Pensieve header: Palindromicity by flipping and manipulating, in matrix language.

Programs

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\APAI"];
Once[
<<KnotTheory`;
<< Rot.m
];

AlexanderMatrices[K_]:=Module[{},
{Cs,ρ}=Rot[K]; n=Length[Cs];
 ν={lν=0};
For[k=1,k<=2n,++k,Cs/.{{s_,k,j_}:>AppendTo[ν,lν+=s],{s_,i_,k}:>AppendTo[ν,lν-=s]}];
ν=DiagonalMatrix[(T^ν)]; νi=Inverse@ν;
A0=Table[0,2n+1,2n+1]; A0[[2n+1,2n+1]]=1;
C2=C1=Aπ=A1=A2=A3=A4=A0;
P1=RotateLeft[IdentityMatrix[2n+1]];
(*P1=Table[0,2n+1,2n+1]; Do[P1[[i,i+1]]=1,{i,2n}];*)
P2=IdentityMatrix[2n+1]; Do[P2[[i,1]]=-1,{i,2,2n+1}];
(Subscript[E, i_,j_]):=ReplacePart[Table[0,2n+1,2n+1],{i,j}->1];
Cases[Cs,{s_Integer,i_,j_}:>(Aπ[[{i,j},{i,j,i+1,j+1}]]=(({{1, 0, -1, 0}, {0, 1, (T^s)-1, -(T^s)}}));A0[[{i,j},{i,j,i+1,j+1}]]=(({{1, 0, -(T^s), (T^s)-1}, {0, 1, 0, -1}}));
C1[[{i,j},{i,j}]]=(({{-(T^(-s)), (T^(-s))-1}, {0, -1}})); C2[[{i,j},{i,j}]]=(({{-(T^(-s)), 0}, {(T^(-s))-1, -1}}));
A1[[{i,j},{i,j,i+1,j+1}]]=(({{-(T^(-s)), (T^(-s))-1, 1, 0}, {0, -1, 0, 1}})); A2[[{i,j,i+1,j+1},{i,j}]]=(({{-(T^(-s)), 0}, {(T^(-s))-1, -1}, {1, 0}, {0, 1}}));
A3[[{i,j},{i,j,i+1,j+1}]]=(({{1, 0, -(T^(-s)), 0}, {0, 1, (T^(-s))-1, -1}})); A4[[{i,j},{i,j,i+1,j+1}]]=(({{1, 0, -1, 0}, {0, 1, (T^(-s))-1, -(T^(-s))}}));)]; ]
AlexanderMatrices[Knot[10,165]]
Det/@{Aπ,A0,A1,A2,A3,A4}
Simplify[{C1.A0==A1,(C1.A0)\[Transpose]==A2, A0\[Transpose].C2.P1+(Subscript[E, 1,1])==A3, νi.A0\[Transpose].C2.P1.ν+(Subscript[E, 1,1])==A4,νi.A0\[Transpose].C2.P1.ν.P2==(Aπ/.T->(T^(-1)))}]

Total@Table[AlexanderMatrices[K]; Simplify[νi.A0\[Transpose].C2.P1.ν.P2==(Aπ/.T->(T^(-1)))∧(C2/.T->(T^(-1)))==Inverse[C2]],{K,AllKnots[{3,10}]}]

AlexanderMatrices[Knot[3,1]];
{lhs,rhs}=Simplify@{νi.A0\[Transpose].C2.P1.ν.P2, Aπ/.T->(T^(-1))};
MatrixForm/@{C2,C2.P1,P1.ν.P2,Inverse[P1.ν.P2],ν,lhs,rhs}
Det/@{lhs,rhs}
Simplify[lhs==rhs]

AlexanderMatrices[Knot[5,2]];
{lhs,rhs}=Simplify@{νi.A0\[Transpose].C2.P1.ν.P2, Aπ/.T->(T^(-1))};
MatrixForm/@{C2,Inverse[C2],ν, P1, P2, A0, Aπ}
Simplify[(C2/.T->(T^(-1)))==Inverse[C2]]
lhs==rhs

QF[m_?MatrixQ]:=Sum[Factor[m[[i,j]]](Subscript[x, i])(Subscript[p, j]),{i,2n+1},{j,2n+1}]

AlexanderMatrices[Mirror[Knot[3,1]]]

Simplify[νi.A0\[Transpose].C2.P1.ν.P2==(Aπ/.T->(T^(-1)))]

