The Kerler algebra 𝒩 with basis kef, where e,f span 𝔼.

MT=(({{\[Placeholder], e, f, ef, k, ke, kf, kef}, {e, 0, ef, 0, -ke, 0, -kef, 0}, {f, -ef, 0, 0, -kf, kef, 0, 0}, {ef, 0, 0, 0, kef, 0, 0, 0}, {k, ke, kf, kef, 1, e, f, ef}, {ke, 0, kef, 0, -e, 0, -ef, 0}, {kf, -kef, 0, 0, -f, ef, 0, 0}, {kef, 0, 0, 0, ef, 0, 0, 0}}));
ℰ_//(Subscript[m, i_,j_->s_]):=Expand[ℰ]/.Flatten@Table[(Subscript[MT[[α,1]], i])(Subscript[MT[[1,β]], j])->(MT[[α,β]]/.v:(e|f|ef|k|ke|kf|kef):>(Subscript[v, s])),{α,2,8},{β,2,8}]/.{(Subscript[u_, i])->(Subscript[u, s]),(Subscript[u_, j])->(Subscript[u, s])};
ℰ_//(Subscript[S, i_]):=Expand[ℰ]/.{(Subscript[e, i])->-(Subscript[ke, i]),(Subscript[f, i])->-(Subscript[kf, i]),(Subscript[ef, i])->(Subscript[ef, i]),(Subscript[k, i])->(Subscript[k, i]),(Subscript[ke, i])->(Subscript[e, i]),(Subscript[kf, i])->(Subscript[f, i]),(Subscript[kef, i])->(Subscript[kef, i])}
ℰ_//(Subscript[(OverBar[S]), i_]):=Expand[ℰ]/.{(Subscript[e, i])->(Subscript[ke, i]),(Subscript[f, i])->(Subscript[kf, i]),(Subscript[ef, i])->(Subscript[ef, i]),(Subscript[k, i])->(Subscript[k, i]),(Subscript[ke, i])->-(Subscript[e, i]),(Subscript[kf, i])->-(Subscript[f, i]),(Subscript[kef, i])->(Subscript[kef, i])}
ℰ_//(Subscript[Δ, i_->r_,s_]):=Expand[ℰ]/.{(Subscript[e, i])->(Subscript[e, r])+(Subscript[k, r])(Subscript[e, s]),(Subscript[f, i])->(Subscript[f, r])+(Subscript[k, r])(Subscript[f, s]),(Subscript[ef, i])->(Subscript[ef, r])+(Subscript[ef, s])-(Subscript[ke, r])(Subscript[f, s])+(Subscript[kf, r])(Subscript[e, s]),(Subscript[k, i])->(Subscript[k, s])(Subscript[k, r]),
(Subscript[ke, i])->(Subscript[ke, r])(Subscript[k, s])+(Subscript[ke, s]),(Subscript[kf, i])->(Subscript[kf, r])(Subscript[k, s])+(Subscript[kf, s]),(Subscript[kef, i])->(Subscript[kef, r])(Subscript[k, s])+(Subscript[k, r])(Subscript[kef, s])-(Subscript[e, r])(Subscript[kf, s])+(Subscript[f, r])(Subscript[ke, s])}
ℰ_//(Subscript[ϵ, i_]):=Expand[ℰ]/.{(Subscript[e, i])->0,(Subscript[f, i])->0,(Subscript[ef, i])->0,(Subscript[k, i])->1,
(Subscript[ke, i])->0,(Subscript[kf, i])->0,(Subscript[kef, i])->0}

KBasis[{i_}]:={(Subscript[e, i]),(Subscript[f, i]),(Subscript[ef, i]),(Subscript[k, i]),(Subscript[ke, i]),(Subscript[kf, i]),(Subscript[kef, i])};
KBasis[{i_,is__}]:=Flatten@Outer[Times,KBasis[{i}],KBasis[{is}]]

