Pensieve header: The Objects. Continues pensieve://Projects/SL2Portfoilo2/Objects.nb.

The Objects

“Define” Code

SetAttributes[Define, HoldAll];
Define[def_,defs__] := (Define[def]; Define[defs];);
Define[(Subscript[op_, is__])=ℰ_] := Module[{SD,ii,jj,kk,isp,nis,nisp,sis},Block[{i,j,k},
ReleaseHold[Hold[
SD[(Subscript[op, nisp,$k_Integer]),(Subscript[PP, Boot])@Block[{i,j,k},(Subscript[op, isp,$k])=ℰ;(Subscript[op, nis,$k])]];
SD[(Subscript[op, isp]),(Subscript[op, {is},$k])]; SD[(Subscript[op, sis__]),(Subscript[op, {sis}])];
]/. {SD->SetDelayed,
isp->{is}/.{i->i_,j->j_,k->k_},
nis->{is}/.{i->ii,j->jj,k->kk},
nisp->{is}/.{i->ii_,j->jj_,k->kk_}
}]  ]]

Symmetric Algebra Objects

(Subscript[sm, i_,j_->k_]):=(Subscript[Λ2𝔼, {i,j}->{k}])[(Subscript[b, k])((Subscript[β, i])+(Subscript[β, j]))+(Subscript[t, k])((Subscript[τ, i])+(Subscript[τ, j]))+(Subscript[a, k])((Subscript[α, i])+(Subscript[α, j]))+(Subscript[y, k])((Subscript[η, i])+(Subscript[η, j]))+(Subscript[x, k])((Subscript[ξ, i])+(Subscript[ξ, j]))];
(Subscript[sΔ, i_->j_,k_]):=(Subscript[Λ2𝔼, {i}->{j,k}])[(Subscript[β, i])((Subscript[b, j])+(Subscript[b, k]))+(Subscript[τ, i])((Subscript[t, j])+(Subscript[t, k]))+(Subscript[α, i])((Subscript[a, j])+(Subscript[a, k]))+(Subscript[η, i])((Subscript[y, j])+(Subscript[y, k]))+(Subscript[ξ, i])((Subscript[x, j])+(Subscript[x, k]))];
(Subscript[sS, i_]):=(Subscript[Λ2𝔼, {i}->{i}])[-(Subscript[β, i])(Subscript[b, i])-(Subscript[τ, i])(Subscript[t, i])-(Subscript[α, i])(Subscript[a, i])-(Subscript[η, i])(Subscript[y, i])-(Subscript[ξ, i])(Subscript[x, i])];
(Subscript[sη, i_]):=(Subscript[Λ2𝔼, {}->{i}])[0];(Subscript[sϵ, i_]):=(Subscript[Λ2𝔼, {i}->{}])[0];

(Subscript[sσ, i_->j_]):=(Subscript[Λ2𝔼, {i}->{j}])[(Subscript[β, i])(Subscript[b, j])+(Subscript[τ, i])(Subscript[t, j])+(Subscript[α, i])(Subscript[a, j])+(Subscript[η, i])(Subscript[y, j])+(Subscript[ξ, i])(Subscript[x, j])];
(Subscript[sΥ, i_->j_,k_,l_,m_]):=(Subscript[Λ2𝔼, {i}->{j,k,l,m}])[(Subscript[β, i])(Subscript[b, k])+(Subscript[τ, i])(Subscript[t, k])+(Subscript[α, i])(Subscript[a, l])+(Subscript[η, i])(Subscript[y, j])+(Subscript[ξ, i])(Subscript[x, m])];

The CU Definitions

cΛ=((Subscript[η, i])+(((E^(-(Subscript[α, i])-ϵ (Subscript[β, i]))) (Subscript[η, j]))/(1+ϵ (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i]))))(Subscript[y, k])+((Subscript[β, i])+(Subscript[β, j])+((Log[1+ϵ (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i])])/ϵ))(Subscript[b, k])+((Subscript[α, i])+(Subscript[α, j])+Log[1+ϵ (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i])])(Subscript[a, k])+((((E^(-(Subscript[α, j])-ϵ (Subscript[β, j]))) (Subscript[ξ, i]))/(1+ϵ (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i])))+(Subscript[ξ, j]))(Subscript[x, k]);
Define[(Subscript[cm, i,j->k])=(Subscript[Λ2𝔼, {i,j}->{k}])[((Subscript[η, i])+(((E^(-(Subscript[α, i])-ϵ (Subscript[β, i]))) (Subscript[η, j]))/(1+ϵ (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i]))))(Subscript[y, k])+((Subscript[β, i])+(Subscript[β, j])+((Log[1+ϵ (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i])])/ϵ))(Subscript[b, k])+((Subscript[α, i])+(Subscript[α, j])+Log[1+ϵ (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i])])(Subscript[a, k])+((((E^(-(Subscript[α, j])-ϵ (Subscript[β, j]))) (Subscript[ξ, i]))/(1+ϵ (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i])))+(Subscript[ξ, j]))(Subscript[x, k])]]

