Pensieve header: The category of Gaussian Differential Operators w/o denominators.

{(SuperStar[t]),(SuperStar[y]),(SuperStar[a]),(SuperStar[x]),(SuperStar[z])}={τ,η,α,ξ,ζ}; {(SuperStar[τ]),(SuperStar[η]),(SuperStar[α]),(SuperStar[ξ]),(SuperStar[ζ])}={t,y,a,x,z}; (SuperStar[((Subscript[u_, i_]))]):=(Subscript[((SuperStar[u])), i]);

{(SuperStar[x]), (SuperStar[(Subscript[α, 3])]), (SuperStar[(Subscript[z, 2])])}

Kδ/:(Subscript[Kδ, i_,j_]):=If[i===j,1,0];

Zip

(Subscript[Zip, {}])[P_]:=P; (Subscript[Zip, {ζ_,ζs___}])[P_] := (Expand[P//(Subscript[Zip, {ζs}])] /. f_.(ζ^(d_.)):>(∂_({(SuperStar[ζ]),d}))f) /. (SuperStar[ζ])->0

(Subscript[Zip, {ξ}])[((ξ^2)+ξ+3)((x^5)(E^x)+7x)+99a]

(Subscript[Zip, {(Subscript[η, 2])}])[(E^(δ x (Subscript[y, 2])))ξ (Subscript[η, 2])]

(Subscript[Zip, {ξ,(Subscript[η, 2])}])[((ξ^6)+ξ+3+2ξ (Subscript[η, 2]))((x^5)(E^(b x))+7x)+99a+(E^(δ x (Subscript[y, 2])))ξ (Subscript[η, 2])]

E0=𝔼[Sum[(Subscript[a, 10i+j])(Subscript[x, i])(Subscript[ξ, j]),{i,3},{j,3}],1+ϵ Sum[(Subscript[f, i])[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])](Subscript[ξ, i]),{i,3}]+(ϵ^2) (Sum[(Subscript[g, i])[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])](Subscript[ξ, i]),{i,3}]+Sum[(Subscript[g, 10i+j])[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])](Subscript[ξ, i])(Subscript[ξ, j]),{i,3},{j,3}])]

𝔼 /: (Subscript[Zip, ζs_List])@𝔼[Q_,P_] := Module[{ζ,z,zs,c,ys,ηs,qt,zrule,Q1,Q2},
zs=Table[(SuperStar[ζ]),{ζ,ζs}];
c=Q/.Alternatives@@(ζs⋃zs)->0;
ys=Table[(∂_ζ)(Q/.Alternatives@@zs->0),{ζ,ζs}];
ηs=Table[(∂_z)(Q/.Alternatives@@ζs->0),{z,zs}];
qt=((ω0)^(-1))Inverse@Table[(Subscript[Kδ, z,(SuperStar[ζ])])-(∂_(z,ζ))Q,{ζ,ζs},{z,zs}];
zrule=Thread[zs->qt.(zs+ys)];
Q1=c+ηs.zs/.zrule;
Q2=Q1/.Alternatives@@zs->0;
Simplify /@ 𝔼[Q2,Det[qt](E^(-Q2))(Subscript[ωZip, ζs])[ω1,(E^Q1)(P/.zrule)]] ];

lhs=Collect[#, {ϵ,(Subscript[ξ, 3])}, Factor]& /@ ((Subscript[Zip, {(Subscript[ξ, 1]),(Subscript[ξ, 2])}])@E0)

Collect[Last@lhs, {ϵ,(Subscript[ξ, 3])}, H@@((ω0)^(Exponent[#,ω0,List]))&]

Collect[Last@lhs, {ϵ,(Subscript[ξ, 3]),ω0,ω1}, 1&]

Collect[Last@lhs, {ϵ,(Subscript[ξ, 3]),ω0,ω1}, 1&] /. ω1->ω0

lhs2=Together /@ Simplify /@ (lhs /. 𝔼[Q_,P_] :> 𝔼[ω,ω Q, ω P /. {(Subscript[x, i_]):>ω (Subscript[x, i]),ϵ->(ω^1) ϵ, (Subscript[ξ, i_]):>(ω^0) (Subscript[ξ, i])}] /. ω->-1+(Subscript[a, 12]) (Subscript[a, 21])-(Subscript[a, 11]) (-1+(Subscript[a, 22]))+(Subscript[a, 22]))

lhs2/. ϕ_[-(-(-1+(Subscript[a, 22])) (Subscript[a, 31])+(Subscript[a, 21]) (Subscript[a, 32])) (Subscript[x, 3]),-((Subscript[a, 12]) (Subscript[a, 31])-(-1+(Subscript[a, 11])) (Subscript[a, 32])) (Subscript[x, 3]),(-1+(Subscript[a, 12]) (Subscript[a, 21])-(Subscript[a, 11]) (-1+(Subscript[a, 22]))+(Subscript[a, 22])) (Subscript[x, 3])] :> ϕ