(Subscript[𝒵, r_,s_]):=(1/2)(1+(Subscript[k, r])+(Subscript[k, s])-(Subscript[k, r])(Subscript[k, s]))
(Subscript[R, r_,s_]):=(1+(Subscript[e, $1])(Subscript[kf, $2]))(Subscript[𝒵, $3,$4])//(Subscript[m, $1,$3->r])//(Subscript[m, $2,$4->s])
(Subscript[(OverBar[R]), r_,s_]):=(Subscript[R, r,s])//(Subscript[S, r])
(Subscript[C, i_]):=(Subscript[k, i])
(Subscript[(OverBar[C]), i_]):=(Subscript[k, i])
(Subscript[Kink, i_]):=(Subscript[R, 1,3])(Subscript[(OverBar[C]), 2])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->i])
(Subscript[(OverBar[Kink]), i_]):=(Subscript[(OverBar[R]), 1,3])(Subscript[C, 2])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->i])

(Subscript[R, 1,2])

(Subscript[𝒵, 1,2])(Subscript[𝒵, 3,4])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 2,4->2])

((Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 4,3])(Subscript[R, 5,6])//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 3,6->3]))-((Subscript[R, 1,6])(Subscript[R, 2,3])(Subscript[R, 4,5])//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 3,6->3]))

(Subscript[(OverBar[R]), 1,2])(Subscript[R, 3,4])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 2,4->2])
((Subscript[(OverBar[R]), 1,2])(Subscript[R, 3,4])(Subscript[C, 0])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 4,0->4])//(Subscript[m, 4,2->2]))-(Subscript[C, 2])

Table[(BB //(Subscript[S, 1])//(Subscript[(OverBar[S]), 1]))-BB,{BB,KBasis[{1}]}]

Table[(BB //(Subscript[Δ, 1->2,3])//(Subscript[S, 2])//(Subscript[m, 2,3->1]))-(BB//(Subscript[ϵ, 1])),{BB,KBasis[{1}]}]
Table[(BB //(Subscript[Δ, 1->2,3])//(Subscript[S, 3])//(Subscript[m, 2,3->1]))-(BB//(Subscript[ϵ, 1])),{BB,KBasis[{1}]}]

Table[(BB //(Subscript[Δ, 1->0,3])//(Subscript[Δ, 0->1,2]))-(BB //(Subscript[Δ, 1->1,0])//(Subscript[Δ, 0->2,3])),{BB,KBasis[{1}]}]//Expand

Table[(BB //(Subscript[m, 1,2->0])//(Subscript[m, 0,3->0]))-(BB //(Subscript[m, 2,3->0])//(Subscript[m, 1,0->0])),{BB,KBasis[{1,2,3}]}]//Expand

Table[(BB //(Subscript[Δ, 1->a,b])//(Subscript[Δ, 2->c,d])//(Subscript[m, a,c->1])//(Subscript[m, b,d->2]))-(BB //(Subscript[m, 1,2->0])//(Subscript[Δ, 0->1,2])),{BB,KBasis[{1,2}]}]//Expand

((Subscript[R, 1,2])//(Subscript[Δ, 1->r,s]))-((Subscript[R, r,2])(Subscript[R, s,4])//(Subscript[m, 2,4->2]))//Expand
((Subscript[R, 1,2])//(Subscript[Δ, 2->r,s]))-((Subscript[R, 1,s])(Subscript[R, 3,r])//(Subscript[m, 1,3->1]))//Expand
Table[((BB //(Subscript[Δ, 1->2,3]))(Subscript[R, 5,4])//(Subscript[m, 2,4->a])//(Subscript[m, 3,5->b]))-((BB //(Subscript[Δ, 1->3,2]))(Subscript[R, 5,4])//(Subscript[m, 4,2->a])//(Subscript[m, 5,3->b])),{BB,KBasis[{1}]}]

Cent = Table[(Subscript[c, i]),{i,1,7}].KBasis[{j}];
Table[(Cent bas//(Subscript[m, i,j->i]))-(Cent bas//(Subscript[m, j,i->i])),{bas,KBasis[{i}]}]

Central=(Subscript[c, 0])+(Subscript[c, 1]) (Subscript[ef, i])+(Subscript[c, 2]) (Subscript[kef, i]);Table[(Central bas//(Subscript[m, i,j->i]))-(Central bas//(Subscript[m, j,i->i])),{bas,KBasis[{i}]}]

(Subscript[u, i_]):=(Subscript[R, 1,2])//(Subscript[S, 2])//(Subscript[m, 2,1->i])

