Pensieve Header: Computing $\Delta(e^x)$ in PSS.

(Subscript[𝔻, x_->y_,z_])[f_]:=Simplify[(((f/.x->y)-(f/.x->z))/(y-z))];
(Subscript[Δ, x_->y_,z_])[f_]:=Simplify[f/.x->y+z];
(Subscript[m, x_,y_->z_])[f_]:=Simplify[f/.{x->z,y->z}];
(Subscript[σ, x_->y_])[f_]:=Simplify[f/.x->y]

(E^(Subscript[x, 1]))//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])])

(E^(Subscript[x, 1]))//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])])//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])])

(E^(Subscript[x, 1]))//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])])//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 1])->(Subscript[y, 1]),(Subscript[z, 1])])

(E^(Subscript[x, 1]))//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])])//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 1])->(Subscript[y, 1]),(Subscript[z, 1])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 2])->(Subscript[y, 2]),(Subscript[z, 2])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 3])->(Subscript[y, 3]),(Subscript[z, 3])])

(E^(Subscript[x, 1]))//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])])//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 1])->(Subscript[y, 1]),(Subscript[z, 1])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 2])->(Subscript[y, 2]),(Subscript[z, 2])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 3])->(Subscript[y, 3]),(Subscript[z, 3])])//(Subscript[m, (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])->(Subscript[y, 1])])

(E^(Subscript[x, 1]))//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])])//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 1])->(Subscript[y, 1]),(Subscript[z, 1])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 2])->(Subscript[y, 2]),(Subscript[z, 2])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 3])->(Subscript[y, 3]),(Subscript[z, 3])])//(Subscript[m, (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])->(Subscript[y, 1])])//(Subscript[σ, (Subscript[y, 3])->(Subscript[y, 2])])

(E^(Subscript[x, 1]))//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])])//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 1])->(Subscript[y, 1]),(Subscript[z, 1])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 2])->(Subscript[y, 2]),(Subscript[z, 2])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 3])->(Subscript[y, 3]),(Subscript[z, 3])])//(Subscript[m, (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])->(Subscript[y, 1])])//(Subscript[σ, (Subscript[y, 3])->(Subscript[y, 2])])//(Subscript[m, (Subscript[z, 2]),(Subscript[z, 3])->(Subscript[z, 2])])

Simplify[((E^(Subscript[x, 1]))//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])])//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 1])->(Subscript[y, 1]),(Subscript[z, 1])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 2])->(Subscript[y, 2]),(Subscript[z, 2])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 3])->(Subscript[y, 3]),(Subscript[z, 3])])//(Subscript[m, (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])->(Subscript[y, 1])])//(Subscript[σ, (Subscript[y, 3])->(Subscript[y, 2])])//(Subscript[m, (Subscript[z, 2]),(Subscript[z, 3])->(Subscript[z, 2])]))((Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2]))]

res=Limit[Simplify[((E^(Subscript[x, 1]))//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])])//(Subscript[𝔻, (Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 1])->(Subscript[y, 1]),(Subscript[z, 1])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 2])->(Subscript[y, 2]),(Subscript[z, 2])])//(Subscript[Δ, (Subscript[x, 3])->(Subscript[y, 3]),(Subscript[z, 3])])//(Subscript[m, (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2])->(Subscript[y, 1])])//(Subscript[σ, (Subscript[y, 3])->(Subscript[y, 2])])//(Subscript[m, (Subscript[z, 2]),(Subscript[z, 3])->(Subscript[z, 2])]))((Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 2]))],
(Subscript[y, 2])->(Subscript[z, 1])+(Subscript[y, 1])-(Subscript[z, 2])]

Compare with the results in PhiInPSS.pdf:

 /. {(Subscript[x, 1])->(Subscript[y, 1]), (Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[y, 2]), (Subscript[x, 2])->(Subscript[z, 1]), (Subscript[(OverBar[x]), 2])->(Subscript[z, 2])}

Simplify[res==(E^((Subscript[y, 1])+(Subscript[z, 1])))((((E^((Subscript[z, 2])-(Subscript[z, 1])))-1)/((Subscript[z, 2])-(Subscript[z, 1])))-1)]