Define[lhs=rhs, ...] defines the lhs to be rhs, except that rhs is computed only once for each value of $k. Fancy Mathematica not for the faint of heart. Most readers should ignore.

SetAttributes[Define, HoldAll];
Define[def_,defs__] := (Define[def]; Define[defs];);
Define[(Subscript[op_, is__])=ℰ_] := Module[{SD,ii,jj,kk,isp,nis,nisp,sis},Block[{i,j,k},
ReleaseHold[Hold[
SD[(Subscript[op, nisp,$k_Integer]),Block[{i,j,k},(Subscript[op, isp,$k])=ℰ;(Subscript[op, nis,$k])]];
SD[(Subscript[op, isp]),(Subscript[op, {is},$k])]; SD[(Subscript[op, sis__]),(Subscript[op, {sis}])];
]/. {SD->SetDelayed,
isp->{is}/.{i->i_,j->j_,k->k_},
nis->{is}/.{i->ii,j->jj,k->kk},
nisp->{is}/.{i->ii_,j->jj_,k->kk_}
}]  ]]

The Basic Tensors

Define[(Subscript[m, i,j->k])=(Subscript[𝔼, {i,j}->{k}])[1,-(Subscript[ξ, i])(Subscript[η, j])+((Subscript[η, i])+(Subscript[η, j]))(Subscript[y, k])+((Subscript[ξ, i])+(Subscript[ξ, j]))(Subscript[x, k]),ϵSeries[0]]]

AllMonomials[{},0]={1};
AllMonomials[{},d_Integer] /; d>0 := {};
AllMonomials[{v_,vs___},d_Integer] := Join@@Table[(v^(d-k))AllMonomials[{vs},k],{k,0,d}];
AllMonomials[vs_List, {d_}] := Join@@Table[AllMonomials[vs,k],{k,0,d}];

Basis[js_List,m_]:=Flatten@Outer[Times,AllMonomials[Table[(Subscript[y, j]),{j,js}],m],AllMonomials[Table[(Subscript[x, j]),{j,js}],m]];
Basis[js_List,{m_}]:=Flatten@Table[Basis[js,k],{k,0,m}]

Basis[{i,j},{2}]

GenericCombination[bas_,c_]:=bas.Table[(Subscript[c, j]),{j,Length@bas}];
GenericCombination[bas_,(Subscript[c_, k_])]:=bas.Table[(Subscript[c, k,j]),{j,Length@bas}];

GenericCombination[Basis[{i,j},{2}],(Subscript[c, 1])]

(Subscript[R, i_,j_]):=(Subscript[𝔼, {}->{i,j}])[1,(-1+T) (Subscript[x, j]) ((Subscript[y, i])-(Subscript[y, j])),ϵSeries@@Prepend[0]@Table[GenericCombination[Basis[{i,j},{k+1}],(Subscript[c, k])],{k,$k}]];
(Subscript[(OverBar[R]), i_,j_]):=(Subscript[𝔼, {}->{i,j}])[1,(-1+(1/T)) (Subscript[x, j]) ((Subscript[y, i])-(Subscript[y, j])),ϵSeries@@Prepend[0]@Table[GenericCombination[Basis[{i,j},{k+1}],(Subscript[d, k])],{k,$k}]];
(Subscript[CC, i_]):=(Subscript[𝔼, {}->{i}])[(Sqrt[T]),0,ϵSeries@@Prepend[0]@Table[GenericCombination[Basis[{i},{k+1}],(Subscript[e, k])],{k,$k}]];
(Subscript[(OverBar[CC]), i_]):=(Subscript[𝔼, {}->{i}])[(1/(Sqrt[T])),0,ϵSeries@@Prepend[0]@Table[GenericCombination[Basis[{i},{k+1}],(Subscript[f, k])],{k,$k}]];

Setting the Coefficients

As solved in “Solving to k=3.nb”.

{(Subscript[c, 1,1]),(Subscript[c, 1,2]),(Subscript[c, 1,3]),(Subscript[c, 1,4]),(Subscript[c, 1,5]),(Subscript[c, 1,6]),(Subscript[c, 1,7]),(Subscript[c, 1,8]),(Subscript[c, 1,9]),(Subscript[c, 1,10]),(Subscript[c, 1,11]),(Subscript[c, 1,12]),(Subscript[c, 1,13]),(Subscript[c, 1,14]),(Subscript[d, 1,1]),(Subscript[d, 1,2]),(Subscript[d, 1,3]),(Subscript[d, 1,4]),(Subscript[d, 1,5]),(Subscript[d, 1,6]),(Subscript[d, 1,7]),(Subscript[d, 1,8]),(Subscript[d, 1,9]),(Subscript[d, 1,10]),(Subscript[d, 1,11]),(Subscript[d, 1,12]),(Subscript[d, 1,13]),(Subscript[d, 1,14]),(Subscript[e, 1,1]),(Subscript[e, 1,2]),(Subscript[e, 1,3]),(Subscript[f, 1,1]),(Subscript[f, 1,2]),(Subscript[f, 1,3])}={0,0,0,0,0,0,0,(1/2) (-1+T),0,1,(1/2) (1-3 T),0,0,0,0,0,0,0,0,0,-((-1+T)/(T^2)),-((1-T)/(2 (T^3))),0,-(1/(T^2)),-((-1-T)/(2 (T^3))),0,0,0,0,-(1/T),0,0,(1/T),0};

