$PrePrint=If[MatrixQ@#,MatrixForm@#,#]&;
MΓ@Γ[ω_,λ_,L_]:=Prepend[Prepend[λ\[Transpose],(Subscript[t, #])&/@L]\[Transpose],Prepend[(Subscript[h, #])&/@L,ω]];
Format@Γ@i__:=MatrixForm@MΓ@Γ@i;
Γ/:Γ[ω1_,λ1_,L1_]Γ[ω2_,λ2_,L2_]:=Module[{S=Ordering@Join[L1,L2]},Γ[ω1 ω2,Join[Join[#,Table[0,{Length@λ2}]]&/@λ1,Join[Table[0,{Length@λ1}],#]&/@λ2][[S,S]],Union[L1,L2]]];
P/:P[i_,j_]P[j_,k_]:=P[i,k];
P/:P[i_,j_]P[i_,k_]:=P[j,k];
P/:P[i_,j_]P[k_,j_]:=P[i,k];
P/:P[i_,i_]:=-(Sqrt[t])-(1/(Sqrt[t]));
P/:((P[i__])^2):=-(Sqrt[t])-(1/(Sqrt[t]));
(Subscript[S, a_,b_->c_])@K_:=(Subscript[S, {a,b}->c])@M@K;
(Subscript[S, {a_}->c_])@K_:=K/.a:>c;
(Subscript[S, a_,b_->c_])@Γ[ω_,λ_,L_]:=Module[{i=FirstPosition[L,a][[1]],j=FirstPosition[L,b][[1]],n,o,d,α,β,γ,δ,θ,ϵ,ϕ,ψ,Ξ},n=Prepend[Delete[L,{{i},{j}}],c];o=Ordering@n;
d=Delete[Table[k,{k,Length@L}],{{i},{j}}];(({{α, β, θ}, {γ, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}}))=(({{λ[[i,i]], (1/(1-λ[[i,j]])), λ[[i,d]]}, {λ[[j,i]], λ[[j,j]], λ[[j,d]]}, {λ[[d,i]], λ[[d,j]], λ[[d,d]]}}));Γ[Apart[(ω/β)],Apart@Join[{Join[{γ+β α δ},ϵ+β δ θ]},Join[{ϕ+β α ψ},If[Ξ=={},{{}},(Ξ+β{ψ}\[Transpose].{θ})\[Transpose]]]\[Transpose]][[o,o]],n[[o]]]];
(Subscript[S, {a_,b_,l___}->c_])@Γ@i__:=(Subscript[S, {c,l}->c])@(Subscript[S, a,b->c])@(Γ@i/.Table[(Subscript[T, j]):>(Subscript[T, c]),{j,{a,b,l}}]);
(Subscript[Rr, a_,b_]):=Γ[1,(({{1, 1-(Subscript[T, a])}, {0, (Subscript[T, a])}})),{a,b}];
(Subscript[Rl, a_,b_]):=(Subscript[Rr, a,b])/.(Subscript[T, a])->(1/(Subscript[T, a]));
M@K_:=XS@K/.{(Subscript[Xp, i__]):>(Subscript[Rr, i]),(Subscript[Xm, i__]):>(Subscript[Rl, i])};
PD@K_:=Module[{x=2Length[X K]-2},XS@K/.{(Subscript[Xp, a_,b_]):>(Subscript[X, b,Mod[a,x]+1,Mod[b,x]+1,a]),(Subscript[Xm, a_,b_]):>(Subscript[X, b,a,Mod[b,x]+1,Mod[a,x]+1])}];
XS@K_:=K//.{Xp@i__:>(Subscript[Xp, i]),Xm@i__:>(Subscript[Xm, i]),X@i__:>(Subscript[X, i]),(Subscript[X, i_,j_,k_,l_]):>If[(j==l+1||j==1&&l≠2||k==l)&&j≠k,(Subscript[Xp, l,i]),(Subscript[Xm, j,i])]};
B@K_:=(Subscript[S, Union@Flatten[List@@#[[2;;]]&/@List@@(PD@K)]->1])@M@K;
B@Γ[i__,L_]:=(Subscript[S, L->1])@Γ[i,L];
A@K_:=Module[{x=If[MatrixQ@K,K,MΓ@B@XS@K],p,q},p=If[Length@x==2&&Length@x[[1]]==2,x[[1]][[1]]/.(Subscript[T, _])->t,0];q=Apart[p (t^((1/2)(Exponent[p,(1/t)]-Exponent[p,t])))];If[IntegerQ[q/.t->1]&&PolynomialQ[q/.(t^(i_Integer))->t,t],q,0]];
A@0=0;
