Pensieve header: Comparing the upper and the lower Wirtinger presentations.

(Subscript[R, u])={(Subscript[U, i]),(Subscript[U, j])}; (Subscript[G, u])={(Subscript[u, i]),(Subscript[u, j]),(Subscript[u, (SuperPlus[i])]),(Subscript[u, (SuperPlus[j])])};
(Subscript[R, l])={(Subscript[L, i]),(Subscript[L, j])}; (Subscript[G, l])={(Subscript[l, i]),(Subscript[l, j]),(Subscript[l, (SuperPlus[i])]),(Subscript[l, (SuperPlus[j])])};

{(Subscript[α, u]),(Subscript[α, l])}=(({{(Subscript[U, i])->(Subscript[u, i])-(Subscript[u, (SuperPlus[i])]), (Subscript[U, j])->-(T^(-1)) (Subscript[u, i])-(T^(-2))(Subscript[u, j])+(T^(-2))(Subscript[u, (SuperPlus[i])])+(T^(-1))(Subscript[u, (SuperPlus[j])])}, {(Subscript[L, i])->(Subscript[l, (SuperPlus[j])])+T (Subscript[l, (SuperPlus[i])])-T (Subscript[l, j])-(Subscript[l, i]), (Subscript[L, j])->(Subscript[l, j])-(Subscript[l, (SuperPlus[j])])}}));

({{(Subscript[U, i])->(Subscript[u, i])-(Subscript[u, (SuperPlus[i])]), (Subscript[U, j])->-(T^(-1)) (Subscript[u, i])-(T^(-2))(Subscript[u, j])+(T^(-2))(Subscript[u, (SuperPlus[i])])+(T^(-1))(Subscript[u, (SuperPlus[j])]), The base (Subscript[α, u])}, {(Subscript[U, i])->-(T^(-1)) (Subscript[u, j])-(T^(-2))(Subscript[u, i])+(T^(-2))(Subscript[u, (SuperPlus[j])])+(T^(-1))(Subscript[u, (SuperPlus[i])]), (Subscript[U, j])->(Subscript[u, j])-(Subscript[u, (SuperPlus[j])]), Same, evaluated on (Subscript[Rot, 180])(K) }, {(Subscript[U, i])->(T^(-2))(Subscript[u, (SuperPlus[j])])+(T^(-1))(Subscript[u, (SuperPlus[i])])-(T^(-1)) (Subscript[u, j])-(T^(-2))(Subscript[u, i]), (Subscript[U, j])->(Subscript[u, j])-(Subscript[u, (SuperPlus[j])]), Re-arrange terms}, {(Subscript[U, i])->(Subscript[u, (SuperPlus[j])])+T (Subscript[u, (SuperPlus[i])])-T (Subscript[u, j])-(Subscript[u, i])=(1-T)(Subscript[u, (SuperPlus[j])])+T (Subscript[u, (SuperPlus[i])])-(Subscript[u, i]), (Subscript[U, j])->(Subscript[u, j])-(Subscript[u, (SuperPlus[j])]), Multiply row i by (T^2)}, {(Subscript[L, i])->(Subscript[l, (SuperPlus[j])])+T (Subscript[l, (SuperPlus[i])])-T (Subscript[l, j])-(Subscript[l, i]), (Subscript[L, j])->(Subscript[l, j])-(Subscript[l, (SuperPlus[j])]), The target: (Subscript[α, l])}})

