[R, 5,6])//(Subscript[m, 3,1->1])//(Subscript[m, 5,2->2])//(Subscript[m, 6,4->4])]

(Subscript[Œ, QU,1])[(Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 3,4])(Subscript[R, 5,6])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 4,6->4])]≡(Subscript[Œ, QU,1])[(Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 3,4])(Subscript[R, 5,6])//(Subscript[m, 3,1->1])//(Subscript[m, 5,2->2])//(Subscript[m, 6,4->4])]

Exponentials as needed.

Block[{$p=2,$k=2},TableForm[StringSplit[
"y|a|x|Cθ@(Subscript[y, CU])|Cθ@(Subscript[a, CU])|Cθ@(Subscript[x, CU])|Qθ@(Subscript[y, QU])|Qθ@(Subscript[a, QU])|Qθ@(Subscript[x, QU])|A𝔻@(Subscript[y, QU])|A𝔻@(Subscript[a, QU])|A𝔻@(Subscript[x, QU])|S𝔻@(Subscript[y, QU])|S𝔻@(Subscript[a, QU])|S𝔻@(Subscript[x, QU])|S@(Subscript[y, CU])|S@(Subscript[a, CU])|S@(Subscript[x, CU])|S@(Subscript[y, QU])|S@(Subscript[a, QU])|S@(Subscript[x, QU])|Δ@(Subscript[y, CU])|Δ@(Subscript[a, CU])|Δ@(Subscript[x, CU])|Δ@(Subscript[y, QU])|Δ@(Subscript[a, QU])|Δ@(Subscript[x, QU])", "|"] /. s_String :> {s, Normal@Simplify@Series[ToExpression[s]/.CU|QU->Times,{ϵ,0,$k}]}]]

Task. Define  (Subscript[Exp, (Subscript[U, i]),k])[ξ,P] which computes (e^(ξ 𝕆(P))) to (ϵ^k) in the algebra (Subscript[U, i]), where ξ is a scalar, X is (Subscript[x, i]) or (Subscript[y, i]), and P is an ϵ-dependent near-docile element, giving the answer in Œ-form. Should satisfy U@(Subscript[Exp, (Subscript[U, i]),k])[ξ,P] == (Subscript[𝕊, U])[(e^(ξ x)), x->𝕆(P)].
Methodology. If (Subscript[P, 0]):=(Subscript[P, ϵ=0]) and (e^(ξ 𝕆(P)))=𝕆((e^(ξ (Subscript[P, 0])))F(ξ)), then F(ξ=0)=1 and we have:
𝕆((e^(ξ (Subscript[P, 0])))((Subscript[P, 0])F(ξ)+(∂_ξ)F)=𝕆((∂_ξ)(e^(ξ (Subscript[P, 0])))F(ξ))=(∂_ξ)𝕆((e^(ξ (Subscript[P, 0])))F(ξ))=(∂_ξ)(e^(ξ 𝕆(P)))=(e^(ξ 𝕆(P)))𝕆(P)=𝕆((e^(ξ (Subscript[P, 0])))F(ξ))𝕆(P).
This is an ODE for F. Setting inductively (Subscript[F, k])=(Subscript[F, k-1])+(ϵ^k)φ we find that (Subscript[F, 0])=1 and solve for φ.

(* Bug: The first line is valid only if 𝕆((E^(Subscript[P, 0])))==(E^(𝕆((Subscript[P, 0])))). *)
(Subscript[Exp, (Subscript[U_, i_]),0])[ξ_,P_]:=(Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}, i]), Normal@P /. ϵ->0, 1+(Subscript[0, 0])];
(Subscript[Exp, (Subscript[U_, i_]),k_])[ξ_,P_]:=Module[{yax={(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])},P0,φ,φs,F,j,rhs,at0,atξ},
P0=Normal@P /. ϵ->0;
φs=Flatten@Table[(Subscript[φ, j1,j2,j3])[ξ],{j2,0,k},{j1,0,2k+1-j2},{j3,0,2k+1-j2-j1}];
F=Normal@Last@(Subscript[Exp, (Subscript[U, i]),k-1])[ξ,P]+(ϵ^k)φs.(φs/.(Subscript[φ, js__])[ξ]:>Times@@(yax^({js})));
rhs=Normal@Last@(Subscript[m, i,j->i])[(Subscript[Œ, U])[(Subscript[yax, i]), ξ P0, F+(Subscript[0, k])](Subscript[m, i->j])@(Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}, i]),0,P+(Subscript[0, k])]];
at0=(#==0)& /@ Flatten@CoefficientList[F-1 /. ξ->0, yax];
atξ=(#==0)& /@ Flatten@CoefficientList[((∂_ξ)F)+P0 F-rhs, yax];
(Subscript[Œ, U])[(Subscript[yax, i]), ξ P0, F+(Subscript[0, k])] /. DSolve[And@@(at0⋃atξ),φs,ξ][[1]] ]

Timing@Block[{$p=4,$k=2},{
s=(Subscript[S, 1])[QU[(Subscript[y, 1])]] /.QU->Times,
exps=(Subscript[Exp, (Subscript[QU, 1]),$k])[η,s], (* Warning: wrong unless $p≥$k+1! *)
HL@Simp[(Subscript[S, 1])@(Subscript[𝕆, QU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1])}, 1]),SS[(E^(ℏ η (Subscript[y, 1])))]] - QU@(exps/.η->ℏ η)]
}]

Timing@Block[{$p=4,$k=2},{
s=(Subscript[S, 1])[QU[(Subscript[a, 1])]] /.QU->Times,
exps=(Subscript[Exp, (Subscript[QU, 1]),$k])[α,s], (* Warning: wrong unless $p≥$k+1! *)
HL@Simp[(Subscript[S, 1])@(Subscript[𝕆, QU])[(Subscript[{(Subscript[a, 1])}, 1]),SS[(E^(ℏ α (Subscript[a, 1])))]] - QU@(exps/.α->ℏ α)]
}]

Timing@Block[{$p=4,$k=2},{
s=(Subscript[S, 1])[QU[(Subscript[x, 1])]] /.QU->Times,
exps=(Subscript[Exp, (Subscript[QU, 1]),$k])[ξ,s], (* Warning: wrong unless $p≥$k+1! *)
HL@Simp[(Subscript[S, 1])@(Subscript[𝕆, QU])[(Subscript[{(Subscript[x, 1])}, 1]),SS[(E^(ℏ ξ (Subscript[x, 1])))]] - QU@(exps/.ξ->ℏ ξ)]
}]

Alternative Algorithms

(Subscript[λ, alt,k_])[CU]:=If[k==0,1,Module[{eq,d,b,c,so},
eq=ρ@(E^(ξ (Subscript[x, CU]))).ρ@(E^(η (Subscript[y, CU])))==ρ@(E^(d (Subscript[y, CU]))).ρ@(E^(c(t (Subscript[1, CU]) - 2ϵ (Subscript[a, CU])))).ρ@(E^(b (Subscript[x, CU])));
{so}=Solve[Thread[Flatten/@eq],{d,b,c}]/.C@1->0;
Series[(E^(-η y-ξ x+η ξ t+c t + d y - 2ϵ c a + b x))/.so,{ϵ,0,k}]]];

{(Subscript[λ, alt,2])[CU], HL@Simplify@Normal[(Subscript[λ, alt,2])[CU]==Last[(Subscript[Λ, CU,2])[{ξ,η},{x,y}]]]}