eq0=2 (-1+(E^y)) x y (Subscript[f, 6])[x,y]-2 (-1+(E^y)) x y (Subscript[f, 6])[x,z]+2 (-1+(E^y)) (y^2) (Subscript[f, 6])[y,z]+(1/((-1+(E^x)) (-1+(E^y))))(2 (((-1+(E^y)))^2) x y (Subscript[f, 7])[x,y]-2 (((-1+(E^y)))^2) x y (Subscript[f, 7])[x,z]+(-1+(E^x)) (1-(E^y)+y (2 (-1+(E^y)) y (Subscript[f, 7])[y,z]+(y-2 (E^y) y) (Subscript[g, 4])[y]+(Subscript[g, 8])[y]+(E^y) (8 (y^2) (-1+Cosh[y]) (Subscript[g, 5])[y]+2 (-1+(E^y)) (Subscript[g, 6])[y]-(Subscript[g, 8])[y]+(Subscript[h, 1])[]))))

Simplify[eq0 /. z->0]

{sol0}=Simplify[(Subscript[f, 6])[x,y]/.Solve[(eq0 /. z->0)==0,(Subscript[f, 6])[x,y]]]

Simplify[eq0 /. (Subscript[f, 6])[x_,y_]->sol0]

Series[sol0, {y,0,0}]

Series[sol,{y,0,1}]

Solve[-1+2 (Subscript[g, 4])[0]-4 (Subscript[g, 6])[0]+2 (Subscript[g, 8])[0]==0, (Subscript[g, 8])[0]]

sol1=Simplify[sol/.{(Subscript[h, 1])[]->1, (Subscript[g, 8])[0]->(1/2) (1-2 (Subscript[g, 4])[0]+4 (Subscript[g, 6])[0])}]

Normal[Series[sol1,{y,0,1}]]/.{(Subscript[h, 1])[]->1, (Subscript[g, 8])[0]->(1/2) (1-2 (Subscript[g, 4])[0]+4 (Subscript[g, 6])[0])} // Simplify