Pensieve header:  Finding the A2 $d=1$ invariant using undetermined coefficients.

Searching for Q+pxx+ϵ(ppx+1+px+ppxx) solutions.

Initialization

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\HigherRank"];
Once[<<KnotTheory`; <<Rot.m];
<< FormalGaussianIntegration.m;
(SuperPlus[i_]):=i+1;

Features[Knot[8,17]]

(Subscript[T, 3])=(Subscript[T, 1])(Subscript[T, 2]);
𝒮={(Subscript[x, __]),(Subscript[p, __])};
q[s_,i_,j_]:=Sum[
(Subscript[x, ν,i]) ((Subscript[p, ν,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, ν,i]))+(Subscript[x, ν,j]) ((Subscript[p, ν,(SuperPlus[j])])-(Subscript[p, ν,j]))+((Subscript[T, ν]^s)-1)(Subscript[x, ν,i])((Subscript[p, ν,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, ν,(SuperPlus[j])])),
{ν,3}];
ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[s_]]:=(Subscript[T, 3]^s)𝔼[q[s,i,j]+(Subscript[r, 0])[s,i,j]+ϵ (Subscript[r, 1])[s,i,j]+((O[ϵ])^1)];
(*(Subscript[γ, 1])[φ_,k_]:=φ(3/2-(Subscript[x, 1,k])(Subscript[p, 1,k])-(Subscript[x, 2,k])(Subscript[p, 2,k])-(Subscript[x, 3,k])(Subscript[p, 3,k]));*)
ℒ[(Subscript[C, k_])[φ_]]:=(Subscript[T, 3]^φ)𝔼[Sum[(Subscript[x, ν,k])((Subscript[p, ν,(SuperPlus[k])])-(Subscript[p, ν,k])),{ν,3}]+ϵ (Subscript[γ, 1])[φ,k]+((O[ϵ])^1) ];
(Subscript[ps, i_]):=Sequence[(Subscript[p, 1,i]),(Subscript[p, 2,i]),(Subscript[p, 3,i])];
(Subscript[xs, i_]):=Sequence[(Subscript[x, 1,i]),(Subscript[x, 2,i]),(Subscript[x, 3,i])];
(Subscript[vs, i_]):=Sequence[(Subscript[ps, i]),(Subscript[xs, i])];
ℱ[is___]:=𝔼[Sum[(Subscript[π, ν,i])(Subscript[p, ν,i]),{i,{is}}, {ν,3}]];
ℒ[K_]:=(((2π))^(-Features[K][[1]]))CF[ℒ/@Features[K][[2]]];
vs[K_] := Union@@Table[{(Subscript[vs, i])},{i,Features[K][[1]]}]

(Subscript[vs, i])

The pxx Terms ((Subscript[r, 0]))

κ=0;
(Subscript[r, 0])[1,i_,j_]:=Evaluate[Sum[
(Subscript[a, ++κ])(Subscript[p, 3,k3])(Subscript[x, 1,k1])(Subscript[x, 2,k2]),
{k1,{i,j}},{k2,{i,j}},{k3,{i,j}}
]];
(Subscript[r, 0])[1,i,j]

ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[s_]]:=(Subscript[T, 3]^s)𝔼[q[s,i,j]+(Subscript[r, 0])[s,i,j]];
ℒ[(Subscript[X, i,j])[1]]

Reidemeister 3 for pxx ((Subscript[r, 0]))

{lhs}=Cases[∫ℱ[i,j,k]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),k])[1](Subscript[X, (SuperPlus[j]),(SuperPlus[k])])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, k]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[k])])},𝔼[ℰ_]:>ℰ,∞];

{rhs}=Cases[∫ℱ[i,j,k]ℒ/@((Subscript[X, j,k])[1](Subscript[X, i,(SuperPlus[k])])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),(SuperPlus[j])])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, k]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[k])])},𝔼[ℰ_]:>ℰ,∞];

eqn=CF[lhs-rhs];

cvs=Union@Cases[eqn,(Subscript[p, __])|(Subscript[π, __]),∞]

eqns=CoefficientRules[eqn,cvs]/.(_->c_):>(c==0);

vars=Union@Cases[(Subscript[r, 0])[1,i,j],(Subscript[a, _]),∞]