Denominator@Last@lhs2

lhs3=Together /@ Simplify /@ (lhs /. 𝔼[Q_,P_] :> 𝔼[ω,ω Q, ω P /. {(Subscript[x, i_]):>ω (Subscript[x, i]),ϵ->(ω^0) ϵ, (Subscript[ξ, i_]):>(ω^1) (Subscript[ξ, i])}] /. ω->-1+(Subscript[a, 12]) (Subscript[a, 21])-(Subscript[a, 11]) (-1+(Subscript[a, 22]))+(Subscript[a, 22]))

lhs4=Together /@ Simplify /@ (lhs /. 𝔼[Q_,P_] :> 𝔼[ω,ω Q, ω P /. {(Subscript[x, i_]):>ω (Subscript[x, i]),ϵ->(ω^2) ϵ, (Subscript[ξ, i_]):>(ω^(-1)) (Subscript[ξ, i])}] /. ω->-1+(Subscript[a, 12]) (Subscript[a, 21])-(Subscript[a, 11]) (-1+(Subscript[a, 22]))+(Subscript[a, 22]))

Collect[Last@lhs4, {ϵ,(Subscript[ξ, 3])}, Factor]

rhs12=(Subscript[Zip, {(Subscript[ξ, 1])}])@(Subscript[Zip, {(Subscript[ξ, 2])}])@E0

lhs==rhs12

rhs21=(Subscript[Zip, {(Subscript[ξ, 2])}])@(Subscript[Zip, {(Subscript[ξ, 1])}])@E0

rhs12==rhs21

Eh=𝔼[h Sum[(Subscript[a, 10i+j])(Subscript[x, i])(Subscript[ξ, j]),{i,3},{j,3}],1+ϵ Sum[(Subscript[f, i])[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])](Subscript[ξ, i]),{i,3}]+ϵ Sum[(Subscript[f, 10i+j])[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])](Subscript[ξ, i])(Subscript[ξ, j]),{i,3},{j,3}]]

Short[lhs=Normal[Eh /. 𝔼[Q_,P_] :> Series[P (E^Q),{h,0,1}]] // (Subscript[Zip, {(Subscript[ξ, 1]),(Subscript[ξ, 2])}])]

rhs0=(Subscript[Zip, {(Subscript[ξ, 1]),(Subscript[ξ, 2])}])[Eh];
rhs1=Normal[rhs0/. 𝔼[Q_,P_] :> Series[P (E^Q),{h,0,1}]]

Simplify[lhs==rhs1]

ωZip

(Subscript[ωZip, {}])[ω_,P_]:=P; (Subscript[ωZip, {ζ_,ζs___}])[ω_,P_] := (Expand[(Subscript[ωZip, {ζs}])[ω,P]] /. f_.(ζ^(d_.)):>(ω^d)(∂_({(SuperStar[ζ]),d}))f) /. (SuperStar[ζ])->0

𝔼 /: (Subscript[ωZip, ζs_List])@𝔼[ω_,Q_,P_] := Module[{ζ,z,zs,c,ys,ηs,m,ω1,qt,zrule,Q1,Q2},
zs=Table[(SuperStar[ζ]),{ζ,ζs}];
c=Q/.Alternatives@@(ζs⋃zs)->0;
ys=Table[(∂_ζ)(Q/.Alternatives@@zs->0),{ζ,ζs}];
ηs=Table[(∂_z)(Q/.Alternatives@@ζs->0),{z,zs}];
m=Table[(Subscript[Kδ, z,(SuperStar[ζ])])-(∂_(z,ζ))Q,{ζ,ζs},{z,zs}];
ω1=Det[m];
qt=ω1 Inverse[m];
zrule=Thread[zs->qt.(zs+ys)];
Q1=c+ηs.zs/.zrule;
Q2=Q1/.Alternatives@@zs->0;
Simplify /@ 𝔼[ω/ω1,Q2,(E^(-Q2))(Subscript[ωZip, ζs])[ω,(E^Q1)(P/.zrule)]] ];

E1=Prepend[E0, 1]

Short[lhs=(Subscript[ωZip, {(Subscript[ξ, 1]),(Subscript[ξ, 2])}])@E1]

Short[rhs12=(Subscript[ωZip, {(Subscript[ξ, 1])}])@(Subscript[ωZip, {(Subscript[ξ, 2])}])@E1]

Simplify[(1/(1-(Subscript[a, 12]) (Subscript[a, 21])+(Subscript[a, 11]) (-1+(Subscript[a, 22]))-(Subscript[a, 22])))/(1/((-1+(Subscript[a, 11])+(Subscript[a, 12]) (Subscript[a, 21])) (-1+(Subscript[a, 22]))))]