Methodology. If (Subscript[P, 0]):=(Subscript[P, ϵ=0]) and inductively (e^(ξ(X·P)))=𝕆((e^((Subscript[ξP, 0])X))(Subscript[F, k])(ξ)) to (ϵ^k), then (Subscript[F, 0])=1 and with F=(Subscript[F, k])=(Subscript[F, k-1])+(ϵ^k)φ we have F(ξ=0)=1

SyF[0]=1;
SyF[k_]:= SyF[k]=Module[{fs,bs,F,rhs,at0,atη},
fs=Flatten@Table[(Subscript[f, i,j])[η],{i,0, 2k},{j,0,2k-i}];
F=SyF[k-1]+(ϵ^k)fs.(bs=fs/.(Subscript[f, i_,j_])[η]:>(y^i)(a^j));
rhs=Normal@Last@Cord[(Subscript[Œ, QU])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[y, 2])}, 1]),-(T^(-1))η (Subscript[y, 1]),(F/.{a->(Subscript[a, 1]),y->(Subscript[y, 1])})Series[-(Subscript[y, 2])(T^(-1))(E^(ℏ ϵ (Subscript[a, 2]))),{ϵ,0,k}]] /. η->ℏ η] /. {η->(ℏ^(-1))η,(Subscript[a, 1])->a,(Subscript[y, 1])->y};
at0=(#==0)& /@ Flatten@CoefficientList[F-1 /. η->0, {a,y}];
atη=(#==0)& /@ Flatten@CoefficientList[((∂_η)F)-(T^(-1))y F-rhs, {a,y}];
F/.DSolve[And@@(at0⋃atη),fs,η][[1]]
];

(Subscript[Exp, U_,0])[ξ_,(Subscript[(X:(x|y)), i_]),P_]:=(Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}, i]), Normal@P /. ϵ->0, 1+(Subscript[0, 0])];

{U,X,i,P}={QU,y,1,-(1/T)+((1 (-a+γ) ϵ ℏ)/T)-((1 (((a-γ))^2) (ϵ^2) (ℏ^2))/(2 T))/.{y->(Subscript[y, 1]),a->(Subscript[a, 1]),T->(Subscript[T, 1])}}

k=1

P0=Normal@P /. ϵ->0

f=Normal@Last@(Subscript[Exp, U,k-1])[ξ,(Subscript[X, i]),P]

φs=Flatten@Table[(Subscript[φ, j1,j2,j3])[ξ],{j2,0, 2k},{j1,0,2k-j2},{j3,0,2k-j2-j1}]

F=f+(ϵ^k)φs.(φs/.(Subscript[φ, j1_,j2_,j3_])[ξ]:>(Subscript[y, i]^j1)(Subscript[a, i]^j2)(Subscript[x, i]^j3))

(Subscript[m, i->c])@(Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}, i]),0,P+(Subscript[0, k])]

(Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[X, b])}, b]),0,(Subscript[X, b])+(Subscript[0, k])]

(Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}, i]), ξ (Subscript[X, i]) P0, F+(Subscript[0, k])]

(Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}, i]), ξ (Subscript[X, i]) P0, F+(Subscript[0, k])](Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[X, b])}, b]),0,(Subscript[X, b])+(Subscript[0, k])](Subscript[m, i->c])@(Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}, i]),0,P+(Subscript[0, k])]

(Subscript[m, i,b->i])[(Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}, i]), ξ (Subscript[X, i]) P0, F+(Subscript[0, k])](Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[X, b])}, b]),0,(Subscript[X, b])+(Subscript[0, k])]]

(Subscript[m, i,b,c->i])[(Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}, i]), ξ (Subscript[X, i]) P0, F+(Subscript[0, k])](Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[X, b])}, b]),0,(Subscript[X, b])+(Subscript[0, k])](Subscript[m, i->c])@(Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}, i]),0,P+(Subscript[0, k])]]

Last@(Subscript[m, i,b,c->i])[(Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}, i]), ξ (Subscript[X, i]) P0, F+(Subscript[0, k])](Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[X, b])}, b]),0,(Subscript[X, b])+(Subscript[0, k])](Subscript[m, i->c])@(Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}, i]),0,P+(Subscript[0, k])]]

rhs=Normal@Last@(Subscript[m, i,b,c->i])[(Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}, i]), ξ (Subscript[X, i]) P0, F+(Subscript[0, k])](Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[X, b])}, b]),0,(Subscript[X, b])+(Subscript[0, k])](Subscript[m, i->c])@(Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}, i]),0,P+(Subscript[0, k])]]

at0=(#==0)& /@ Flatten@CoefficientList[F-1 /. ξ->0, {(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}]

(∂_ξ)F

P0 (Subscript[X, i]) F

CF[P0 (Subscript[X, i]) F-rhs]

Collect[((∂_ξ)F)+P0 (Subscript[X, i]) F-rhs, {(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}]

atξ=(#==0)& /@ Flatten@CoefficientList[((∂_ξ)F)+P0 (Subscript[X, i]) F-rhs, {(Subscript[y, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}]

DSolve[And@@(at0⋃atξ),φs,ξ][[1]]