(Subscript[u, 3])

(Subscript[u, 1])//(Subscript[S, 1])

Z31=(Subscript[R, 1,5])(Subscript[R, 6,2])(Subscript[R, 3,7])(Subscript[(OverBar[C]), 4])(Subscript[(OverBar[Kink]), 8])(Subscript[(OverBar[Kink]), 9])(Subscript[(OverBar[Kink]), 10]);Do[Z31=Z31//(Subscript[m, 1,j->1]),{j,2,10}];Z31

((Subscript[u, 1])((Subscript[u, 2])//(Subscript[S, 2])))//(Subscript[m, 1,2->0])

(Subscript[(OverBar[Kink]), 1])(Subscript[(OverBar[Kink]), 2])//(Subscript[m, 1,2->1])

Once[<<KnotTheory`];

RVK::usage="RVK[xs, rots] represents a Rotational Virtual Knot with a list of n Xp/Xm crossings xs and a length 2n list of rotation numbers rots. Crossing sites are indexed 1 through 2n, and rots[[k]] is the rotation between site k-1 and site k. RVK is also a casting operator converting to the RVK presentation from other knot presentations.";

RVK[pd_PD]:=Module[{n,xs,x,rots,front={0},k},
n=Length@pd;rots=Table[0,{2n}];
xs=Cases[pd,x_X:>(Piecewise[{{Xp[x[[4]],x[[1]]], PositiveQ@x}, {Xm[x[[2]],x[[1]]], True}}])];
For[k=0,k<2n,++k,If[k==0∨FreeQ[front,-k],
front=Flatten@Replace[front,k->(xs/.{
Xp[k+1,l_]|Xm[l_,k+1]:>{l,k+1,1-l},
Xp[l_,k+1]|Xm[k+1,l_]:>(++rots[[l]];{1-l,k+1,l}),
_Xp|_Xm:>{}
}), {1}],
Cases[front,k|-k]/.{k,-k}:>--rots[[k+1]];
]];
RVK[xs,rots] ];
RVK[K_]:=RVK[PD[K]];

rot[i_,0]:=1;
rot[i_,n_]:=rot[i,n,$k];
rot[i_,n_,k_]:=Module[{j},
rot[i,n,k]=If[n>0,rot[i,n-1](Subscript[C, j]),rot[i,n+1](Subscript[(OverBar[C]), j])]//(Subscript[m, i,j->i])];

Width[pd_PD]:=Max[Length/@FoldList[Complement[#1⋃#2,#1⋂#2]&, {}, List@@List@@@pd]]

ThinPosition[K_]:=Module[{todo,done,pd,c},
todo=List@@PD@K; done={}; pd=PD[];
While[todo=!={},
AppendTo[pd,c=RandomChoice@MaximalBy[todo, Length[done⋂List@@#]&]];
todo=DeleteCases[todo, c];
done=done⋃List@@c];
pd ];
ThinPosition[K_,n_] := First@MinimalBy[Table[ThinPosition[K], n], Width];

Z[K_] := Z[RVK@Width@ThinPosition[K,100]];
Z[rvk_RVK] :=  Module[{ζ,done,st,c, χ,i,j,k},
ζ=1; done={}; st=Range[2Length[rvk[[1]]]]; $M={};
Do[AppendTo[$M,c];
{i,j}=List@@c;
χ=(c/.{_Xp:>(Subscript[R, i,j])(Subscript[(OverBar[Kink]), 0]),_Xm:>(Subscript[(OverBar[R]), i,j])(Subscript[Kink, 0])})//(Subscript[m, j,0->j]);
Do[χ=(rot[0,rvk[[2,k]]]χ)//(Subscript[m, 0,k->k]), {k,{i,j}}];
ζ*=χ;
Do[
If[MemberQ[done, k+1],ζ=ζ//(Subscript[m, k,k+1->k]); st=st/.k+1->k];
If[MemberQ[done, k-1],ζ=ζ//(Subscript[m, st[[k-1]],k->st[[k-1]]]); st=st/.k->st[[k-1]]],
{k,{i,j}}];
done=done⋃{i,j},
{c,rvk[[1]]}
];
ζ 
]

Z/@AllKnots[{3,5}]

Z/@AllKnots[{3,10}]