Pensieve header: Proof of invariance of $\rho_2$ using integration techniques.

Initialization

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\HigherRank"];
Once[<<KnotTheory`; <<Rot.m];
<< FormalGaussianIntegration.m;

T2z[p_]:=Module[{q=Expand[p],n,c},
If[q===0,0,c=Coefficient[q,T,n=Exponent[q,T]];c (z^(2n))+T2z[q-c((((T^(1/2))-(T^(-1/2))))^(2n))]]];

Features[Knot[8,17]]

The (Subscript[ρ, 2]) Integrand

Adopted from pensieve://Talks//Oaxaca-2210/Rho.nb.

𝒮={(Subscript[x, _]),(Subscript[p, _])};
q[s_,i_,j_]:=(Subscript[x, i]) ((Subscript[p, i+1])-(Subscript[p, i]))+(Subscript[x, j]) ((Subscript[p, j+1])-(Subscript[p, j]))+((T^s)-1)(Subscript[x, i])((Subscript[p, i+1])-(Subscript[p, j+1]));
(Subscript[r, 1])[s_,i_,j_]:=(s/2)((Subscript[x, i])((Subscript[p, i])-(Subscript[p, j]))(((T^s)-1)(Subscript[x, i])(Subscript[p, j])+2(1-(Subscript[p, j])(Subscript[x, j])))-1);
(Subscript[r, 2])[1,i_,j_]:=(-6 (Subscript[p, i]) (Subscript[x, i])+6 (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i])-3 (-1+3 T) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^2)+3 (-1+3 T) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^2)+4 (-1+T) (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^3)-2 (-1+T) (5+T) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^3)+2 (-1+T) (3+T) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^3)+18 (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j])-18 (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j])-6 (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])+6 (2+T) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])-6 (1+T) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])-6 (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]^2)+6 (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]^2))/12;
(Subscript[r, 2])[-1,i_,j_]:=(-6 (T^2) (Subscript[p, i]) (Subscript[x, i])+6 (T^2) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i])+3 (-3+T) T (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^2)-3 (-3+T) T (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^2)-4 (-1+T) T (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^3)+2 (-1+T) (1+5 T) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^3)-2 (-1+T) (1+3 T) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^3)+18 (T^2) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j])-18 (T^2) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j])-6 (T^2) (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])+6 T (1+2 T) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])-6 T (1+T) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])-6 (T^2) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]^2)+6 (T^2) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]^2))/(12(T^2));
(Subscript[γ, 1])[φ_,k_]:=φ(1/2-(Subscript[x, k])(Subscript[p, k]));
(Subscript[γ, 2])[φ_,k_]:=-(φ^2)(Subscript[p, k])(Subscript[x, k])/2;
ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[s_]]:=(T^(s/2))𝔼[q[s,i,j]+ϵ (Subscript[r, 1])[s,i,j]+(ϵ^2)(Subscript[r, 2])[s,i,j]+((O[ϵ])^3)];
ℒ[(Subscript[C, k_])[φ_]]:=(T^(φ/2))𝔼[-(Subscript[x, k])((Subscript[p, k])-(Subscript[p, k+1]))+ϵ (Subscript[γ, 1])[φ,k]+(ϵ^2)(Subscript[γ, 2])[φ,k]+((O[ϵ])^3)];
ℒ[K_]:=(((2π))^(-Features[K][[1]]))CF[ℒ/@Features[K][[2]]];
vs[K_] := Union@@Table[{(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i])},{i,Features[K][[1]]}]

Features[Knot[3,1]]

ℒ[Knot[3,1]]

vs[Knot[3,1]]

K=Knot[3,1]; ∫ℒ[K]\[DifferentialD](vs@K)

T2z[(T^(-2)) (1-4 (T^2)+(T^4))]

K=Knot[5,2]; ∫ℒ[K]\[DifferentialD](vs@K)

T2z[(1-4 T+11 (T^2)-44 (T^3)+76 (T^4)-44 (T^5)+11 (T^6)-4 (T^7)+(T^8))/(T^4)]