J@K_:=If[Length[X K]==2,1,Module[{k=PD@K,d={},r,x,v,p},r=(Subscript[X, i_,j_,k_,l_]):>(d=Union[d,{i,j,k,l}];((P[i,j]P[k,l])/(t^(1/4)))+(t^(1/4))P[i,l]P[j,k]);x=(k[[1]]/.r)(k/(k[[1]]));
Do[x*=(v=x[[1]]x[[1+Ordering[Length@Complement[#,d]&/@List@@#[[2;;]]&/@List@@(K@(Subscript[6, 1])[[2;;]])][[1]]]];((Expand[v/.r])/v)),{Length@x-2}];
p=Apart[((t^((3/4)(Count[XS@K,(Subscript[Xp, __])]-Count[XS@K,(Subscript[Xm, __])])))/((Sqrt[t])+(1/(Sqrt[t]))))Expand[x/.r]];If[IntegerQ[p/.{t->1,P@__->∞}]&&PolynomialQ[p/.(t^(i_Integer))->t,t],If[Sign@Coefficient[p,t,0]≥0,1,-1]p,0]]];
J@0=0;
K@(Subscript[_, _])=0;
V:=Prepend[{#,KnotData[List@@#,"AlexanderPolynomial"]@t===A@K@#,KnotData[List@@#,"JonesPolynomial"]@t===J@K@#}&/@{(Subscript[6, 1]),(Subscript[8, 8]),(Subscript[8, 9]),(Subscript[8, 20]),(Subscript[9, 27]),(Subscript[9, 41]),(Subscript[9, 46]),(Subscript[10, 3]),(Subscript[10, 22]),(Subscript[10, 35]),(Subscript[10, 42]),(Subscript[10, 48]),(Subscript[10, 75]),(Subscript[10, 87]),(Subscript[10, 99]),(Subscript[10, 123]),(Subscript[10, 129]),(Subscript[10, 137]),(Subscript[10, 140]),(Subscript[10, 153]),(Subscript[10, 155])},{"","Alexander","Jones"}]\[Transpose];

(*K@(Subscript[6, 1])=(Subscript[X, 1,7,2,6])(Subscript[X, 4,11,5,12])(Subscript[X, 7,1,8,14])(Subscript[X, 9,3,10,2])(Subscript[X, 10,5,11,6])(Subscript[X, 12,3,13,4])(Subscript[X, 13,9,14,8]);*)
K@(Subscript[6, 1])=(Subscript[X, 1,7,2,6])(Subscript[X, 2,9,3,10])(Subscript[X, 4,11,5,12])(Subscript[X, 7,1,8,14])(Subscript[X, 10,5,11,6])(Subscript[X, 12,3,13,4])(Subscript[X, 13,9,14,8]);
K@(Subscript[8, 8])=(Subscript[X, 1,9,2,8])(Subscript[X, 3,1,4,18])(Subscript[X, 5,11,6,10])(Subscript[X, 6,13,7,14])(Subscript[X, 9,3,10,2])(Subscript[X, 12,15,13,16])(Subscript[X, 14,7,15,8])(Subscript[X, 16,11,17,12])(Subscript[X, 17,5,18,4]);
K@(Subscript[8, 9])=(Subscript[X, 1,8,2,9])(Subscript[X, 3,11,4,10])(Subscript[X, 6,19,7,20])(Subscript[X, 9,16,10,17])(Subscript[X, 11,19,12,18])(Subscript[X, 12,6,13,5])(Subscript[X, 14,7,15,8])(Subscript[X, 15,3,16,2])(Subscript[X, 17,4,18,5])(Subscript[X, 20,14,1,13]);
(*K@(Subscript[8, 20])=(Subscript[X, 1,6,2,7])(Subscript[X, 3,11,4,10])(Subscript[X, 5,16,6,1])(Subscript[X, 8,14,9,13])(Subscript[X, 11,3,12,2])(Subscript[X, 12,8,13,7])(Subscript[X, 14,10,15,9])(Subscript[X, 15,4,16,5]);*)