{sol}=Solve[eqns,vars]

sol/.(v_->val_):>(v=CF[val]);

(Subscript[r, 0])[1,i,j]

The ppx Terms ((Subscript[r, 1]))

κ=0;
(Subscript[r, 1])[1,i_,j_]:=Evaluate[Sum[
(Subscript[b, ++κ])(Subscript[x, 3,k3])(Subscript[p, 1,k1])(Subscript[p, 2,k2]),
{k1,{i,j}},{k2,{i,j}},{k3,{i,j}}
]];
(Subscript[r, 1])[1,i,j]

ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[s_]]:=(Subscript[T, 3]^s)𝔼[q[s,i,j]+ϵ (Subscript[r, 1])[s,i,j]+((O[ϵ])^2)];
ℒ[(Subscript[X, i,j])[1]]

Reidemeister 3 for ppx ((Subscript[r, 1]))

{lhs}=Cases[∫ℱ[i,j,k]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),k])[1](Subscript[X, (SuperPlus[j]),(SuperPlus[k])])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, k]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[k])])},ϵSeries[_,ℰ_]:>ℰ,∞];

{rhs}=Cases[∫ℱ[i,j,k]ℒ/@((Subscript[X, j,k])[1](Subscript[X, i,(SuperPlus[k])])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),(SuperPlus[j])])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, k]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[k])])},ϵSeries[_,ℰ_]:>ℰ,∞];

eqn=CF[lhs-rhs];

cvs=Union@Cases[eqn,(Subscript[p, __])|(Subscript[π, __]),∞]

eqns=CoefficientRules[eqn,cvs]/.(_->c_):>(c==0);

vars=Union@Cases[(Subscript[r, 1])[1,i,j],(Subscript[b, _]),∞]

{sol}=Solve[eqns,vars]

sol/.(v_->val_):>(v=CF[val]);

(Subscript[r, 1])[1,i,j]

Reidemeister 3 with pxx and ppx

ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[s_]]:=(Subscript[T, 3]^s)𝔼[q[s,i,j]+(B^(-1)) (Subscript[r, 0])[s,i,j]+ϵ B (Subscript[r, 1])[s,i,j]+((O[ϵ])^2)];
ℒ[(Subscript[X, i,j])[1]]

∫ℱ[i,j,k]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),k])[1](Subscript[X, (SuperPlus[j]),(SuperPlus[k])])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, k]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[k])])}

{lhs}=Cases[∫ℱ[i,j,k]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),k])[1](Subscript[X, (SuperPlus[j]),(SuperPlus[k])])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, k]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[k])])},𝔼[ℰ_]:>ℰ,∞];

{rhs}=Cases[∫ℱ[i,j,k]ℒ/@((Subscript[X, j,k])[1](Subscript[X, i,(SuperPlus[k])])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),(SuperPlus[j])])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, k]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[k])])},𝔼[ℰ_]:>ℰ,∞];

Echo/@Short/@(CF@CoefficientList[CF[lhs-rhs][[2]] /. {(Subscript[a, i_]):>λ (Subscript[a, i]),(Subscript[b, i_]):>λ (Subscript[b, i])},λ]);

err=CF@Coefficient[CF[lhs-rhs][[2]] /. {(Subscript[a, i_]):>λ (Subscript[a, i]),(Subscript[b, i_]):>λ (Subscript[b, i])},(λ^2)]

Reidemeister 3 with ppxx and px added

κ=0;
(Subscript[r, 42])[1,i_,j_]=Evaluate[Plus[
Sum[
(Subscript[c, ++κ])(Subscript[x, ν1,k1])(Subscript[p, ν1,k2])(Subscript[x, ν2,k3])(Subscript[p, ν2,k4]),
{k1,{i,j}},{k2,{i,j}},{k3,{i,j}},{k4,{i,j}},{ν1,2},{ν2,ν1+1,3}
],
Sum[
(Subscript[c, ++κ])(Subscript[x, ν,k1])(Subscript[p, ν,k2]),
{k1,{i,j}},{k2,{i,j}},{ν,3}
]
]]

ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[s_]]:=(Subscript[T, 3]^s)𝔼[q[s,i,j]+ϵ (Subscript[r, 42])[s,i,j]+((O[ϵ])^2)];
ℒ[(Subscript[X, i,j])[1]]

{lhs}=Cases[∫ℱ[i,j,k]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),k])[1](Subscript[X, (SuperPlus[j]),(SuperPlus[k])])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, k]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[k])])},𝔼[ℰ_]:>ℰ,∞]

{rhs}=Cases[∫ℱ[i,j,k]ℒ/@((Subscript[X, j,k])[1](Subscript[X, i,(SuperPlus[k])])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),(SuperPlus[j])])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, k]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[k])])},𝔼[ℰ_]:>ℰ,∞]

eqn=CF[(lhs-rhs)[[2]]-err]

cvs=Union@Cases[eqn,(Subscript[p, __])|(Subscript[π, __]),∞]

eqns=CoefficientRules[eqn,cvs]/.(_->c_):>(c==0)

vars=Union@Cases[(Subscript[r, 42])[1,i,j],(Subscript[c, _]),∞]

{sol}=Solve[eqns,vars]

sol/.(v_->val_):>(v=CF[val]);

CF[(Subscript[r, 42])[1,i,j]]

Testing

ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[s_]]:=(Subscript[T, 3]^s)𝔼[q[s,i,j]+(Subscript[r, 0])[s,i,j]+ϵ (Subscript[r, 1])[s,i,j]-ϵ (Subscript[r, 42])[s,i,j]+((O[ϵ])^2)];
ℒ[(Subscript[X, i,j])[1]]//Short

{lhs}=Cases[∫ℱ[i,j,k]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),k])[1](Subscript[X, (SuperPlus[j]),(SuperPlus[k])])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, k]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[k])])},𝔼[ℰ_]:>ℰ,∞];

{rhs}=Cases[∫ℱ[i,j,k]ℒ/@((Subscript[X, j,k])[1](Subscript[X, i,(SuperPlus[k])])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),(SuperPlus[j])])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, k]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[k])])},𝔼[ℰ_]:>ℰ,∞];

CF[lhs-rhs][[1]]

Echo/@Short/@(CF@CoefficientList[CF[lhs-rhs][[2]] /. {(Subscript[a, i_]):>λ (Subscript[a, i]),(Subscript[b, i_]):>λ (Subscript[b, i])},λ]);

Coefficient[CF@Coefficient[CF[lhs-rhs][[2]] /. {(Subscript[a, i_]):>λ (Subscript[a, i]),(Subscript[b, i_]):>λ (Subscript[b, i])},λ] /. {(Subscript[p, i__]):>λ (Subscript[p, i]), (Subscript[π, i__]):>(λ^(-1)) (Subscript[π, i])},λ,0]

Coefficient[CF@Coefficient[CF[lhs-rhs][[2]] /. {(Subscript[a, i_]):>λ (Subscript[a, i]),(Subscript[b, i_]):>λ (Subscript[b, i])},λ] /. {(Subscript[p, i__]):>λ (Subscript[p, i]), (Subscript[π, i__]):>(λ^(-1)) (Subscript[π, i])},λ,1]

Coefficient[CF@Coefficient[CF[lhs-rhs][[2]] /. {(Subscript[a, i_]):>λ (Subscript[a, i]),(Subscript[b, i_]):>λ (Subscript[b, i])},λ] /. {(Subscript[p, i__]):>λ (Subscript[p, i]), (Subscript[π, i__]):>(λ^(-1)) (Subscript[π, i])},λ,2]

CF@Coefficient[CF[lhs-rhs][[2]] /. {(Subscript[a, i_]):>λ (Subscript[a, i]),(Subscript[b, i_]):>λ (Subscript[b, i])},(λ^2)]