Define[(Subscript[cσ, i->j])=(Subscript[sσ, i,j])/.(Subscript[τ, i])->0,(Subscript[cϵ, i])=(Subscript[sϵ, i]), (Subscript[cη, i])=(Subscript[sη, i]),(Subscript[cΔ, i->j,k])=(Subscript[sΔ, i->j,k]),
(Subscript[cS, i])=(Subscript[sS, i])//(Subscript[sΥ, i->1,2,3,4])//(Subscript[cm, 4,3->i])//(Subscript[cm, i,2->i])//(Subscript[cm, i,1->i])];

Booting Up QU

Define[(Subscript[aσ, i->j])=(Subscript[Λ2𝔼, {i}->{j}])[(Subscript[a, j]) (Subscript[α, i])+(Subscript[x, j]) (Subscript[ξ, i])],(Subscript[bσ, i->j])=(Subscript[Λ2𝔼, {i}->{j}])[(Subscript[b, j]) (Subscript[β, i])+(Subscript[y, j]) (Subscript[η, i])]]

Define[(Subscript[am, i,j->k])=(Subscript[Λ2𝔼, {i,j}->{k}])[((Subscript[α, i])+(Subscript[α, j]))(Subscript[a, k])+((Subscript[𝒜, j]^(-1))(Subscript[ξ, i])+(Subscript[ξ, j]))(Subscript[x, k])],
(Subscript[bm, i,j->k])=(Subscript[Λ2𝔼, {i,j}->{k}])[((Subscript[β, i])+(Subscript[β, j]))(Subscript[b, k])+((Subscript[η, i])+(E^(- ϵ (Subscript[β, i])))(Subscript[η, j]))(Subscript[y, k])]]

Define[(Subscript[R, i,j])=Module[{k},(Subscript[Λ2𝔼, {}->{i,j}])[ℏ (Subscript[a, j]) (Subscript[b, i])+(∑_(k=1)^($k+1)) (((((1-(E^(ϵ ℏ))))^k)(((ℏ (Subscript[y, i])(Subscript[x, j])))^k))/(k(1-(E^(k ϵ ℏ)))))]]]

Three types of inverses appear below!
(OverBar[R]) is the inverse of R in the algebra 𝔹⊗𝔸.
P is the inverse of R as a quadratic form, like how an element of (SuperStar[V])⊗(SuperStar[V]) can be the inverse of an element of V⊗V.
(OverBar[aS]) is the inverse of aS as an operator form, like how an element of (SuperStar[V])⊗V can be the inverse of another element of (SuperStar[V])⊗V.

Define[(Subscript[(OverBar[R]), i,j])=If[$k==0,(Subscript[𝔼, {}->{i,j}])[-ℏ (Subscript[a, j]) (Subscript[b, i])-ℏ (Subscript[x, j]) (Subscript[y, i])/(Subscript[B, i])],Append[(Subscript[(OverBar[R]), {i,j},$k-1]),-Last[PadRight[(Subscript[(OverBar[R]), {i,j},0]),$k+1](Subscript[R, 1,2])PadRight[(Subscript[(OverBar[R]), {3,4},$k-1]),$k+1]//((Subscript[bm, i,1->i])(Subscript[am, j,2->j]))//((Subscript[bm, i,3->i])(Subscript[am, j,4->j]))]]]
]

Define[(Subscript[P, i,j])=If[$k==0,(Subscript[𝔼, {i,j}->{}])[(Subscript[β, i])(Subscript[α, j])/ℏ+(Subscript[η, i])(Subscript[ξ, j])/ℏ],Append[(Subscript[P, {i,j},$k-1]),-Last[(Subscript[R, 1,2])//(PadRight[(Subscript[P, {1,j},0]),$k+1]*PadRight[(Subscript[P, {i,2},$k-1]),$k+1])]]]]

Define[(Subscript[aS, i])=((Subscript[aσ, i->2])(Subscript[(OverBar[R]), 1,i]))//(Subscript[P, 1,2])]

Define[(Subscript[(OverBar[aS]), i])=If[$k==0,(Subscript[𝔼, {i}->{i}])[-(Subscript[a, i]) (Subscript[α, i])-(Subscript[x, i]) (Subscript[𝒜, i]) (Subscript[ξ, i])],
Append[(Subscript[(OverBar[aS]), {i},$k-1]),-Last[PadRight[(Subscript[(OverBar[aS]), {i},0]),$k+1]//(Subscript[aS, i])//PadRight[(Subscript[(OverBar[aS]), {i},$k-1]),$k+1]]]
]]