K@(Subscript[8, 20])=(Subscript[X, 1,6,2,7])(Subscript[X, 2,11,3,12])(Subscript[X, 5,16,6,1])(Subscript[X, 8,14,9,13])(Subscript[X, 10,3,11,4])(Subscript[X, 12,8,13,7])(Subscript[X, 14,10,15,9])(Subscript[X, 15,4,16,5]);
K@(Subscript[9, 27])=(Subscript[X, 2,24,3,23])(Subscript[X, 5,20,6,21])(Subscript[X, 7,15,8,14])(Subscript[X, 8,1,9,2])(Subscript[X, 10,20,11,19])(Subscript[X, 11,5,12,4])(Subscript[X, 13,16,14,17])(Subscript[X, 15,7,16,6])(Subscript[X, 18,3,19,4])(Subscript[X, 21,13,22,12])(Subscript[X, 22,17,23,18])(Subscript[X, 24,9,1,10]);
K@(Subscript[9, 41])=(Subscript[X, 2,17,3,18])(Subscript[X, 3,21,4,20])(Subscript[X, 6,13,7,14])(Subscript[X, 7,24,8,25])(Subscript[X, 9,19,10,18])(Subscript[X, 10,1,11,2])(Subscript[X, 12,24,13,23])(Subscript[X, 14,5,15,6])(Subscript[X, 16,27,17,28])(Subscript[X, 19,9,20,8])(Subscript[X, 21,27,22,26])(Subscript[X, 22,16,23,15])(Subscript[X, 25,4,26,5])(Subscript[X, 28,11,1,12]);
(*K@(Subscript[9, 46])=(Subscript[X, 1,9,2,8])(Subscript[X, 3,13,4,12])(Subscript[X, 6,15,7,16])(Subscript[X, 9,1,10,18])(Subscript[X, 11,5,12,4])(Subscript[X, 13,3,14,2])(Subscript[X, 14,7,15,8])(Subscript[X, 16,5,17,6])(Subscript[X, 17,11,18,10]);*)
K@(Subscript[9, 46])=(Subscript[X, 1,9,2,8])(Subscript[X, 2,13,3,14])(Subscript[X, 4,11,5,12])(Subscript[X, 6,15,7,16])(Subscript[X, 9,1,10,18])(Subscript[X, 12,3,13,4])(Subscript[X, 14,7,15,8])(Subscript[X, 16,5,17,6])(Subscript[X, 17,11,18,10]);
K@(Subscript[10, 3])=(Subscript[X, 2,11,3,12])(Subscript[X, 3,16,4,17])(Subscript[X, 5,14,6,15])(Subscript[X, 8,22,9,21])(Subscript[X, 10,20,11,19])(Subscript[X, 13,6,14,7])(Subscript[X, 15,4,16,5])(Subscript[X, 17,13,18,12])(Subscript[X, 18,1,19,2])(Subscript[X, 20,10,21,9])(Subscript[X, 22,8,1,7]);
(*K@(Subscript[10, 22])=(Subscript[X, 2,12,3,11])(Subscript[X, 5,18,6,19])(Subscript[X, 7,16,8,17])(Subscript[X, 9,5,10,4])(Subscript[X, 10,19,11,20])(Subscript[X, 12,22,13,21])(Subscript[X, 14,2,15,1])(Subscript[X, 15,6,16,7])(Subscript[X, 17,8,18,9])(Subscript[X, 20,3,21,4])(Subscript[X, 22,14,1,13]);*)
K@(Subscript[10, 22])=(Subscript[X, 2,12,3,11])(Subscript[X, 5,18,6,19])(Subscript[X, 7,16,8,17])(Subscript[X, 9,5,10,4])(Subscript[X, 12,22,13,21])(Subscript[X, 14,2,15,1])(Subscript[X, 15,6,16,7])(Subscript[X, 17,8,18,9])(Subscript[X, 19,11,20,10])(Subscript[X, 20,3,21,4])(Subscript[X, 22,14,1,13]);
