Warning: b->B !

e2=(-1+(E^y)) x (Subscript[f, 19])[x,y]-(-1+(E^y)) x (Subscript[f, 19])[x,z]+(-1+(E^x)) (y (Subscript[f, 19])[y,z]-y (Subscript[g, 6])[y]+(E^y) (Subscript[g, 15])[y]+(Subscript[g, 16])[y])

kk=Union@Cases[e2, a_.*(Subscript[f, k_])[x,y]:>k,∞]

Length[kk]==1

{kk}=kk

{{sol}}=Solve[e2==0, (Subscript[f, kk])[x,y]];
sol=(Subscript[f, kk])[x,y]/.sol

e3=D[sol,z]//Factor

FreeQ[e3,(Subscript[f, _])[_,_]]

If[Head[e3]===Times, e3=Select[e3, !FreeQ[#, Derivative[0,1][(Subscript[f, _])][_,_]|(Subscript[g, _])[_]|(Subscript[h, _])[]]&] ]

s=Collect[e3, Derivative[0,1][(Subscript[f, _])][_,_], Factor]

s1=Select[s, FreeQ[Derivative[0,1][(Subscript[f, _])][_,_]]]

{pxz=Coefficient[s,Derivative[0,1][(Subscript[f, kk])][x,z]], pyz=Coefficient[s,Derivative[0,1][(Subscript[f, kk])][y,z]]}

mf=MF[pxz,x]

mf*=MF[pyz,y]

{s1,pxz,pyz}=Simplify[{s1,pxz,pyz}/mf]

FreeQ[pxz,y]∧FreeQ[pyz,x]∧FreeQ[s1,x|y]

Simplify[(pyz/.y->x)+pxz ==0]

Derivative[0,1][(Subscript[f, kk])][x,z]==(Subscript[g, ++gn])[z]/pxz

(Subscript[f, kk])[x,z]==(Subscript[g, ++gn])[z]/pxz+(Subscript[g, ++gn])[x]