Pensieve header: The OneCo project using the (b-ϵc)-scapegoated low algebra.

ϵ /: (ϵ^2)=0;
PBWBasis={c,u,w};
B[U@c,U@w]=-(B[U@w,U@c]=U@w);
B[U@u,U@c]=-(B[U@c,U@u]=U@u);
B[U@w,U@u]=-(B[U@u,U@w]=b U[]-2ϵ U@c);

UU[l___,((x_)^(n_)),r___]:= UU[l,Sequence@@Table[x,{n}],r];
UU[l___,1,r___]:= UU[l,r];
UU[]=U[]; UU[l_,r___]:=U[l]**UU[r];(Subscript[U, i_])[ℰ_] := ℰ /. {b->(Subscript[b, i]), u_U :> Replace[u, x_ :> (Subscript[x, i]),1]};

B[x_,x_]=0;
B[U[(Subscript[(x_), i_])],U[(Subscript[(y_), i_])]]:=B[U[(Subscript[x, i])],U[(Subscript[y, i])]]=(Subscript[U, i])[B[U@x,U@y]];
B[U[(Subscript[(x_), i_])],U[(Subscript[(y_), j_])]] /; i=!=j := 0;
B[x_,y_] := x**y-y**x;

x_⪯y_:=OrderedQ[{x,y}]; x_≺y_:=!OrderedQ[{y,x}];
Simp[ℰ_]:= Collect[ℰ, _U, Expand];

Unprotect[NonCommutativeMultiply];
NonCommutativeMultiply[x_] := x;
0**_=_**0=0;
x_**U[]:=x; U[]**x_:=x;
(a_*x_U)**(b_*y_U) := If[a b === 0, 0, Simp[a b (x**y)]];
(a_*x_U)**y_ := Simp[a(x**y)]; x_**(a_*y_U) := Simp[a(x**y)];
(x_Plus)**y_ := (#**y)& /@ x; x_**(y_Plus) := (x**#)& /@ y;
U[x_]**U[y_] := If[x≺y, U[x,y], U[y,x]+B[U@x,U@y]];
U[x_] ** U[y1_,yy__] := If[x⪯y1,U[x,y1,yy],(U@x**U@y1)**U@yy];
U[xx__,xn_]**U[yy__] := U@xx**(U@xn**U@yy);

U[l___,((x_)^(n_)),r___]:= U[l,Sequence@@Table[x,{n}],r];
U[l___,1,r___]:= U[l,r];

(Subscript[bc, i_]):=(Subscript[b, i])U[]-ϵ U[(Subscript[c, i])];
(Subscript[a, i_,j_]):=(Subscript[bc, i])**U@(Subscript[c, j])+U@(Subscript[u, i])**U@(Subscript[w, j]);

UExp[ℰ_,n_]:=Module[{t=U[],k}, U[]+Sum[((t=t**ℰ)/(k!)), {k,n}]]//Simp

ToDegree[n_][ℰ_] := Normal[
Simp[ℰ] /. {ϵ->ℏ ϵ, (Subscript[b, i_]):>ℏ (Subscript[b, i]), b->ℏ b, x_U:>(ℏ^(Count[x,u|(Subscript[u, _])]))x} /. a_.x_U :>Series[a,{ℏ,0,n}]*x] /. ℏ->1

LBasis[n_Integer] := LBasis[Range[n]];
LBasis[S_] := DeleteCases[0]@Module[{i,j,k,l}, SortBy[(# /. {ϵ->2,(Subscript[c, _])->2,(Subscript[u, _])->2,(Subscript[w, _])->2, U->Times})&][
Union@Flatten[{{U[],ϵ U[]},
Table[{U@(Subscript[c, i]),U@(Subscript[u, i]),U@(Subscript[w, i]),ϵ U@(Subscript[c, i]),ϵ U@(Subscript[u, i]),ϵ U@(Subscript[w, i])}, {i,S}],
Table[{U[(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])],ϵ U[(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])],ϵ U@@Sort@{(Subscript[c, i]),(Subscript[c, j])},ϵ U[(Subscript[c, i]),(Subscript[u, j])],ϵ U[(Subscript[c, i]),(Subscript[w, j])]}, {i,S}, {j,S}],
Table[{ϵ U[(Subscript[c, i]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, k])],ϵ U@@Sort@{(Subscript[u, i]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, k])},ϵ U@@Sort@{(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, k])}}, {i,S}, {j,S},{k,S}],
Table[ϵ U@@Sort@{(Subscript[u, i]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, k]),(Subscript[w, l])}, {i,S}, {j,S},{k,S},{l,S}] }]
]]