QF[A0]==(Subscript[p, 1]) (Subscript[x, 1])-T (Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 1])+(-1+T) (Subscript[p, 5]) (Subscript[x, 1])+(Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 2])-(Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 2])+(Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 3])-T (Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 3])+(-1+T) (Subscript[p, 7]) (Subscript[x, 3])+(Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 4])-(Subscript[p, 5]) (Subscript[x, 4])+(-1+T) (Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 5])+(Subscript[p, 5]) (Subscript[x, 5])-T (Subscript[p, 6]) (Subscript[x, 5])+(Subscript[p, 6]) (Subscript[x, 6])-(Subscript[p, 7]) (Subscript[x, 6])+(Subscript[p, 7]) (Subscript[x, 7])

QF[C2\[Transpose].A0]

Simplify[QF[C2\[Transpose].A0]==-(((Subscript[p, 1]) (Subscript[x, 1]))/T)+(Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 1])-(((-1+T) (Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 1]))/T)-(Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 2])+(Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 2])-(((Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 3]))/T)+(Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 3])-(((-1+T) (Subscript[p, 6]) (Subscript[x, 3]))/T)-(Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 4])+(Subscript[p, 5]) (Subscript[x, 4])-(((-1+T) (Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 5]))/T)-(((Subscript[p, 5]) (Subscript[x, 5]))/T)+(Subscript[p, 6]) (Subscript[x, 5])-(Subscript[p, 6]) (Subscript[x, 6])+(Subscript[p, 7]) (Subscript[x, 6])+(Subscript[p, 7]) (Subscript[x, 7])]

QF[A0\[Transpose].C2]

QF[A0\[Transpose].C2]==-(((Subscript[p, 1]) (Subscript[x, 1]))/T)+(Subscript[p, 1]) (Subscript[x, 2])-(Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 2])-(((-1+T) (Subscript[p, 5]) (Subscript[x, 2]))/T)+(Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 3])-(((Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 3]))/T)-(((-1+T) (Subscript[p, 1]) (Subscript[x, 4]))/T)+(Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 4])-(Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 4])+(Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 5])-(((Subscript[p, 5]) (Subscript[x, 5]))/T)-(((-1+T) (Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 6]))/T)+(Subscript[p, 5]) (Subscript[x, 6])-(Subscript[p, 6]) (Subscript[x, 6])+(Subscript[p, 6]) (Subscript[x, 7])+(Subscript[p, 7]) (Subscript[x, 7])

QF[A0\[Transpose].C2.P1]

QF[A0\[Transpose].C2.P1]==-(((Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 1]))/T)+(Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 2])-(Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 2])-(((-1+T) (Subscript[p, 6]) (Subscript[x, 2]))/T)+(Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 3])-(((Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 3]))/T)-(((-1+T) (Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 4]))/T)+(Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 4])-(Subscript[p, 5]) (Subscript[x, 4])+(Subscript[p, 5]) (Subscript[x, 5])-(((Subscript[p, 6]) (Subscript[x, 5]))/T)-(((-1+T) (Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 6]))/T)+(Subscript[p, 6]) (Subscript[x, 6])-(Subscript[p, 7]) (Subscript[x, 6])+(Subscript[p, 1]) (Subscript[x, 7])+(Subscript[p, 7]) (Subscript[x, 7])

νi.A0\[Transpose].C2.P1.ν//QF

QF[νi.A0\[Transpose].C2.P1.ν]==-(Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 1])+(Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 2])-(((Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 2]))/T)-(((-1+T) (Subscript[p, 6]) (Subscript[x, 2]))/T)+(Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 3])-(Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 3])-(((-1+T) (Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 4]))/T)+(Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 4])-(((Subscript[p, 5]) (Subscript[x, 4]))/T)+(Subscript[p, 5]) (Subscript[x, 5])-(Subscript[p, 6]) (Subscript[x, 5])-(((-1+T) (Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 6]))/T)+(Subscript[p, 6]) (Subscript[x, 6])-(((Subscript[p, 7]) (Subscript[x, 6]))/T)+(Subscript[p, 1]) (Subscript[x, 7])+(Subscript[p, 7]) (Subscript[x, 7])

QF[νi.A0\[Transpose].C2.P1.ν.P2]

QF[νi.A0\[Transpose].C2.P1.ν.P2]==(Subscript[p, 1]) (Subscript[x, 1])-(Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 1])+(Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 2])-(((Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 2]))/T)-(((-1+T) (Subscript[p, 6]) (Subscript[x, 2]))/T)+(Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 3])-(Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 3])-(((-1+T) (Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 4]))/T)+(Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 4])-(((Subscript[p, 5]) (Subscript[x, 4]))/T)+(Subscript[p, 5]) (Subscript[x, 5])-(Subscript[p, 6]) (Subscript[x, 5])-(((-1+T) (Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 6]))/T)+(Subscript[p, 6]) (Subscript[x, 6])-(((Subscript[p, 7]) (Subscript[x, 6]))/T)+(Subscript[p, 7]) (Subscript[x, 7])