Coefficient[CF@Coefficient[CF[lhs-rhs][[2]] /. {(Subscript[a, i_]):>λ (Subscript[a, i]),(Subscript[b, i_]):>λ (Subscript[b, i])},(λ^2)] /. {(Subscript[p, i__]):>λ (Subscript[p, i]), (Subscript[π, i__]):>(λ^(-1)) (Subscript[π, i])},λ,0]

Playing

CF[(Subscript[r, 42])[1,i,j]/.{(Subscript[a, 4])->0,(Subscript[b, 3])->0,(Subscript[b, 5])->((Subscript[T, 1])-1)((Subscript[T, 2])-1)((Subscript[T, 3])-1)(Subscript[a, 2]^(-1)),(Subscript[c, 4|5|6|13|14|15|49|50|51|52|53|54])->0}]

CF[((Subscript[r, 0])[1,i,j]-((Subscript[r, 0])[1,i,j]/.{(Subscript[T, 1])->(Subscript[T, 2]),(Subscript[T, 2])->(Subscript[T, 1]),(Subscript[p, 1,i_]):>(Subscript[p, 2,i]),(Subscript[p, 2,i_]):>(Subscript[p, 1,i]),(Subscript[x, 1,i_]):>(Subscript[x, 2,i]),(Subscript[x, 2,i_]):>(Subscript[x, 1,i])}))/.(Subscript[a, 2])->-((Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2]))(Subscript[a, 4])]

CF[((Subscript[r, 1])[1,i,j]-((Subscript[r, 1])[1,i,j]/.{(Subscript[T, 1])->(Subscript[T, 2]),(Subscript[T, 2])->(Subscript[T, 1]),(Subscript[p, 1,i_]):>(Subscript[p, 2,i]),(Subscript[p, 2,i_]):>(Subscript[p, 1,i]),(Subscript[x, 1,i_]):>(Subscript[x, 2,i]),(Subscript[x, 2,i_]):>(Subscript[x, 1,i])}))/.(Subscript[b, 5])->(Subscript[b, 3])]

CF[((Subscript[r, 42])[1,i,j]-((Subscript[r, 42])[1,i,j]/.{(Subscript[T, 1])->(Subscript[T, 2]),(Subscript[T, 2])->(Subscript[T, 1]),(Subscript[p, 1,i_]):>(Subscript[p, 2,i]),(Subscript[p, 2,i_]):>(Subscript[p, 1,i]),(Subscript[x, 1,i_]):>(Subscript[x, 2,i]),(Subscript[x, 2,i_]):>(Subscript[x, 1,i])}))/.{(Subscript[a, 2])->-((Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2]))(Subscript[a, 4]),(Subscript[b, 5])->(Subscript[b, 3])}]

CF[((Subscript[r, 42])[1,i,j]-((Subscript[r, 42])[1,i,j]/.{(Subscript[T, 1])->(Subscript[T, 2]),(Subscript[T, 2])->(Subscript[T, 1]),(Subscript[p, 1,i_]):>(Subscript[p, 2,i]),(Subscript[p, 2,i_]):>(Subscript[p, 1,i]),(Subscript[x, 1,i_]):>(Subscript[x, 2,i]),(Subscript[x, 2,i_]):>(Subscript[x, 1,i])}))/.{(Subscript[a, 2])->-((Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2]))(Subscript[a, 4]),(Subscript[b, 5])->(Subscript[b, 3]),(Subscript[c, 50])->(Subscript[c, 49]),(Subscript[c, 53])->(Subscript[c, 52]),(Subscript[c, 13])->(Subscript[c, 4]),(Subscript[c, 6])->(Subscript[c, 5]),(Subscript[c, 15])->(Subscript[c, 14])}]

CF[(Subscript[r, 42])[1,i,j]/.{(Subscript[a, 2])->-((Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2]))(Subscript[a, 4]),(Subscript[b, 5])->(Subscript[b, 3]),(Subscript[c, 50])->(Subscript[c, 49]),(Subscript[c, 53])->(Subscript[c, 52]),(Subscript[c, 13])->(Subscript[c, 4]),(Subscript[c, 6])->(Subscript[c, 5]),(Subscript[c, 15])->(Subscript[c, 14])}/.{(Subscript[c, 4|5|14|49|51|52|54])->0}]