Booting Up QU

Define[(Subscript[bS, i])=(Subscript[bσ, i->1])(Subscript[R, i,2])//(Subscript[aS, 2])//(Subscript[P, 1,2]),
(Subscript[(OverBar[bS]), i])=(Subscript[bσ, i->1])(Subscript[R, i,2])//(Subscript[(OverBar[aS]), 2])//(Subscript[P, 1,2]),
(Subscript[aΔ, i->j,k])=((Subscript[R, 1,j])(Subscript[R, 2,k]))//(Subscript[bm, 1,2->3])//(Subscript[P, 3,i]),
(Subscript[bΔ, i->j,k])=((Subscript[R, j,1])(Subscript[R, k,2]))//(Subscript[am, 1,2->3])//(Subscript[P, i,3])]

The Drinfel’d double:

Define[(Subscript[dm, i,j->k])=(((Subscript[sΥ, i->4,4,1,1])//(Subscript[aΔ, 1->1,2])//(Subscript[aΔ, 2->2,3])//(Subscript[(OverBar[aS]), 3]))((Subscript[sΥ, j->-1,-1,-4,-4])//(Subscript[bΔ, -1->-1,-2])//(Subscript[bΔ, -2->-2,-3])))//((Subscript[P, -1,3])(Subscript[P, -3,1])(Subscript[am, 2,-4->k])(Subscript[bm, 4,-2->k]))]

Define[(Subscript[dσ, i->j])=(Subscript[aσ, i->j])(Subscript[bσ, i->j]),
(Subscript[dϵ, i])=(Subscript[sϵ, i]), (Subscript[dη, i])=(Subscript[sη, i]),
(Subscript[dS, i])=(Subscript[sΥ, i->1,1,2,2])//((Subscript[(OverBar[bS]), 1])(Subscript[aS, 2]))//(Subscript[dm, 2,1->i]),
(Subscript[(OverBar[dS]), i])=(Subscript[sΥ, i->1,1,2,2])//((Subscript[bS, 1])(Subscript[(OverBar[aS]), 2]))//(Subscript[dm, 2,1->i]),
(Subscript[dΔ, i->j,k])=((Subscript[bΔ, i->3,1])(Subscript[aΔ, i->2,4]))//((Subscript[dm, 3,4->k])(Subscript[dm, 1,2->j]))]

Define[(Subscript[C, i])=(Subscript[Λ2𝔼, {}->{i}])[-(ℏ/2) ((Subscript[b, i])+ϵ (Subscript[a, i]))],
(Subscript[(OverBar[C]), i])=(Subscript[Λ2𝔼, {}->{i}])[(ℏ/2) ((Subscript[b, i])+ϵ (Subscript[a, i]))],
(Subscript[Kink, i]) = ((Subscript[R, 1,3])(Subscript[(OverBar[C]), 2]))//(Subscript[dm, 1,2->1])//(Subscript[dm, 1,3->i]),
(Subscript[(OverBar[Kink]), i]) = ((Subscript[(OverBar[R]), 1,3])(Subscript[C, 2]))//(Subscript[dm, 1,2->1])//(Subscript[dm, 1,3->i])]

Not yet verified

Note. t==ϵ a-b and b==-t+ϵ a.

Define[(Subscript[b2t, i])=(Subscript[Λ2𝔼, {i}->{i}])[(Subscript[α, i])(Subscript[a, i])+(Subscript[β, i])(ϵ (Subscript[a, i])-(Subscript[t, i]))+(Subscript[ξ, i])(Subscript[x, i])+(Subscript[η, i])(Subscript[y, i])],
(Subscript[t2b, i])=(Subscript[Λ2𝔼, {i}->{i}])[(Subscript[α, i])(Subscript[a, i])+(Subscript[τ, i])(ϵ (Subscript[a, i])-(Subscript[b, i]))+(Subscript[ξ, i])(Subscript[x, i])+(Subscript[η, i])(Subscript[y, i])]]

The Knot Tensors

Define[(Subscript[kR, i,j])=((Subscript[R, i,j])//((Subscript[b2t, i])(Subscript[b2t, j]))) /. (Subscript[t, i|j])->t,
(Subscript[(OverBar[kR]), i,j])=((Subscript[(OverBar[R]), i,j])//((Subscript[b2t, i])(Subscript[b2t, j]))) /. {(Subscript[t, i|j])->t,(Subscript[T, i|j])->T},
(Subscript[km, i,j->k])=(((Subscript[t2b, i])(Subscript[t2b, j]))//(Subscript[dm, i,j->k])//(Subscript[b2t, k]) )/. {(Subscript[t, k])->t, (Subscript[T, k])->T,(Subscript[τ, i|j])->0},
(Subscript[kC, i])=((Subscript[C, i])//(Subscript[b2t, i])) /. (Subscript[t, i])->t,
(Subscript[(OverBar[kC]), i])=((Subscript[(OverBar[C]), i])//(Subscript[b2t, i]))/. (Subscript[t, i])->t,
(Subscript[kKink, i])=((Subscript[Kink, i])//(Subscript[b2t, i])) /. {(Subscript[t, i])->t, (Subscript[T, i])->T},
(Subscript[(OverBar[kKink]), i])=((Subscript[(OverBar[Kink]), i])//(Subscript[b2t, i])) /. {(Subscript[t, i])->t, (Subscript[T, i])->T}]