K=Knot[8,19]; ∫ℒ[K]\[DifferentialD](vs@K)

K=Knot[3,1]; Features[K]

{L}=Cases[ℒ[K],ϵSeries[Q_,___]:>Q,∞]

∫𝔼[L+ϵ (Subscript[x, 4])(Subscript[p, 1])+((O[ϵ])^2)]\[DifferentialD](vs@K)

∫𝔼[L+ϵ (Subscript[x, 4])(Subscript[p, 2])+((O[ϵ])^2)]\[DifferentialD](vs@K)

∫𝔼[L+ϵ (Subscript[x, 4])(Subscript[p, 6])+((O[ϵ])^2)]\[DifferentialD](vs@K)

∫𝔼[L+ϵ (Subscript[x, 4])(Subscript[p, 7])+((O[ϵ])^2)]\[DifferentialD](vs@K)

∫𝔼[L+ϵ (Subscript[x, 4])(Subscript[p, 8])+((O[ϵ])^2)]\[DifferentialD](vs@K)

∫𝔼[L+ϵ (Subscript[x, 1])(Subscript[p, 1])+((O[ϵ])^2)]\[DifferentialD](vs@K)

∫𝔼[L+ϵ (Subscript[x, 1])(Subscript[p, 2])+((O[ϵ])^2)]\[DifferentialD](vs@K)

Invariance Under Reidemeister 3b

lhs=∫(𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+(Subscript[π, k])(Subscript[p, k])]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, i+1,k])[1](Subscript[X, j+1,k+1])[1]))\[DifferentialD]{(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[p, k]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[p, k+1]),(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[x, k]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[x, k+1])}
rhs=∫(𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+(Subscript[π, k])(Subscript[p, k])]ℒ/@((Subscript[X, j,k])[1](Subscript[X, i,k+1])[1](Subscript[X, i+1,j+1])[1]))\[DifferentialD]{(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[p, k]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[p, k+1]),(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[x, k]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[x, k+1])};
lhs==rhs

Scattering by the crossings

{(1/(4(π^2)))∫𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+O[ϵ]]ℒ[(Subscript[X, i,j])[1]]\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j])}, (1/(4(π^2)))∫𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+O[ϵ]]ℒ[(Subscript[X, i,j])[-1]]\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j])}}

Invariance Under Reidemeister 2b

Territory: (Subscript[(x|p), (SuperPlus[(i|j)])]), (Subscript[x, i|j]).

lhs=∫𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, i+1,j+1])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1])}
rhs=∫𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, j])[0](Subscript[C, j+1])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1])};
lhs==rhs

Invariance Under R2c

lhs=∫𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]ℒ/@((Subscript[X, i+1,j])[1](Subscript[X, i,j+2])[-1](Subscript[C, j+1])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[x, j+2]),(Subscript[p, j+2])}
rhs=∫𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, j])[0](Subscript[C, j+1])[1](Subscript[C, j+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[x, j+2]),(Subscript[p, j+2])};
lhs==rhs

Invariance Under R1l

lhs=∫𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]ℒ/@((Subscript[X, i+2,i])[1](Subscript[C, i+1])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2])}
rhs=∫𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, i+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2])};
lhs==rhs

Invariance Under R1r

lhs=∫𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]ℒ/@((Subscript[X, i,i+2])[1](Subscript[C, i+1])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2])}
rhs=∫𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, i+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2])};
lhs==rhs

Invariance Under Sw

lhs=∫𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]ℒ/@((Subscript[X, i+1,j+1])[1](Subscript[C, i])[-1](Subscript[C, j])[-1](Subscript[C, i+2])[1](Subscript[C, j+2])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2]),(Subscript[x, j+2]),(Subscript[p, j+2])}
rhs=∫𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]ℒ/@((Subscript[X, i+1,j+1])[1](Subscript[C, i])[0](Subscript[C, j])[0](Subscript[C, i+2])[0](Subscript[C, j+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2]),(Subscript[x, j+2]),(Subscript[p, j+2])};
lhs==rhs