(*K@(Subscript[10, 35])=(Subscript[X, 1,6,2,7])(Subscript[X, 3,11,4,10])(Subscript[X, 4,19,5,20])(Subscript[X, 7,14,8,15])(Subscript[X, 9,12,10,13])(Subscript[X, 11,3,12,2])(Subscript[X, 13,8,14,9])(Subscript[X, 16,22,17,21])(Subscript[X, 18,5,19,6])(Subscript[X, 20,18,21,17])(Subscript[X, 22,16,1,15]);*)
K@(Subscript[10, 35])=(Subscript[X, 3,11,4,10])(Subscript[X, 4,19,5,20])(Subscript[X, 6,2,7,1])(Subscript[X, 7,14,8,15])(Subscript[X, 9,12,10,13])(Subscript[X, 11,3,12,2])(Subscript[X, 13,8,14,9])(Subscript[X, 16,22,17,21])(Subscript[X, 18,5,19,6])(Subscript[X, 20,18,21,17])(Subscript[X, 22,16,1,15]);
K@(Subscript[10, 42])=(Subscript[X, 2,28,3,27])(Subscript[X, 4,9,5,10])(Subscript[X, 5,24,6,25])(Subscript[X, 8,18,9,17])(Subscript[X, 11,14,12,15])(Subscript[X, 13,22,14,23])(Subscript[X, 15,27,16,26])(Subscript[X, 16,3,17,4])(Subscript[X, 18,8,19,7])(Subscript[X, 20,2,21,1])(Subscript[X, 21,12,22,13])(Subscript[X, 23,6,24,7])(Subscript[X, 25,11,26,10])(Subscript[X, 28,20,1,19]);
K@(Subscript[10, 48])=(Subscript[X, 1,6,2,7])(Subscript[X, 3,11,4,10])(Subscript[X, 4,21,5,22])(Subscript[X, 7,17,8,16])(Subscript[X, 9,19,10,18])(Subscript[X, 12,6,13,5])(Subscript[X, 14,23,15,24])(Subscript[X, 17,9,18,8])(Subscript[X, 19,2,20,3])(Subscript[X, 20,12,21,11])(Subscript[X, 22,13,23,14])(Subscript[X, 24,15,1,16]);
K@(Subscript[10, 75])=(Subscript[X, 2,30,3,29])(Subscript[X, 4,9,5,10])(Subscript[X, 5,26,6,27])(Subscript[X, 8,18,9,17])(Subscript[X, 11,14,12,15])(Subscript[X, 13,21,14,20])(Subscript[X, 15,29,16,28])(Subscript[X, 16,3,17,4])(Subscript[X, 19,7,20,6])(Subscript[X, 21,13,22,12])(Subscript[X, 22,1,23,2])(Subscript[X, 24,7,25,8])(Subscript[X, 25,19,26,18])(Subscript[X, 27,11,28,10])(Subscript[X, 30,23,1,24]);
(*K@(Subscript[10, 87])=(Subscript[X, 2,13,3,14])(Subscript[X, 3,17,4,16])(Subscript[X, 6,19,7,20])(Subscript[X, 9,27,10,26])(Subscript[X, 10,5,11,6])(Subscript[X, 12,29,13,30])(Subscript[X, 15,24,16,25])(Subscript[X, 17,29,18,28])(Subscript[X, 18,12,19,11])(Subscript[X, 20,7,21,8])(Subscript[X, 22,2,23,1])(Subscript[X, 23,14,24,15])(Subscript[X, 25,9,26,8])(Subscript[X, 27,4,28,5])(Subscript[X, 30,22,1,21]);*)
K@(Subscript[10, 87])=(Subscript[X, 3,17,4,16])(Subscript[X, 5,11,6,10])(Subscript[X, 6,19,7,20])(Subscript[X, 9,27,10,26])(Subscript[X, 12,29,13,30])(Subscript[X, 13,3,14,2])(Subscript[X, 15,24,16,25])(Subscript[X, 18,12,19,11])(Subscript[X, 20,7,21,8])(Subscript[X, 22,2,23,1])(Subscript[X, 23,14,24,15])(Subscript[X, 25,9,26,8])(Subscript[X, 27,4,28,5])(Subscript[X, 28,17,29,18])(Subscript[X, 30,22,1,21]);
