{U,kk,υ,u}={QU,1,ξ,x}

fs=Flatten@Table[(Subscript[f, i,j])[υ],{i,0, 2kk},{j,0,2kk-i}]

F=1+(ϵ^kk)fs.(fs/.(Subscript[f, i_,j_])[υ]:>(a^i)(u^j))

S[(Subscript[u, U])]

qq=Coefficient[(s=S[(Subscript[u, U])])/.ϵ->0, (Subscript[u, U])]

Expand[s-qq (Subscript[u, U]) /. U->Times]

rhs=Normal@Last@Cord[(Subscript[Œ, U])[(Subscript[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[a, 1]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[y, 2]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[x, 2])}, 1]),q υ (Subscript[u, 1]),(F/.(w:y|a|x):>(Subscript[w, 1]))(s-qq (Subscript[u, U])/.{U->Times,(w:y|a|x):>(Subscript[w, 2])})+(Subscript[0, kk])] /. υ->ℏ υ] /. {υ->(ℏ^(-1))υ,(Subscript[(w:y|a|x), 1]):>w}

at0=(#==0)& /@ Flatten@CoefficientList[F-1 /. υ->0, {a,u}]

atυ=(#==0)& /@ Flatten@CoefficientList[((∂_υ)F)+qq F-rhs, {a,u}]

Expand[F/.DSolve[And@@(at0⋃atυ),fs,υ][[1]]]