{(Subscript[c, 2,1]),(Subscript[c, 2,2]),(Subscript[c, 2,3]),(Subscript[c, 2,4]),(Subscript[c, 2,5]),(Subscript[c, 2,6]),(Subscript[c, 2,7]),(Subscript[c, 2,8]),(Subscript[c, 2,9]),(Subscript[c, 2,10]),(Subscript[c, 2,11]),(Subscript[c, 2,12]),(Subscript[c, 2,13]),(Subscript[c, 2,14]),(Subscript[c, 2,15]),(Subscript[c, 2,16]),(Subscript[c, 2,17]),(Subscript[c, 2,18]),(Subscript[c, 2,19]),(Subscript[c, 2,20]),(Subscript[c, 2,21]),(Subscript[c, 2,22]),(Subscript[c, 2,23]),(Subscript[c, 2,24]),(Subscript[c, 2,25]),(Subscript[c, 2,26]),(Subscript[c, 2,27]),(Subscript[c, 2,28]),(Subscript[c, 2,29]),(Subscript[c, 2,30]),(Subscript[d, 2,1]),(Subscript[d, 2,2]),(Subscript[d, 2,3]),(Subscript[d, 2,4]),(Subscript[d, 2,5]),(Subscript[d, 2,6]),(Subscript[d, 2,7]),(Subscript[d, 2,8]),(Subscript[d, 2,9]),(Subscript[d, 2,10]),(Subscript[d, 2,11]),(Subscript[d, 2,12]),(Subscript[d, 2,13]),(Subscript[d, 2,14]),(Subscript[d, 2,15]),(Subscript[d, 2,16]),(Subscript[d, 2,17]),(Subscript[d, 2,18]),(Subscript[d, 2,19]),(Subscript[d, 2,20]),(Subscript[d, 2,21]),(Subscript[d, 2,22]),(Subscript[d, 2,23]),(Subscript[d, 2,24]),(Subscript[d, 2,25]),(Subscript[d, 2,26]),(Subscript[d, 2,27]),(Subscript[d, 2,28]),(Subscript[d, 2,29]),(Subscript[d, 2,30]),(Subscript[e, 2,1]),(Subscript[e, 2,2]),(Subscript[e, 2,3]),(Subscript[e, 2,4]),(Subscript[f, 2,1]),(Subscript[f, 2,2]),(Subscript[f, 2,3]),(Subscript[f, 2,4])}={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1/2),0,0,0,0,0,0,-((-1+4 T-3 (T^2))/(6 T)),0,-(1/(2 T)),-((1-3 T)/(2 T)),-((1-11 T+16 (T^2))/(6 T)),0,0,-(1/2),(1/6) (-1+7 T),0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-((1-T)/(T^3)),-((-1+T)/(2 (T^4))),0,(1/(T^3)),-(1/(2 (T^4))),0,0,0,0,-((-1+T)/(2 (T^3))),-((3-4 T+(T^2))/(2 (T^4))),-((-3+4 T-(T^2))/(6 (T^5))),0,-(1/(2 (T^3))),(2/(T^4)),-((4+T+(T^2))/(6 (T^5))),0,0,-(1/(2 (T^4))),-((-1+T)/(6 (T^5))),0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1/(T^2)),0,0};