BLBasis[n_Integer] := BLBasis[Range[n]];
BLBasis[S_] := DeleteCases[0]@Module[{i,j,k,l}, SortBy[(# /. {ϵ->2,(Subscript[c, _])->2,(Subscript[u, _])->2,(Subscript[w, _])->2, U->Times})&][
Union@Flatten[{{U[],ϵ U[]},
Table[{U@(Subscript[c, i]),ϵ U@(Subscript[c, i])}, {i,S}],
Table[{U[(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])],ϵ U[(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])],ϵ U@@Sort@{(Subscript[c, i]),(Subscript[c, j])}}, {i,S}, {j,S}],
Table[{ϵ U[(Subscript[c, i]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, k])]}, {i,S}, {j,S},{k,S}],
Table[ϵ U@@Sort@{(Subscript[u, i]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, k]),(Subscript[w, l])}, {i,S}, {j,S},{k,S},{l,S}] }]
]]

AutoEa[τ_,i_,j_][x_] := Module[{bas,n,k, f,t, guess, InitCond, DiffCond, sol},
bas=LBasis@{i,j};
n=0; guess=Sum[(Subscript[f, ++n])[t]y,{y,bas}];
InitCond=Table[0==Coefficient[(guess/.t->0)-x, y] /. ϵ->0, {y,bas}];
DiffCond=Table[0==Coefficient[D[guess,t]-B[Simp[τ (Subscript[a, i,j])],guess], y] /. ϵ->0, {y,bas}];
{sol}=DSolve[InitCond⋃DiffCond, Table[(Subscript[f, k])[t],{k,n}], t];
guess /. sol /. t->1
]

