Pensieve header: The top row of $G$ isn’t friendly.

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\APAI"];

Once[<<KnotTheory`; <<Rot.m];

(Subscript[R, 1])[s_,i_,j_]:=s((Subscript[g, j,i])((Subscript[g, (SuperPlus[j]),j])+(Subscript[g, j,(SuperPlus[j])])-(Subscript[g, i,j]))-(Subscript[g, i,i])((Subscript[g, j,(SuperPlus[j])])-1)-1/2);
ρ[K_]:=Module[{Cs,φ,n,A,s,i,j,k,Δ,G,ρ1},
{Cs,φ}=Rot[K]; n=Length[Cs];
A=IdentityMatrix[2n+1];
Cases[Cs,{s_,i_,j_}:>(A[[{i,j},{i+1,j+1}]]+=(({{-(T^s), (T^s)-1}, {0, -1}})))];
Δ=(T^((-Total[φ]-Total[Cs[[All,1]]])/2))Det[A];
G=Inverse[A];Echo[MatrixForm@G];
ρ1=(∑_(k=1)^n)(Subscript[R, 1])@@Cs[[k]] - (∑_(k=1)^(2n))φ[[k]]((Subscript[g, k,k])-1/2);
Factor@{Δ,(Δ^2)ρ1/.(SuperPlus[α_]):>α+1/.(Subscript[g, α_,β_]):>G[[α,β]]}];

(Subscript[δ, i_,j_]):=If[i===j,1,0];
(Subscript[gRules, s_,i_,j_]):={(Subscript[g, i,β_]):>(Subscript[δ, i,β])+(T^s)(Subscript[g, (SuperPlus[i]),β])+(1-(T^s))(Subscript[g, (SuperPlus[j]),β]),(Subscript[g, j,β_]):>(Subscript[δ, j,β])+(Subscript[g, (SuperPlus[j]),β]),
(Subscript[g, α_,i]):>(T^(-s))((Subscript[g, α,(SuperPlus[i])])-(Subscript[δ, α,(SuperPlus[i])])),(Subscript[g, α_,j]):>(Subscript[g, α,(SuperPlus[j])])-(1-(T^s))(Subscript[g, α,i])-(Subscript[δ, α,(SuperPlus[j])])}
(SuperPlus[((SuperPlus[α_]))]):=(α^("++"));    (* this is for cosmetic reasons only *)

ρ@Knot[4,1]