Pensieve header: Computations in 1-pole chord diagrams mod 1ss, Continues pensieve://People/Hogan. A detailed writeup with conclusions a full solution set for $\Phi$ in PSS is in PhiInPSS.pdf.

𝕆[f,g] stands for (Subscript[𝕆, 1,2])[f+t g].

CF[𝕆[f_,g_]]:=𝕆[Simplify[f], Simplify[g/.(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2])]]

𝕆[f1_,g1_]≡𝕆[f2_,g2_]:=Simplify[(f1==f2)∧(g1==g2)]

𝕆/:𝕆[f1_,g1_]**𝕆[f2_,g2_]:=CF@𝕆[f1 f2, (((f1-(f1/.(Subscript[x, 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 2])))((f2/.(Subscript[x, 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 2]))-(f2/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 2])})))/((Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2])))+f1 g2+g1(f2/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 2])})]

𝕆[f[(Subscript[x, 2])],0]**𝕆[(Subscript[x, 1]),0]

{h1,h2,h3}={𝕆[f1[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])],g1[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])]],𝕆[f2[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])],g2[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])]],𝕆[f3[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])],g3[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])]]}

h1**h2

lhs=(h1**h2)**h3

rhs=h1**(h2**h3)

lhs≡rhs

e12[α_]:=𝕆[(E^(α((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])))),(E^(α((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2]))))g[α]]

lhs=((∂_α)#)&/@e12[α]

rhs=e12[α]**𝕆[(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2]),0]

FullSimplify[(E^(α((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2]))))g[α]/.DSolve[lhs≡rhs∧g[0]==0, g[α],α][[1]]]

e12[α_]:=𝕆[(E^(α((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])))),(((E^(α ((Subscript[x, 1])+(Subscript[(OverBar[x]), 2]))))-(E^(α ((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])))))/((Subscript[(OverBar[x]), 2])-(Subscript[x, 2])))-α (E^(α ((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2]))))]

lhs=CF[((∂_α)#)&/@e12[α]]

rhs=e12[α]**𝕆[(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2]),0]

lhs≡rhs

FullSimplify[g2[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])]/.Solve[𝕆[f[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])],g[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])]]**𝕆[((f[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])])^(-1)),g2[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])]]≡𝕆[1,0], g2[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])]][[1]]]

𝕆/:((𝕆[f_,g_])^(-1)):=𝕆[(f^(-1)),-((((g/.(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2]))/(f/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 2])}))+(((f-(f/.(Subscript[x, 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 2]))) ((1/(f/.(Subscript[x, 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 2])))-(1/(f/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 2])}))))/((Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2]))))/f)]

((𝕆[1,g])^(-1))

h3**(h3^(-1))

Φ=𝕆[1,ϕ[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])]]

rhslist={(Φ^(-1)),𝕆[(E^(Subscript[x, 1])),0],Φ,𝕆[1,1/2],CF[(Φ^(-1))/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[(OverBar[x]), 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 1])}],𝕆[(E^(Subscript[x, 2])),0],CF[Φ/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[(OverBar[x]), 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 1])}],𝕆[1,-1/2]}

rhs=NonCommutativeMultiply@@rhslist

lhs=e12[1]

lhs≡rhs

Apart[g/.First@Solve[-2 (E^(Subscript[x, 2]))+((2 ((E^(Subscript[x, 2]))-(E^(Subscript[(OverBar[x]), 2]))))/((Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2])))+((E^(Subscript[x, 2]))-(E^(Subscript[(OverBar[x]), 2]))) (1+2 g)==0,g]]

Apart[-((E^(Subscript[x, 2]))/(-(E^(Subscript[x, 2]))+(E^(Subscript[(OverBar[x]), 2]))))-((2+(Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2]))/(2 ((Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2]))))/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[(OverBar[x]), 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 1])}/.(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2])]

Simplify[(lhs≡rhs)/.ϕ[_,x2_,x2b_]:>((-1)/2)(((E^x2)/(-(E^x2)+(E^x2b)))+((2+x2-x2b)/(2 (x2-x2b))))]

Φ=𝕆[1,ϕ=-(((E^(Subscript[x, 2]))/2)/(-(E^(Subscript[x, 2]))+(E^(Subscript[(OverBar[x]), 2]))))-((2+(Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2]))/(4 ((Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2]))))+φ[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])]+(φ[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])]/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[(OverBar[x]), 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 1])}/.(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2]))];
lhs=e12[1]
rhs=(Φ^(-1))**𝕆[(E^(Subscript[x, 1])),0]**Φ**𝕆[1,1/2]**((Φ^(-1))/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[(OverBar[x]), 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 1])})**𝕆[(E^(Subscript[x, 2])),0]**(Φ/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[(OverBar[x]), 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 1])})**𝕆[1,-1/2]
lhs≡rhs

lhs=e12[-1]
rhs=(Φ^(-1))**𝕆[(E^(-(Subscript[x, 1]))),0]**Φ**𝕆[1,-1/2]**((Φ^(-1))/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[(OverBar[x]), 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 1])})**𝕆[(E^(-(Subscript[x, 2]))),0]**(Φ/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[(OverBar[x]), 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 1])})**𝕆[1,1/2]
lhs≡rhs

Φ**(MapAt[-#&,Φ,2]/.{(Subscript[x, 1])->-(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])->-(Subscript[x, 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 1])->-(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])->-(Subscript[(OverBar[x]), 2])})

ϕ=-((E^(Subscript[x, 2]))/(2 (-(E^(Subscript[x, 2]))+(E^(Subscript[(OverBar[x]), 2])))))-((2+(Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2]))/(4 ((Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2]))))+φ[(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])]+φ[(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2])]+7+(Subscript[a, 1])(Subscript[x, 1])+(Subscript[a, 2])(Subscript[x, 2])+(Subscript[(OverBar[a]), 2])(Subscript[(OverBar[x]), 2])

(* (t^12) *) Simplify[ϕ==(ϕ/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3]),(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 2])+(Subscript[x, 3])})/.(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])-(Subscript[(OverBar[x]), 2])]

(* (t^23) *) Simplify[(ϕ/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 3]),(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[x, 1])+(Subscript[(OverBar[x]), 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 3])})==(ϕ/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 3]),(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[(OverBar[x]), 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 3])})/.(Subscript[(OverBar[x]), 2])->(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])-(Subscript[(OverBar[x]), 3])]

(* (t^13) *) Simplify[(ϕ/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 3]),(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[(OverBar[x]), 1])+(Subscript[x, 2]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])->(Subscript[(OverBar[x]), 3])})==(ϕ/.{(Subscript[x, 1])->(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])->(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3]),(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[(OverBar[x]), 1]),(Subscript[(OverBar[x]), 2])->(Subscript[x, 2])+(Subscript[(OverBar[x]), 3])})/.(Subscript[(OverBar[x]), 1])->(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 3])-(Subscript[(OverBar[x]), 3])]