δ/:(Subscript[δ, i_,j_]):= If[i==j,1,0];
(Subscript[LKB, i_])[ξ_]:=ξ/.(Subscript[v, j_,k_]):>(1-(Subscript[δ, i,j-1]))(1-(Subscript[δ, i,k-1]))(1-(Subscript[δ, i,j]))(1-(Subscript[δ, i,k]))(Subscript[v, j,k]) + (Subscript[δ, i,j-1])(q (Subscript[v, i,k])+((q^2)-q)(Subscript[v, i,j])+(1-q)(Subscript[v, j,k])) + (Subscript[δ, i,j])(1-(Subscript[δ, i,k-1]))((Subscript[v, i+1,k]))+(Subscript[δ, i,k-1])(1-(Subscript[δ, i,j]))(q (Subscript[v, j,i])+(1-q)(Subscript[v, j,i+1])-((q^2)-q)t (Subscript[v, i,k]))+(Subscript[δ, i,k])((Subscript[v, j,i+1]))+(Subscript[δ, i,j])(Subscript[δ, i,k-1])(-t (q^2)(Subscript[v, j,k]))// Expand

bas[n_]:=Flatten@Table[(Subscript[v, i,j]),{i,1,n-1},{j,i+1,n}]

bas[5]

(Subscript[M, i_])[n_]:=Module[{inp,out,z},
Table[
z=(Subscript[LKB, i])[inp];
Table[Coefficient[z,out],{out,bas[n]}],
{inp,bas[n]}
]
]

(Subscript[M, 2])[3]

(Subscript[iM, i_])[n_]:=Simplify@Inverse[(Subscript[M, i])[n]]

(Subscript[iM, 2])[3]//MatrixForm

Thread[bas[3]->(Subscript[iM, 2])[3].bas[3]]

(Subscript[iLKB, i_])[n_,ξ_]:=Expand[ξ/.Thread[bas[n]->(Subscript[iM, i])[n].bas[n]]]

(Subscript[iLKB, 2])[3,bas[3]]

(Subscript[iLKB, 3])[5,bas[5]]//(Subscript[LKB, 3])

Thread[bas[7]->(Subscript[iM, 3])[7].bas[7]]

Table[bas[7][[i]]->((Subscript[iM, 3])[7].bas[7])[[i]],
{i,Length[bas[7]]}]