Pensieve header: An attempt on a better rank 2 ($sl_3$) Gassner representation.

(Subscript[G, i_,j_])[ℰ_]:=Expand[ℰ/.{
(Subscript[e, j]):>(E^(Subscript[t, i]))(Subscript[e, j])+(1-(E^(Subscript[t, i])))(Subscript[e, i])
}];
bas={(Subscript[e, 1]),(Subscript[e, 2]),(Subscript[e, 3])};
lhs=bas//(Subscript[G, 1,2])//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 2,3]);
rhs=bas//(Subscript[G, 2,3])//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 1,2])
Simplify@Thread[lhs==rhs]

(Subscript[R2B, i_,j_])[ℰ_]:=Expand[ℰ/.{
(Subscript[e, j]):>T (Subscript[e, j])+(1-T)(Subscript[e, i]),
(Subscript[f, j]):>S (Subscript[f, j])+(1-S)(Subscript[f, i]),
(Subscript[g, j]):>T S (Subscript[g, j])+(1-T S)(Subscript[g, i])+(Subscript[c, 1])(Subscript[e, i])(Subscript[f, i])+(Subscript[c, 2])(Subscript[e, i])(Subscript[f, j])+(Subscript[c, 3])(Subscript[e, j])(Subscript[f, i])+(Subscript[c, 4])(Subscript[e, j])(Subscript[f, j]),
(Subscript[g, i]):>(Subscript[g, i])+(Subscript[c, 5])(Subscript[e, i])(Subscript[f, i])+(Subscript[c, 6])(Subscript[e, i])(Subscript[f, j])+(Subscript[c, 7])(Subscript[e, j])(Subscript[f, i])+(Subscript[c, 8])(Subscript[e, j])(Subscript[f, j])
}];
bas={(Subscript[e, 1]),(Subscript[e, 2]),(Subscript[e, 3]),(Subscript[f, 1]),(Subscript[f, 2]),(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 3]),(Subscript[g, 1]),(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])};
lhs=bas//(Subscript[R2B, 1,2])//(Subscript[R2B, 1,3])//(Subscript[R2B, 2,3]);
rhs=bas//(Subscript[R2B, 2,3])//(Subscript[R2B, 1,3])//(Subscript[R2B, 1,2]);
rhs-lhs

eqs=Union@@Table[CoefficientRules[eq, {(Subscript[e, 1]),(Subscript[e, 2]),(Subscript[e, 3]),(Subscript[f, 1]),(Subscript[f, 2]),(Subscript[f, 3]),(Subscript[g, 1]),(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])}]/.(_->c_):>(c==0), {eq,lhs-rhs}]

{sol}=Solve[eqs,{(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 3]),(Subscript[c, 4]),(Subscript[c, 5]),(Subscript[c, 6]),(Subscript[c, 7]),(Subscript[c, 8])}]

sol/.Rule->Set

{(Subscript[g, 1]),(Subscript[g, 2])}//(Subscript[R2B, 1,2])

bas={(Subscript[e, 1]),(Subscript[e, 2]),(Subscript[e, 3]),(Subscript[f, 1]),(Subscript[f, 2]),(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 3]),(Subscript[g, 1]),(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])};
lhs=bas//(Subscript[R2B, 1,2])//(Subscript[R2B, 1,3])//(Subscript[R2B, 2,3]);
rhs=bas//(Subscript[R2B, 2,3])//(Subscript[R2B, 1,3])//(Subscript[R2B, 1,2])
lhs==rhs

lhs=bas//(Subscript[R2B, 1,2])//(Subscript[R2B, 1,3]);
rhs=bas//(Subscript[R2B, 1,3])//(Subscript[R2B, 1,2])
lhs==rhs

FullSimplify[(Subscript[c, 1]) (Subscript[e, 1]) (Subscript[f, 1])-(Subscript[c, 1]) (Subscript[e, 2]) (Subscript[f, 1])-(Subscript[c, 2]) (Subscript[e, 2]) (Subscript[f, 1])+(Subscript[c, 2]) (Subscript[e, 1]) (Subscript[f, 2])]