Ea[___][0] = 0;
Ea[x___][a_.*U[]] := a U[];
Ea[x___][y_Plus] := Ea[x] /@ y;
Ea[τ_,i_,j_][U@(Subscript[c, i_])] := U[(Subscript[c, i])]-(((E^(-τ (Subscript[b, i]))) (-1+(E^(τ (Subscript[b, i])))) U[(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]))+(((E^(-τ (Subscript[b, i]))) ϵ (-1+(E^(τ (Subscript[b, i])))-τ (Subscript[b, i])) U[(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]^2))-(((E^(-τ (Subscript[b, i]))) ϵ (-1+(E^(τ (Subscript[b, i])))-τ (Subscript[b, i])) U[(Subscript[c, i]),(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]^2))+(((E^(-τ (Subscript[b, i]))) ϵ (-1+(E^(τ (Subscript[b, i])))-τ (Subscript[b, i])) U[(Subscript[c, j]),(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]^2))+(((E^(-2 τ (Subscript[b, i]))) ϵ (-1+(E^(2 τ (Subscript[b, i])))-2 (E^(τ (Subscript[b, i]))) τ (Subscript[b, i])) U[(Subscript[u, i]),(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]^3));
Ea[τ_,i_,j_][U@(Subscript[c, j_])] := U[(Subscript[c, j])]+(((E^(-τ (Subscript[b, i]))) (-1+(E^(τ (Subscript[b, i])))) U[(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]))-(((E^(-τ (Subscript[b, i]))) ϵ (-1+(E^(τ (Subscript[b, i])))-τ (Subscript[b, i])) U[(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]^2))+(((E^(-τ (Subscript[b, i]))) ϵ (-1+(E^(τ (Subscript[b, i])))-τ (Subscript[b, i])) U[(Subscript[c, i]),(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]^2))-(((E^(-τ (Subscript[b, i]))) ϵ (-1+(E^(τ (Subscript[b, i])))-τ (Subscript[b, i])) U[(Subscript[c, j]),(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]^2))-(((E^(-2 τ (Subscript[b, i]))) ϵ (-1+(E^(2 τ (Subscript[b, i])))-2 (E^(τ (Subscript[b, i]))) τ (Subscript[b, i])) U[(Subscript[u, i]),(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]^3));
Ea[τ_,i_,j_][U@(Subscript[c, k_])] /; (k=!=i)∧(k=!=j):= U@(Subscript[c, k]);
Ea[τ_,i_,j_][U@(Subscript[u, i_])] :=U[(Subscript[u, i])]-ϵ τ U[(Subscript[c, j]),(Subscript[u, i])]-(((E^(-τ (Subscript[b, i]))) ϵ (1-(E^(τ (Subscript[b, i])))+(E^(τ (Subscript[b, i]))) τ (Subscript[b, i])) U[(Subscript[u, i]),(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]^2));
Ea[τ_,i_,j_][U@(Subscript[u, j_])] := -(((-1+(E^(τ (Subscript[b, i])))) (Subscript[b, j]) U[(Subscript[u, i])])/(Subscript[b, i]))-((ϵ (1-(E^(τ (Subscript[b, i])))+(E^(τ (Subscript[b, i]))) τ (Subscript[b, i])) (Subscript[b, j]) U[(Subscript[u, i])])/(Subscript[b, i]^2))+(E^(τ (Subscript[b, i]))) U[(Subscript[u, j])]+((ϵ (1-(E^(τ (Subscript[b, i])))+(E^(τ (Subscript[b, i]))) τ (Subscript[b, i])) (Subscript[b, j]) U[(Subscript[c, i]),(Subscript[u, i])])/(Subscript[b, i]^2))-(E^(τ (Subscript[b, i]))) ϵ τ U[(Subscript[c, i]),(Subscript[u, j])]+((ϵ (-2 (Subscript[b, i])+2 (E^(τ (Subscript[b, i]))) (Subscript[b, i])-(Subscript[b, j])+(E^(τ (Subscript[b, i]))) (Subscript[b, j])-τ (Subscript[b, i]) (Subscript[b, j])) U[(Subscript[c, j]),(Subscript[u, i])])/(Subscript[b, i]^2))-(1/(Subscript[b, i]^3))(E^(-τ (Subscript[b, i]))) ϵ (-(Subscript[b, i])+2 (E^(τ (Subscript[b, i]))) (Subscript[b, i])-(E^(2 τ (Subscript[b, i]))) (Subscript[b, i])+2 (E^(τ (Subscript[b, i]))) (Subscript[b, j])-2 (E^(2 τ (Subscript[b, i]))) (Subscript[b, j])+(E^(τ (Subscript[b, i]))) τ (Subscript[b, i]) (Subscript[b, j])+(E^(2 τ (Subscript[b, i]))) τ (Subscript[b, i]) (Subscript[b, j])) U[(Subscript[u, i]),(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])]+((ϵ (1-(E^(τ (Subscript[b, i])))+(E^(τ (Subscript[b, i]))) τ (Subscript[b, i])) U[(Subscript[u, i]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]^2));
Ea[τ_,i_,j_][U@(Subscript[u, k_])] /; (k=!=i)∧(k=!=j):= U@(Subscript[u, k]);
Ea[τ_,i_,j_][U@(Subscript[w, i_])] := U[(Subscript[w, i])]+(E^(-τ (Subscript[b, i]))) (-1+(E^(τ (Subscript[b, i])))) U[(Subscript[w, j])]-(((E^(-τ (Subscript[b, i]))) ϵ (-1+(E^(τ (Subscript[b, i])))+τ (Subscript[b, i])) U[(Subscript[c, i]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]))+ϵ τ U[(Subscript[c, j]),(Subscript[w, i])]+(((E^(-τ (Subscript[b, i]))) ϵ (1-(E^(τ (Subscript[b, i])))+(E^(τ (Subscript[b, i]))) τ (Subscript[b, i])) U[(Subscript[c, j]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]))+(((E^(-τ (Subscript[b, i]))) ϵ (1-(E^(τ (Subscript[b, i])))+(E^(τ (Subscript[b, i]))) τ (Subscript[b, i])) U[(Subscript[u, i]),(Subscript[w, i]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]^2))+(((E^(-2 τ (Subscript[b, i]))) (1+(E^(τ (Subscript[b, i])))) ϵ (1-(E^(τ (Subscript[b, i])))+(E^(τ (Subscript[b, i]))) τ (Subscript[b, i])) U[(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]^2));
Ea[τ_,i_,j_][U@(Subscript[w, j_])] := (E^(-τ (Subscript[b, i]))) U[(Subscript[w, j])]+(E^(-τ (Subscript[b, i]))) ϵ τ U[(Subscript[c, i]),(Subscript[w, j])]-(((E^(-2 τ (Subscript[b, i]))) ϵ (1-(E^(τ (Subscript[b, i])))+(E^(τ (Subscript[b, i]))) τ (Subscript[b, i])) U[(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, j])])/(Subscript[b, i]^2));
Ea[τ_,i_,j_][U@(Subscript[w, k_])] /; (k=!=i)∧(k=!=j):= U@(Subscript[w, k]);
Ea[x___][a_.*u_U] := Simp[a NonCommutativeMultiply@@(Ea[x] /@ (U/@u))];
Ea[i_,j_] := Ea[-1,i,j];