CF[(Subscript[r, 42])[1,i,j]/.{(Subscript[a, 2])->-((Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 2]))(Subscript[a, 4]),(Subscript[b, 5])->(Subscript[b, 3]),(Subscript[c, 50])->(Subscript[c, 49]),(Subscript[c, 53])->(Subscript[c, 52]),(Subscript[c, 13])->(Subscript[c, 4]),(Subscript[c, 6])->(Subscript[c, 5]),(Subscript[c, 15])->(Subscript[c, 14])}/.{(Subscript[c, 4|5|14|49|51|52|54])->0}/.{(Subscript[a, 4])->(Subscript[b, 3]^(-1))(-1+(Subscript[T, 1])) (-1+(Subscript[T, 2])) (-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2]))}]

Reidemeister 2b for (Subscript[r, 0])

κ=0;
(Subscript[r, 0])[-1,i_,j_]:=Evaluate[Sum[
(Subscript[d, ++κ])(Subscript[p, 3,k3])(Subscript[x, 1,k1])(Subscript[x, 2,k2]),
{k1,{i,j}},{k2,{i,j}},{k3,{i,j}}
]];
(Subscript[r, 0])[-1,i,j]

ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[s_]]:=(Subscript[T, 3]^s)𝔼[q[s,i,j]+(Subscript[r, 0])[s,i,j]+O[ϵ]];
ℒ[(Subscript[X, i,j])[-1]]

{lhs}=Cases[∫ℱ[i,j]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),(SuperPlus[j])])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])])},ϵSeries[ℰ_]:>ℰ,∞]

eqn=CF[lhs-((Subscript[p, 1,2+i]) (Subscript[π, 1,i])+(Subscript[p, 1,2+j]) (Subscript[π, 1,j])+(Subscript[p, 2,2+i]) (Subscript[π, 2,i])+(Subscript[p, 2,2+j]) (Subscript[π, 2,j])+(Subscript[p, 3,2+i]) (Subscript[π, 3,i])+(Subscript[p, 3,2+j]) (Subscript[π, 3,j]))]

cvs=Union@Cases[eqn,(Subscript[p, __])|(Subscript[π, __]),∞]

eqns=CoefficientRules[eqn,cvs]/.(_->c_):>(c==0)

vars=Union@Cases[(Subscript[r, 0])[-1,i,j],(Subscript[d, _]),∞]

{sol}=Solve[eqns,vars]

sol/.(v_->val_):>(v=CF[val]);

(Subscript[r, 0])[-1,i,j]

Reidemeister 2b for (Subscript[r, 1])

κ=0;
(Subscript[r, 1])[-1,i_,j_]:=Evaluate[Sum[
(Subscript[e, ++κ])(Subscript[x, 3,k3])(Subscript[p, 1,k1])(Subscript[p, 2,k2]),
{k1,{i,j}},{k2,{i,j}},{k3,{i,j}}
]];
(Subscript[r, 1])[-1,i,j]

ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[s_]]:=(Subscript[T, 3]^s)𝔼[q[s,i,j]+ϵ (Subscript[r, 1])[s,i,j]+((O[ϵ])^2)];
ℒ[(Subscript[X, i,j])[1]]
ℒ[(Subscript[X, i,j])[-1]]

{eqn}={lhs}=Cases[∫ℱ[i,j]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),(SuperPlus[j])])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])])},ϵSeries[_,ℰ_]:>ℰ,∞]

cvs=Union@Cases[eqn,(Subscript[p, __])|(Subscript[π, __]),∞]

eqns=CoefficientRules[eqn,cvs]/.(_->c_):>(c==0)

vars=Union@Cases[(Subscript[r, 1])[-1,i,j],(Subscript[e, _]),∞]