({{(Subscript[U, i])->(Subscript[u, i])-(Subscript[u, (SuperPlus[i])]), (Subscript[U, j])->-(T^(-1)) (Subscript[u, i])-(T^(-2))(Subscript[u, j])+(T^(-2))(Subscript[u, (SuperPlus[i])])+(T^(-1))(Subscript[u, (SuperPlus[j])]), The base (Subscript[α, u])}, {(Subscript[U, i])->(Subscript[u, i])-(Subscript[u, (SuperPlus[i])]), (Subscript[U, j])->(1-(T^(-1)))(Subscript[u, i])+(T^(-1))(Subscript[u, j])-(Subscript[u, (SuperPlus[j])]), Using (Subscript[u, i])==(Subscript[u, (SuperPlus[i])]) within (Subscript[U, j]) and multiplying (Subscript[U, j]) by -T}, {(Subscript[u, i])->(Subscript[U, i])+(1-(T^(-1)))(Subscript[U, j])-(Subscript[U, (SuperMinus[i])]), (Subscript[u, j])->(T^(-1))(Subscript[U, j])-(Subscript[U, (SuperMinus[j])]), Taking the transpose (part 1)}, {(Subscript[U, i])->(Subscript[u, i])+(1-(T^(-1)))(Subscript[u, j])-(Subscript[u, (SuperMinus[i])]), (Subscript[U, j])->(T^(-1))(Subscript[u, j])-(Subscript[u, (SuperMinus[j])]), Taking the transpose (part 2)}, {(Subscript[U, i])->(Subscript[u, (SuperPlus[i])])+(1-(T^(-1)))(Subscript[u, (SuperPlus[j])])-(Subscript[u, i]), (Subscript[U, j])->(T^(-1))(Subscript[u, (SuperPlus[j])])-(Subscript[u, j]), Shifting the columns}, {(Subscript[U, i])->(Subscript[u, (SuperPlus[i])])+(T-1) (Subscript[u, (SuperPlus[j])])-T (Subscript[u, i]), (Subscript[U, j])->(Subscript[u, (SuperPlus[j])])-(Subscript[u, j]), Multiplying each column by (T^(Alex Numbering))}, {(Subscript[U, i])->(T^(-1))(Subscript[u, (SuperPlus[i])])+(1-(T^(-1))) (Subscript[u, (SuperPlus[j])])-(Subscript[u, i]), (Subscript[U, j])->(Subscript[u, (SuperPlus[j])])-(Subscript[u, j]), Divide (Subscript[U, i]) by T}, {(Subscript[U, i])->T (Subscript[u, (SuperPlus[i])])+(1-T) (Subscript[u, (SuperPlus[j])])-(Subscript[u, i]), (Subscript[U, j])->(Subscript[u, (SuperPlus[j])])-(Subscript[u, j]), Replace T->(T^(-1)); Bingo!}})

(Subscript[β, u])={(Subscript[u, i])->(Subscript[l, i]),(Subscript[u, j])->(Subscript[l, i])+T (Subscript[l, j])-T (Subscript[l, i]), (Subscript[u, (SuperPlus[i])])->(Subscript[l, (SuperPlus[j])])+T (Subscript[l, (SuperPlus[i])])-T (Subscript[l, (SuperPlus[j])]), (Subscript[u, (SuperPlus[j])])->(Subscript[l, (SuperPlus[j])])};
(Subscript[β, l])={(Subscript[l, i])->(Subscript[u, i]),(Subscript[l, j])->-(T^(-1))(Subscript[u, i])+(T^(-1))(Subscript[u, j])+(Subscript[u, i]), (Subscript[l, (SuperPlus[i])])->-(T^(-1))(Subscript[u, (SuperPlus[j])])+(T^(-1))(Subscript[u, (SuperPlus[i])])+(Subscript[u, (SuperPlus[j])]), (Subscript[l, (SuperPlus[j])])->(Subscript[u, (SuperPlus[j])])};

(Subscript[γ, u])={(Subscript[U, i])->-(Subscript[L, i])-T (Subscript[L, j]), (Subscript[U, j])->(T^(-2)) (Subscript[L, i])};
(Subscript[γ, l])={(Subscript[L, i])->(T^2)(Subscript[U, j]), (Subscript[L, j])->-(T^(-1))(Subscript[U, i])-T (Subscript[U, j])};

{Expand[(Subscript[G, u])/.(Subscript[β, u])/.(Subscript[β, l])], Expand[(Subscript[G, l])/.(Subscript[β, l])/.(Subscript[β, u])]}

Simplify[{((Subscript[R, u])/.(Subscript[α, u])/.(Subscript[β, u]))-((Subscript[R, u])/.(Subscript[γ, u])/.(Subscript[α, l])),((Subscript[R, l])/.(Subscript[α, l])/.(Subscript[β, l]))-((Subscript[R, l])/.(Subscript[γ, l])/.(Subscript[α, u]))}]