Pensieve header: Proof of invariance of $\rho_1$ using integration techniques.

Initialization

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\HigherRank"];
Once[<<KnotTheory`; <<Rot.m];
<< FormalGaussianIntegration.m;

The (Subscript[ρ, 1]) Integrand

Adopted from pensieve://Projects/APAI/PerturbedGaussianIntegration.nb.

q[s_,i_,j_]:=(Subscript[x, i])((1-(T^s))(Subscript[p, i+1])+((T^s)-1)(Subscript[p, j+1]));
(Subscript[r, 1])[s_,i_,j_]:=s(-1+2(Subscript[p, i])(Subscript[x, i])-2(Subscript[p, j])(Subscript[x, i])+((T^s)-1)(Subscript[p, i])(Subscript[p, j])(Subscript[x, i]^2)+(1-(T^s))(Subscript[p, j]^2)(Subscript[x, i]^2)-2(Subscript[p, i])(Subscript[p, j])(Subscript[x, i])(Subscript[x, j])+2(Subscript[p, j]^2)(Subscript[x, i])(Subscript[x, j]))/2;
(Subscript[γ, 1])[φ_,k_]:=ϵ φ(1/2-(Subscript[x, k])(Subscript[p, k]));
ρ1i[s_,i_,j_]:=(T^(s/2))𝔼[-q[s,i,j]+ϵ (Subscript[r, 1])[s,i,j]+((O[ϵ])^2)];
ρ1i[φ_,k_]:=(T^(φ/2))𝔼[-(Subscript[x, k]) ((Subscript[p, k])-(Subscript[p, k+1]))+(Subscript[γ, 1])[φ,k]+((O[ϵ])^2)];
ρ1i[End,k_]:=𝔼[-(Subscript[x, k])(Subscript[p, k])+((O[ϵ])^2)];
ρ1i[K_]:=Module[{Cs,φ,n,c,k,ℰ},
{Cs,φ}=Rot[K]; n=Length[Cs];
ℰ=ρ1i[End,2n+1];
Do[ℰ*=ρ1i@@c,{c,Cs}];
Do[ℰ*=ρ1i[φ[[k]],k],{k,2n}];
CF@ℰ
];
ρ1vs[K_] := Union@@Table[{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i])},{i,2Crossings[K]+1}]

ρ1i[Knot[3,1]]

ρ1vs[Knot[3,1]]

K=Knot[5,2]; ρ1i[K]

K=Knot[5,2]; ∫ρ1i[K]\[DifferentialD](ρ1vs@K)

K=Knot[8,19]; ∫ρ1i[K]\[DifferentialD](ρ1vs@K)

Concatenating edges

lhs=∫(𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]ρ1i[φ1,i]ρ1i[φ2,i+1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1])}
rhs=∫(𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]ρ1i[φ1+φ2,i])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i])}

Invariance Under Reidemeister 3b

lhs=∫(𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+(Subscript[π, k])(Subscript[p, k])+((O[ϵ])^2)]ρ1i[1,i,j]ρ1i[1,i+1,k]ρ1i[1,j+1,k+1]ρ1i[0,i]ρ1i[0,j]ρ1i[0,k]ρ1i[0,i+1]ρ1i[0,j+1]ρ1i[0,k+1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[x, k]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[p, k]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[x, k+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[p, k+1])}
rhs=∫(𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+(Subscript[π, k])(Subscript[p, k])+((O[ϵ])^2)]ρ1i[1,j,k]ρ1i[1,i,k+1]ρ1i[1,i+1,j+1]ρ1i[0,i]ρ1i[0,j]ρ1i[0,k]ρ1i[0,i+1]ρ1i[0,j+1]ρ1i[0,k+1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[x, k]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[p, k]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[x, k+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[p, k+1])};
lhs==rhs

Invariance Under Reidemeister 2b

Territory: (Subscript[(x|p), (SuperPlus[(i|j)])]), (Subscript[x, i|j]).

lhs=∫(𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]ρ1i[1,i,j]ρ1i[-1,i+1,j+1]ρ1i[0,i]ρ1i[0,j]ρ1i[0,i+1]ρ1i[0,j+1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1])}
rhs=∫(𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]ρ1i[0,i]ρ1i[0,j]ρ1i[0,i+1]ρ1i[0,j+1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1])};
lhs==rhs

Invariance Under R2c

lhs=∫(𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]ρ1i[-1,i,j+1]ρ1i[1,i+1,j]ρ1i[0,i]ρ1i[0,j]ρ1i[0,i+1]ρ1i[1,j+1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1])}

rhs=∫(𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]ρ1i[0,i]ρ1i[0,j]ρ1i[0,i+1]ρ1i[1,j+1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1])};
lhs==rhs

Invariance Under R1l

lhs=∫(𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]ρ1i[1,i+1,i]ρ1i[0,i]ρ1i[1,i+1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1])}

rhs=∫(𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]ρ1i[0,i]ρ1i[0,i+1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1])};
lhs==rhs

Invariance Under R1r

lhs=∫(𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]ρ1i[1,i,i+1]ρ1i[0,i]ρ1i[-1,i+1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1])}

rhs=∫(𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]ρ1i[0,i]ρ1i[0,i+1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1])};
lhs==rhs

Invariance Under Sw

lhs=∫(𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+ϵ (Subscript[π, i+1])(Subscript[p, i+1])+ϵ (Subscript[π, j+1])(Subscript[p, j+1])+(Subscript[ξ, i+1])(Subscript[x, i+1])+(Subscript[ξ, j+1])(Subscript[x, j+1])+((O[ϵ])^2)]ρ1i[1,i,j]ρ1i[-1,i]ρ1i[1,i+1]ρ1i[-1,j]ρ1i[1,j+1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1])}
rhs=∫(𝔼[(Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+ϵ (Subscript[π, i+1])(Subscript[p, i+1])+ϵ (Subscript[π, j+1])(Subscript[p, j+1])+(Subscript[ξ, i+1])(Subscript[x, i+1])+(Subscript[ξ, j+1])(Subscript[x, j+1])+((O[ϵ])^2)]ρ1i[1,i,j]ρ1i[0,i]ρ1i[0,i+1]ρ1i[0,j]ρ1i[0,j+1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1])};
lhs==rhs