{sol}=Solve[eqns,vars]

sol/.(v_->val_):>(v=CF[val]);

(Subscript[r, 1])[-1,i,j]

Reidemeister 2b in full

ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[s_]]:=(Subscript[T, 3]^s)𝔼[q[s,i,j]+(Subscript[r, 0])[s,i,j]+ϵ (Subscript[r, 1])[s,i,j]+((O[ϵ])^2)];
ℒ[(Subscript[X, i,j])[1]]
ℒ[(Subscript[X, i,j])[-1]]

∫ℱ[i,j]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),(SuperPlus[j])])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])])}

Echo/@(CF@CoefficientList[Cases[∫ℱ[i,j]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),(SuperPlus[j])])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])])},ϵSeries[_,ℰ_]:>ℰ,∞][[1]] /. {(Subscript[a, i_]):>λ (Subscript[a, i]),(Subscript[b, i_]):>λ (Subscript[b, i])},λ]);

err=CF@Coefficient[Cases[∫ℱ[i,j]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),(SuperPlus[j])])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])])},ϵSeries[_,ℰ_]:>ℰ,∞][[1]] /. {(Subscript[a, i_]):>λ (Subscript[a, i]),(Subscript[b, i_]):>λ (Subscript[b, i])},(λ^2)]

κ=0;
(Subscript[r, 42])[-1,i_,j_]=Evaluate[Plus[
Sum[
(Subscript[f, ++κ])(Subscript[x, ν1,k1])(Subscript[p, ν1,k2])(Subscript[x, ν2,k3])(Subscript[p, ν2,k4]),
{k1,{i,j}},{k2,{i,j}},{k3,{i,j}},{k4,{i,j}},{ν1,2},{ν2,ν1+1,3}
],
Sum[
(Subscript[f, ++κ])(Subscript[x, ν,k1])(Subscript[p, ν,k2]),
{k1,{i,j}},{k2,{i,j}},{ν,3}
]
]]

ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[s_]]:=(Subscript[T, 3]^s)𝔼[q[s,i,j]+ϵ (Subscript[r, 42])[s,i,j]+((O[ϵ])^2)];
ℒ[(Subscript[X, i,j])[1]]
ℒ[(Subscript[X, i,j])[-1]]

{lhs}=Cases[∫ℱ[i,j]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),(SuperPlus[j])])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])])},ϵSeries[_,ℰ_]:>ℰ,∞]

eqn=CF[lhs-err]

cvs=Union@Cases[eqn,(Subscript[p, __])|(Subscript[π, __]),∞]

eqns=CoefficientRules[eqn,cvs]/.(_->c_):>(c==0)

vars=Union@Cases[(Subscript[r, 42])[-1,i,j],(Subscript[f, _]),∞]

{sol}=Solve[eqns,vars]

Length[sol]

sol/.(v_->val_):>(v=CF[val]);

CF[(Subscript[r, 42])[-1,i,j]]

CF[(Subscript[r, 42])[-1,i,j]/.{(Subscript[a, 4])->0,(Subscript[b, 3])->0,(Subscript[b, 5])->((Subscript[T, 1])-1)((Subscript[T, 2])-1)((Subscript[T, 3])-1)(Subscript[a, 2]^(-1)),(Subscript[c, 4|5|6|13|14|15|49|50|51|52|53|54])->0}]

ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[s_]]:=(Subscript[T, 3]^s)𝔼[q[s,i,j]+(Subscript[r, 0])[s,i,j]+ϵ (Subscript[r, 1])[s,i,j]-ϵ (Subscript[r, 42])[s,i,j]+((O[ϵ])^2)];
ℒ[(Subscript[X, i,j])[1]]//Short
ℒ[(Subscript[X, i,j])[-1]]//Short

Echo/@(CF@CoefficientList[Cases[∫ℱ[i,j]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),(SuperPlus[j])])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])])},ϵSeries[_,ℰ_]:>ℰ,∞][[1]] /. {(Subscript[a, i_]):>λ (Subscript[a, i]),(Subscript[b, i_]):>λ (Subscript[b, i])},λ]);