Pensieve header: Normally Ordered Exponentials at 0-Co in the t variables.

"NO” for “Normal Order”.

For pragmatic reasons, 𝔼[ω,L,Q] means (ω^(-1))Exp[L+(ω^(-1))Q], where ω is a scalar, L is linear and contains only c’s and b’s, and Q is a balanced quadratic in the u’s and the w’s and contains no c’s and b’s. 𝔼 is also a casting operator: 𝔼[(ω^(-1)) Exp[L+(ω^(-1))Q]] returns 𝔼[ω,L,Q], meaning 𝔼[ω Exp[L+Q]] returns 𝔼[(ω^(-1)),L,(ω^(-1))Q].

𝔼 /: Simplify[𝔼[ω_,L_,Q_]] := 𝔼[Expand@Together@ω, Expand[L], Expand@Together[Q/.(Subscript[b, l_]):>Log[(Subscript[t, l])]]];
𝔼 /: 𝔼[ω1_,L1_,Q1_]≡𝔼[ω2_,L2_,Q2_] := (ω1==ω2∧L1==L2∧Q1==Q2);
𝔼[ω_.(E^(F_))] := Simplify@𝔼[(ω^(-1)), F/.(Subscript[u, _])|(Subscript[w, _])|α|β->0, (ω^(-1))F/.(Subscript[c, _])->0];
𝔼[ω_] /; FreeQ[ω,(E^(_))]:= 𝔼[(ω^(-1)),0,0];
𝔼[ℰ_]:=𝔼[Factor[ℰ]];

𝔼 /: 𝔼[ω1_,L1_,Q1_]𝔼[ω2_,L2_,Q2_] := Simplify@𝔼[ω1 ω2,L1+L2,ω2 Q1+ω1 Q2];

Rp[i_,j_]:=𝔼[(E^((Subscript[b, i])(Subscript[c, j])+(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])))]; Rm[i_,j_]:=𝔼[(E^(-(Subscript[b, i])(Subscript[c, j])-(Subscript[t, i]^(-1))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])))];

NO[(Subscript[u, i_]),(Subscript[c, j_]),k_][𝔼[ω_,L_,Q_]] := 𝔼[1,L/.(Subscript[c, j])->0,(ω^(-1))Q/.(Subscript[u, i])->0](
𝔼[(ω^(-1)) (E^((E^(-γ))β (Subscript[u, k])+γ (Subscript[c, k])))] /. {γ->(∂_(Subscript[c, j]))L,β->(ω^(-1))(∂_(Subscript[u, i]))Q});
NO[(Subscript[w, i_]),(Subscript[c, j_]),k_][𝔼[ω_,L_,Q_]] := 𝔼[1,L/.(Subscript[c, j])->0,(ω^(-1))Q/.(Subscript[w, i])->0](
𝔼[(ω^(-1)) (E^((E^γ)β (Subscript[w, k])+γ (Subscript[c, k])))] /. {γ->(∂_(Subscript[c, j]))L,β->(ω^(-1))(∂_(Subscript[w, i]))Q});
 NO[(Subscript[w, i_]),(Subscript[u, j_]),k_][𝔼[ω_,L_,Q_]] :=𝔼[1,L,(ω^(-1))Q/.(Subscript[w, i])|(Subscript[u, j])->0](
𝔼[ν (ω^(-1))(E^((1-(Subscript[t, k]))ν α β+ν β (Subscript[u, k])+ν δ (Subscript[u, k])(Subscript[w, k])+ν α (Subscript[w, k])))] /. ν->(((1+((Subscript[t, k])-1) δ))^(-1)) /. {
α->(ω^(-1))((∂_(Subscript[w, i]))Q/.(Subscript[u, j])->0), β->(ω^(-1))((∂_(Subscript[u, j]))Q/.(Subscript[w, i])->0), δ->(ω^(-1))(∂_((Subscript[w, i]),(Subscript[u, j])))Q});

m[i_,j_,k_][Z_] :=Module[{a}, Simplify[
(Z /. {(Subscript[b, i|j])->(Subscript[b, k]), (Subscript[t, i|j])->(Subscript[t, k])} // NO[(Subscript[w, i]),(Subscript[c, j]),a]//NO[(Subscript[u, i]),(Subscript[c, a]),a]//NO[(Subscript[w, a]),(Subscript[u, j]),a]) /. {(Subscript[c, i])->(Subscript[c, k]),(Subscript[w, j])->(Subscript[w, k]),(Subscript[y_, a]):>(Subscript[y, k])}]]

σ[i_,j_][ℰ_] := ℰ /. {(Subscript[b, i])->(Subscript[b, j]), (Subscript[t, i])->(Subscript[t, j]), (Subscript[c, i])->(Subscript[c, j]), (Subscript[u, i])->(Subscript[u, j]), (Subscript[w, i])->(Subscript[w, j])}

Q0=𝔼[(E^((Subscript[u, 1]) (Subscript[w, 1])+ (Subscript[u, 2]) (Subscript[w, 3])))];
t1=Q0 // m[1,2,4]

NO[(Subscript[u, 1]),(Subscript[c, 1]),1][𝔼[(E^((Subscript[b, 2])(Subscript[c, 1])+(Subscript[w, 2])(Subscript[u, 1])+(Subscript[u, 3])(Subscript[w, 4])))]]

Q0=𝔼[Exp[Sum[(Subscript[a, i,j])(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])+(Subscript[l, i,j])(Subscript[b, i])(Subscript[c, j]),{i,3},{j,3}]]]

Q0 // m[1,2,1]

t1=Q0 // m[1,2,1]//m[1,3,1]

t2=Q0 // m[2,3,2]//m[1,2,1]

t1≡t2

Rp[1,2]Rm[4,3]

Rp[1,2]Rm[4,3] // m[1,4,1] // m[2,3,2]

Rm[1,2]Rp[4,3] // m[4,1,4]//m[2,3,2]

t1=Rp[1,2]Rp[3,4]Rp[5,6] // m[3,5,x]//m[1,6,y]//m[2,4,z]

t2=Rp[1,2]Rp[3,4]Rp[5,6]//m[1,3,x]//m[2,5,y]//m[4,6,z]

t1≡t2

t3=Rm[12,1]Rm[2,7]Rm[8,3]Rm[4,11]Rp[16,5]Rp[6,13]Rp[14,9]Rp[10,15]

t3//m[1,2,1]

t3//m[1,2,1]//m[1,3,1]

t4=t3;
Do[t4=t4//m[1,kk,1], {kk, 2,16}];t4

Rp[1,2]Rp[3,4]Rp[5,6] // m[1,4,4]//m[4,5,5]//m[5,2,2]//m[2,3,3]//m[3,6,6]//m[6,1,1]