(Subscript[LR2B, i_,j_])[ℰ_]:=Expand[ℰ/.{
(Subscript[e, i]):>T (Subscript[e, i])+(1-T) (Subscript[e, j]),
(Subscript[f, i]):>S (Subscript[f, i])+(1-S) (Subscript[f, j]),
(Subscript[g, i]):>T S (Subscript[g, i])+(1-T S) (Subscript[g, j])
+(Subscript[c, 1]) ((Subscript[e, i])-(Subscript[e, j])) (Subscript[f, j])+(Subscript[c, 2]) ((Subscript[e, i]) (Subscript[f, j])-(Subscript[e, j]) (Subscript[f, i]))
}];
(Subscript[(OverBar[LR2B]), i_,j_])[ℰ_]:=Expand[ℰ/.{
(Subscript[e, i]):>(T^(-1)) (Subscript[e, i])+(1-(T^(-1))) (Subscript[e, j]),
(Subscript[f, i]):>(S^(-1)) (Subscript[f, i])+(1-(S^(-1))) (Subscript[f, j]),
(Subscript[g, i]):>(T^(-1)) (S^(-1)) (Subscript[g, i])+(1-(T^(-1)) (S^(-1))) (Subscript[g, j])
+(Subscript[d, 1])(Subscript[e, i])(Subscript[f, i])+(Subscript[d, 2])(Subscript[e, i])(Subscript[f, j])+(Subscript[d, 3])(Subscript[e, j])(Subscript[f, i])+(Subscript[d, 4])(Subscript[e, j])(Subscript[f, j])
}];
bas={(Subscript[e, 1]),(Subscript[e, 2]),(Subscript[e, 3]),(Subscript[f, 1]),(Subscript[f, 2]),(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 3]),(Subscript[g, 1]),(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])};
{eqn}=DeleteCases[(bas//(Subscript[LR2B, 1,2])//(Subscript[(OverBar[LR2B]), 1,2]))-bas,0]

eqs=Union@CoefficientRules[eqn, {(Subscript[e, 1]),(Subscript[e, 2]),(Subscript[e, 3]),(Subscript[f, 1]),(Subscript[f, 2]),(Subscript[f, 3]),(Subscript[g, 1]),(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])}]/.(_->c_):>(c==0)

{sol}=Solve[eqs,{(Subscript[d, 1]),(Subscript[d, 2]),(Subscript[d, 3]),(Subscript[d, 4])}]

(Subscript[LR2B, i_,j_])[ℰ_]:=Expand[ℰ/.{
(Subscript[e, i]):>T (Subscript[e, i])+(1-T) (Subscript[e, j]),
(Subscript[f, i]):>S (Subscript[f, i])+(1-S) (Subscript[f, j]),
(Subscript[g, i]):>T S (Subscript[g, i])+(1-T S) (Subscript[g, j])
+(Subscript[c, 1]) ((Subscript[e, i])-(Subscript[e, j])) (Subscript[f, j])+(Subscript[c, 2]) ((Subscript[e, i]) (Subscript[f, j])-(Subscript[e, j]) (Subscript[f, i]))
}];
(Subscript[(OverBar[LR2B]), i_,j_])[ℰ_]:=Expand[ℰ/.{
(Subscript[e, i]):>(T^(-1)) (Subscript[e, i])+(1-(T^(-1))) (Subscript[e, j]),
(Subscript[f, i]):>(S^(-1)) (Subscript[f, i])+(1-(S^(-1))) (Subscript[f, j]),
(Subscript[g, i]):>(T^(-1)) (S^(-1)) (Subscript[g, i])+(1-(T^(-1)) (S^(-1))) (Subscript[g, j])
+((-(Subscript[c, 1])-(Subscript[c, 2]))/(S (T^2)))(Subscript[e, i])(Subscript[f, j])+((Subscript[c, 2])/((S^2) T))(Subscript[e, j])(Subscript[f, i])+((S (Subscript[c, 1])+S (Subscript[c, 2])-T (Subscript[c, 2]))/((S^2) (T^2)))(Subscript[e, j])(Subscript[f, j])
}];
bas={(Subscript[e, 1]),(Subscript[e, 2]),(Subscript[e, 3]),(Subscript[f, 1]),(Subscript[f, 2]),(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 3]),(Subscript[g, 1]),(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])};
(bas//(Subscript[LR2B, 1,2])//(Subscript[(OverBar[LR2B]), 1,2]))==bas
Simplify@Thread[((bas//(Subscript[(OverBar[LR2B]), 1,2])//(Subscript[LR2B, 1,2]))==bas)]
Simplify@Thread[(bas//(Subscript[LR2B, 3,2])//(Subscript[(OverBar[LR2B]), 3,2]))==bas]
lhs=bas//(Subscript[LR2B, 1,2])//(Subscript[LR2B, 1,3])//(Subscript[LR2B, 2,3]);
rhs=bas//(Subscript[LR2B, 2,3])//(Subscript[LR2B, 1,3])//(Subscript[LR2B, 1,2]);
Simplify@Thread[lhs==rhs]