{(Subscript[c, 3,1]),(Subscript[c, 3,2]),(Subscript[c, 3,3]),(Subscript[c, 3,4]),(Subscript[c, 3,5]),(Subscript[c, 3,6]),(Subscript[c, 3,7]),(Subscript[c, 3,8]),(Subscript[c, 3,9]),(Subscript[c, 3,10]),(Subscript[c, 3,11]),(Subscript[c, 3,12]),(Subscript[c, 3,13]),(Subscript[c, 3,14]),(Subscript[c, 3,15]),(Subscript[c, 3,16]),(Subscript[c, 3,17]),(Subscript[c, 3,18]),(Subscript[c, 3,19]),(Subscript[c, 3,20]),(Subscript[c, 3,21]),(Subscript[c, 3,22]),(Subscript[c, 3,23]),(Subscript[c, 3,24]),(Subscript[c, 3,25]),(Subscript[c, 3,26]),(Subscript[c, 3,27]),(Subscript[c, 3,28]),(Subscript[c, 3,29]),(Subscript[c, 3,30]),(Subscript[c, 3,31]),(Subscript[c, 3,32]),(Subscript[c, 3,33]),(Subscript[c, 3,34]),(Subscript[c, 3,35]),(Subscript[c, 3,36]),(Subscript[c, 3,37]),(Subscript[c, 3,38]),(Subscript[c, 3,39]),(Subscript[c, 3,40]),(Subscript[c, 3,41]),(Subscript[c, 3,42]),(Subscript[c, 3,43]),(Subscript[c, 3,44]),(Subscript[c, 3,45]),(Subscript[c, 3,46]),(Subscript[c, 3,47]),(Subscript[c, 3,48]),(Subscript[c, 3,49]),(Subscript[c, 3,50]),(Subscript[c, 3,51]),(Subscript[c, 3,52]),(Subscript[c, 3,53]),(Subscript[c, 3,54]),(Subscript[c, 3,55]),(Subscript[d, 3,1]),(Subscript[d, 3,2]),(Subscript[d, 3,3]),(Subscript[d, 3,4]),(Subscript[d, 3,5]),(Subscript[d, 3,6]),(Subscript[d, 3,7]),(Subscript[d, 3,8]),(Subscript[d, 3,9]),(Subscript[d, 3,10]),(Subscript[d, 3,11]),(Subscript[d, 3,12]),(Subscript[d, 3,13]),(Subscript[d, 3,14]),(Subscript[d, 3,15]),(Subscript[d, 3,16]),(Subscript[d, 3,17]),(Subscript[d, 3,18]),(Subscript[d, 3,19]),(Subscript[d, 3,20]),(Subscript[d, 3,21]),(Subscript[d, 3,22]),(Subscript[d, 3,23]),(Subscript[d, 3,24]),(Subscript[d, 3,25]),(Subscript[d, 3,26]),(Subscript[d, 3,27]),(Subscript[d, 3,28]),(Subscript[d, 3,29]),(Subscript[d, 3,30]),(Subscript[d, 3,31]),(Subscript[d, 3,32]),(Subscript[d, 3,33]),(Subscript[d, 3,34]),(Subscript[d, 3,35]),(Subscript[d, 3,36]),(Subscript[d, 3,37]),(Subscript[d, 3,38]),(Subscript[d, 3,39]),(Subscript[d, 3,40]),(Subscript[d, 3,41]),(Subscript[d, 3,42]),(Subscript[d, 3,43]),(Subscript[d, 3,44]),(Subscript[d, 3,45]),(Subscript[d, 3,46]),(Subscript[d, 3,47]),(Subscript[d, 3,48]),(Subscript[d, 3,49]),(Subscript[d, 3,50]),(Subscript[d, 3,51]),(Subscript[d, 3,52]),(Subscript[d, 3,53]),(Subscript[d, 3,54]),(Subscript[d, 3,55]),(Subscript[e, 3,1]),(Subscript[e, 3,2]),(Subscript[e, 3,3]),(Subscript[e, 3,4]),(Subscript[e, 3,5]),(Subscript[f, 3,1]),(Subscript[f, 3,2]),(Subscript[f, 3,3]),(Subscript[f, 3,4]),(Subscript[f, 3,5])}={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-((1-T)/(6 T)),0,0,(1/(2 T)),-((-2+5 T)/(2 T)),0,0,0,(5/6),0,0,0,0,0,0,0,0,-((1-12 T+27 (T^2)-16 (T^3))/(24 (T^2))),0,(1/(6 (T^2))),-((-1+3 T)/(4 (T^2))),-((-1+11 T-16 (T^2))/(6 (T^2))),-((-1+31 T-131 (T^2)+125 (T^3))/(24 (T^2))),0,0,(1/T),-((-5+23 T)/(6 T)),-((-5+69 T-142 (T^2))/(24 T)),0,0,0,(1/6),(1/24) (1-15 T),0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-((-1+T)/(T^4)),-((1-T)/(2 (T^5))),0,-(1/(T^4)),(1/(2 (T^5))),0,0,0,0,-((1-T)/(T^4)),-((-7+9 T-2 (T^2))/(2 (T^5))),-((7-9 T+2 (T^2))/(6 (T^6))),0,(1/(T^4)),-((9-T)/(2 (T^5))),(3/(2 (T^6))),0,0,(1/(T^5)),-(1/(3 (T^6))),0,0,0,0,0,-((-1+T)/(6 (T^4))),-((2-3 T+(T^2))/(T^5)),-((-16+27 T-12 (T^2)+(T^3))/(6 (T^6))),-((16-27 T+12 (T^2)-(T^3))/(24 (T^7))),0,-(1/(6 (T^4))),-((-3+T)/(T^5)),((3 (-3+T))/(2 (T^6))),-((-27+5 T-(T^2)-(T^3))/(24 (T^7))),0,0,-(1/(T^5)),(2/(T^6)),-((12-T-5 (T^2))/(24 (T^7))),0,0,0,-(1/(6 (T^6))),-((-1-T)/(24 (T^7))),0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,(1/(T^3)),0,0,0};

(Subscript[f, 3,2])