Pensieve header: Finding the most general R using low algebra, now with a balanced basis.

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\OneCo-1606"];
<< OneCo.m

Finding R

bas=Cases[BLBasis[{j,k}],ϵ*U[__]]

Sum[(Subscript[f, i])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]bas[[i]], {i,Length@bas}]

ρ0[j_,k_] :=ϵ U[(Subscript[c, j])] (Subscript[f, 1])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, k])] (Subscript[f, 2])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, j]),(Subscript[c, j])] (Subscript[f, 3])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, j]),(Subscript[c, k])] (Subscript[f, 4])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, k]),(Subscript[c, k])] (Subscript[f, 5])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 6])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 7])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, k]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 8])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, k]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 9])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, j]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 10])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, j]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 11])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, j]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 12])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, j]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 13])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, k]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 14])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, k]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 15])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, k]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 16])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, k]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 17])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 18])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 19])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, k]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 20])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 21])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 22])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, k]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 23])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, k]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 24])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, k]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 25])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, k]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, k]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 26])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]

R[j_,k_][ℰ_] :=  Simp[ℰ // Ea[j,k] // (#+B[ρ0[j,k],#])&]

U[(Subscript[c, 1])]//R[1,2] // Simp // Short

U[(Subscript[c, 1])]//R[1,2] // R[1,3] // R[2,3]

R3[ℰ_] := Simp[(ℰ//R[1,2] // R[1,3] // R[2,3])-(ℰ//R[2,3] // R[1,3] // R[1,2])]

R3s=Flatten[Table[U@(Subscript[y, i])->R3[U@(Subscript[y, i])], {y,{c,u,w}}, {i,3}]]

R3s /. ϵ->0

bas3=Cases[LBasis[{1,2,3}],ϵ*U[__]]

Errors=Union[DeleteCases[
Flatten[Table[Simplify@Coefficient[U@(Subscript[y, i]) /. R3s, e], {y,{u,w}}, {i,3}, {e,bas3}]] /. {(Subscript[b, 1])->x,(Subscript[b, 2])->y,(Subscript[b, 3])->z},
0]] // SortBy[LeafCount]

DeleteFile["Errors.m"];
Errors >> "Errors.m"

From ErrorCorrection.nb:

EC={(Subscript[f, 1])[x_,z_]:>x (Subscript[f, 6])[x,z]+(x^2) (Subscript[f, 18])[x,z]-(Subscript[g, 7])[z],(Subscript[f, 2])[x_,y_]:>y (Subscript[f, 9])[x,y]+(y^2) (Subscript[f, 26])[x,y]-(Subscript[g, 8])[x],(Subscript[f, 3])[x_,z_]:>(x^2) (Subscript[f, 18])[x,z],(Subscript[f, 4])[x_,z_]:>x (Subscript[f, 14])[x,z]-(Subscript[g, 5])[z],(Subscript[f, 5])[x_,y_]:>(y^2) (Subscript[f, 26])[x,y],(Subscript[f, 7])[x_,z_]:>(((1-(E^x)) (Subscript[g, 9])[z])/x)+(Subscript[g, 10])[x],(Subscript[f, 8])[x_,z_]:>0,(Subscript[f, 10])[y_,z_]:>2 y (Subscript[f, 18])[y,z],(Subscript[f, 11])[x_,y_]:>-(Subscript[g, 2])[x],(Subscript[f, 12])[x_,z_]:>0,(Subscript[f, 13])[x_,z_]:>x (Subscript[f, 22])[x,z]-(Subscript[g, 4])[z],(Subscript[f, 14])[x_,y_]:>y (Subscript[f, 22])[x,y]-(Subscript[g, 6])[x],(Subscript[f, 15])[x_,y_]:>(1/((-1+(E^y)) (x^2) y))(-x+(E^x) x+(E^y) x-(E^(x+y)) x-y+(E^x) y+(E^y) y-(E^(x+y)) y-x y+(E^(x+y)) x y+(E^y) x y (Subscript[g, 5])[y]-(E^(x+y)) x y (Subscript[g, 5])[y]+x (y^2) (Subscript[g, 6])[y]-(E^x) x (y^2) (Subscript[g, 6])[y]-(E^y) x y (Subscript[g, 7])[y]+(E^(x+y)) x y (Subscript[g, 7])[y]-x y (Subscript[g, 8])[y]+(E^x) x y (Subscript[g, 8])[y]-x y (Subscript[g, 9])[y]+(E^x) x y (Subscript[g, 9])[y]+(E^y) x y (Subscript[g, 9])[y]-(E^(x+y)) x y (Subscript[g, 9])[y]-x (y^2) (Subscript[g, 10])[y]+(E^x) x (y^2) (Subscript[g, 10])[y]+x y (Subscript[h, 1])[]-(E^x) x y (Subscript[h, 1])[]),(Subscript[f, 16])[x_,z_]:>0,(Subscript[f, 17])[x_,z_]:>2 z (Subscript[f, 26])[x,z],(Subscript[f, 19])[x_,y_]:>-(Subscript[g, 3])[x],(Subscript[f, 20])[x_,y_]:>(1/(2 (-1+(E^y)) (x^3)))(-2+2 (E^x)+2 (E^y)-2 (E^(x+y))-x-(E^x) x+(E^y) x+(E^(x+y)) x+(x^3) (Subscript[g, 3])[x]-(E^x) (x^3) (Subscript[g, 3])[x]-(E^y) (x^3) (Subscript[g, 3])[x]+(E^(x+y)) (x^3) (Subscript[g, 3])[x]+x (y^2) (Subscript[g, 3])[y]-2 (E^x) x (y^2) (Subscript[g, 3])[y]+(E^(2 x)) x (y^2) (Subscript[g, 3])[y]-(E^x) x (Subscript[g, 7])[x]+(E^(2 x)) x (Subscript[g, 7])[x]+(E^(x+y)) x (Subscript[g, 7])[x]-(E^(2 x+y)) x (Subscript[g, 7])[x]-(E^y) x (Subscript[g, 7])[y]+2 (E^(x+y)) x (Subscript[g, 7])[y]-(E^(2 x+y)) x (Subscript[g, 7])[y]-x (Subscript[g, 8])[x]+(E^x) x (Subscript[g, 8])[x]+(E^y) x (Subscript[g, 8])[x]-(E^(x+y)) x (Subscript[g, 8])[x]-x (Subscript[g, 8])[y]+2 (E^x) x (Subscript[g, 8])[y]-(E^(2 x)) x (Subscript[g, 8])[y]-x (Subscript[g, 9])[x]+2 (E^x) x (Subscript[g, 9])[x]-(E^(2 x)) x (Subscript[g, 9])[x]+(E^y) x (Subscript[g, 9])[x]-2 (E^(x+y)) x (Subscript[g, 9])[x]+(E^(2 x+y)) x (Subscript[g, 9])[x]-x (Subscript[g, 9])[y]+2 (E^x) x (Subscript[g, 9])[y]-(E^(2 x)) x (Subscript[g, 9])[y]+(E^y) x (Subscript[g, 9])[y]-2 (E^(x+y)) x (Subscript[g, 9])[y]+(E^(2 x+y)) x (Subscript[g, 9])[y]-(x^2) (Subscript[g, 10])[x]+(E^x) (x^2) (Subscript[g, 10])[x]+(E^y) (x^2) (Subscript[g, 10])[x]-(E^(x+y)) (x^2) (Subscript[g, 10])[x]-x y (Subscript[g, 10])[y]+2 (E^x) x y (Subscript[g, 10])[y]-(E^(2 x)) x y (Subscript[g, 10])[y]+x (Subscript[h, 1])[]-2 (E^x) x (Subscript[h, 1])[]+(E^(2 x)) x (Subscript[h, 1])[]),(Subscript[f, 21])[x_,z_]:>0,(Subscript[f, 23])[x_,z_]:>-(((-1+(E^x)) (Subscript[g, 1])[z])/x),(Subscript[f, 24])[x_,z_]:>0,(Subscript[f, 25])[x_,y_]:>0,(Subscript[g, 1])[y_]:>((-2+2 (E^y)-y-(E^y) y-2 (y^3) (Subscript[g, 3])[y]+2 (E^y) y (Subscript[g, 5])[y]+2 (y^2) (Subscript[g, 6])[y]+y (Subscript[h, 1])[]-(E^y) y (Subscript[h, 1])[])/(2 (-1+(E^y)) (y^2))),(Subscript[g, 2])[y_]:>(((E^y) (Subscript[g, 7])[y]+(Subscript[g, 8])[y]+(Subscript[g, 9])[y]-(E^y) (Subscript[g, 9])[y]+y (Subscript[g, 10])[y])/y),(Subscript[g, 4])[y_]:>(((Subscript[g, 5])[y]-(Subscript[h, 1])[])/y)};

R3s=Simplify[Flatten[Table[U@(Subscript[y, i])->R3[U@(Subscript[y, i])], {y,{c,u,w}}, {i,3}]] //. EC]