Pensieve header: Normally Ordered Exponentials at 0-Co in the t variables.

"NO” for “Normal Order”.

𝔼 /: 𝔼[Q1_]𝔼[Q2_] := Simp@𝔼[Q1+Q2]

Simp[ω_.𝔼[Q_]] := ExpandDenominator[ω]𝔼[ω Expand@Cancel[Q/ω]];
ω1_.𝔼[Q1_] ≡ ω2_.𝔼[Q2_] := Together[ω1-ω2]==0∧Together[Q1-Q2]==0;
brule={b->Log[t],(Subscript[b, l_]):>Log[(Subscript[t, l])]};

NO[(Subscript[u, i_]),(Subscript[c, j_]),k_][ω_.𝔼[Q_]] := Simp@Module[
{α=(∂_(Subscript[c, j]))Q,β=(∂_(Subscript[u, i]))Q, Θ=Q/.(Subscript[c, j])|(Subscript[u, i])->0},
 ω 𝔼[(E^(-α/.brule))β (Subscript[u, k])+α (Subscript[c, k])+Θ]];
NO[(Subscript[w, i_]),(Subscript[c, j_]),k_][ω_.𝔼[Q_]] := Simp@Module[
{α=(∂_(Subscript[c, j]))Q,β=(∂_(Subscript[w, i]))Q, Θ=Q/.(Subscript[c, j])|(Subscript[w, i])->0},
 ω 𝔼[(E^(α/.brule))β (Subscript[w, k])+α (Subscript[c, k])+Θ]];
NO[(Subscript[w, i_]),(Subscript[u, j_]),k_][ω_.𝔼[Q_]] := Simp@Module[{α=(∂_(Subscript[w, i]))Q/.(Subscript[u, j])->0, β=(∂_(Subscript[u, j]))Q/.(Subscript[w, i])->0, δ=(∂_((Subscript[w, i]),(Subscript[u, j])))Q,Θ=Q/.(Subscript[w, i])|(Subscript[u, j])->0,ν},
ν=(((1+((Subscript[t, k])-1) δ))^(-1));
ν ω 𝔼[(1-(Subscript[t, k]))ν α β+ν β (Subscript[u, k])+ν δ (Subscript[u, k])(Subscript[w, k])+ν α (Subscript[w, k]) +Θ]
];

m[i_,j_,k_][Z_] :=Simp@Module[{a},(Z /. {(Subscript[b, i|j])->(Subscript[b, k]), (Subscript[t, i|j])->(Subscript[t, k])} // NO[(Subscript[w, i]),(Subscript[c, j]),a]//NO[(Subscript[u, i]),(Subscript[c, a]),a]//NO[(Subscript[w, a]),(Subscript[u, j]),a]) /. {(Subscript[c, i])->(Subscript[c, k]),(Subscript[w, j])->(Subscript[w, k]),(Subscript[y_, a]):>(Subscript[y, k])}]

σ[i_,j_][ℰ_] := ℰ /. {(Subscript[b, i])->(Subscript[b, j]), (Subscript[t, i])->(Subscript[t, j]), (Subscript[c, i])->(Subscript[c, j]), (Subscript[u, i])->(Subscript[u, j]), (Subscript[w, i])->(Subscript[w, j])}

Rp[i_,j_]:=𝔼[(Subscript[b, i])(Subscript[c, j])+(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])];
Rm[i_,j_]:=𝔼[-(Subscript[b, i])(Subscript[c, j])-(Subscript[t, i]^(-1))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])];

NO[(Subscript[u, 1]),(Subscript[c, 1]),1][𝔼[(Subscript[b, 2])(Subscript[c, 1])+(Subscript[w, 2])(Subscript[u, 1])+(Subscript[u, 3])(Subscript[w, 4])]]

Q0=𝔼[Sum[(Subscript[β, i])(Subscript[c, i]),{i,3}]+Sum[(Subscript[α, i,j])(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),{i,3},{j,3}]]

Q0 // m[1,2,1]

Q0//NO[(Subscript[w, 1]),(Subscript[u, 2]),3]

t1=Q0 // m[1,2,1]//m[1,3,1]

t2=Q0 // m[2,3,2]//m[1,2,1]

Simplify[t1≡t2]

Rp[1,2]Rm[4,3]

Rp[1,2]Rm[4,3] // m[1,4,1] // m[2,3,2]

Rm[1,2]Rp[4,3] // m[4,1,4]//m[2,3,2]

t1=Rp[1,2]Rp[3,4]Rp[5,6] // m[3,5,a]//m[1,6,b]//m[2,4,c]

t2=Rp[1,2]Rp[3,4]Rp[5,6]//m[1,3,a]//m[2,5,b]//m[4,6,c]

t1≡t2

t3=Rm[12,1]Rm[2,7]Rm[8,3]Rm[4,11]Rp[16,5]Rp[6,13]Rp[14,9]Rp[10,15]

t3//m[1,2,1]

t3//m[1,2,1]//m[1,3,1]

t4=t3;
Do[t4=t4//m[1,kk,1], {kk, 2,16}]; Simp@t4

Simplify[t4 /. _𝔼->1]

Rp[1,2]Rp[3,4]Rp[5,6] // m[1,4,4]//m[4,5,5]//m[5,2,2]//m[2,3,3]//m[3,6,6]//m[6,1,1]

Rp[1,2]Rp[3,4]Rp[5,6] // m[1,4,4]//m[4,5,5]//m[5,2,2]//m[2,3,3]

Rp[1,2]Rp[3,4]Rp[5,6] // m[1,4,4]//m[4,5,5]//m[5,2,2]//m[2,3,3]//m[3,6,6]