K@(Subscript[10, 99])=(Subscript[X, 2,10,3,9])(Subscript[X, 5,26,6,27])(Subscript[X, 6,2,7,1])(Subscript[X, 8,14,9,13])(Subscript[X, 10,4,11,3])(Subscript[X, 12,20,13,19])(Subscript[X, 14,8,15,7])(Subscript[X, 15,20,16,21])(Subscript[X, 17,24,18,25])(Subscript[X, 18,12,19,11])(Subscript[X, 21,28,22,1])(Subscript[X, 23,16,24,17])(Subscript[X, 25,4,26,5])(Subscript[X, 27,22,28,23]);
K@(Subscript[10, 123])=(Subscript[X, 2,20,3,19])(Subscript[X, 4,11,5,12])(Subscript[X, 5,16,6,17])(Subscript[X, 7,15,8,14])(Subscript[X, 8,1,9,2])(Subscript[X, 10,28,11,27])(Subscript[X, 13,24,14,25])(Subscript[X, 15,23,16,22])(Subscript[X, 17,13,18,12])(Subscript[X, 20,9,21,10])(Subscript[X, 23,7,24,6])(Subscript[X, 25,19,26,18])(Subscript[X, 26,3,27,4])(Subscript[X, 28,21,1,22]);
K@(Subscript[10, 129])=(Subscript[X, 1,18,2,19])(Subscript[X, 3,11,4,10])(Subscript[X, 5,1,6,22])(Subscript[X, 7,13,8,12])(Subscript[X, 8,15,9,16])(Subscript[X, 11,5,12,4])(Subscript[X, 14,19,15,20])(Subscript[X, 16,9,17,10])(Subscript[X, 17,2,18,3])(Subscript[X, 20,13,21,14])(Subscript[X, 21,7,22,6]);
(*K@(Subscript[10, 137])=(Subscript[X, 2,20,3,19])(Subscript[X, 5,8,6,9])(Subscript[X, 7,13,8,12])(Subscript[X, 9,19,10,18])(Subscript[X, 11,4,12,5])(Subscript[X, 13,7,14,6])(Subscript[X, 14,1,15,2])(Subscript[X, 16,4,17,3])(Subscript[X, 17,11,18,10])(Subscript[X, 20,15,1,16]);*)
K@(Subscript[10, 137])=(Subscript[X, 2,20,3,19])(Subscript[X, 5,8,6,9])(Subscript[X, 7,13,8,12])(Subscript[X, 10,17,11,18])(Subscript[X, 11,4,12,5])(Subscript[X, 13,7,14,6])(Subscript[X, 14,1,15,2])(Subscript[X, 16,4,17,3])(Subscript[X, 18,9,19,10])(Subscript[X, 20,15,1,16]);
(*K@(Subscript[10, 140])=(Subscript[X, 1,8,2,9])(Subscript[X, 3,15,4,14])(Subscript[X, 5,13,6,12])(Subscript[X, 7,20,8,1])(Subscript[X, 10,18,11,17])(Subscript[X, 13,5,14,4])(Subscript[X, 15,3,16,2])(Subscript[X, 16,10,17,9])(Subscript[X, 18,12,19,11])(Subscript[X, 19,6,20,7]);*)
K@(Subscript[10, 140])=(Subscript[X, 1,8,2,9])(Subscript[X, 2,15,3,16])(Subscript[X, 4,13,5,14])(Subscript[X, 7,20,8,1])(Subscript[X, 10,18,11,17])(Subscript[X, 12,5,13,6])(Subscript[X, 14,3,15,4])(Subscript[X, 16,10,17,9])(Subscript[X, 18,12,19,11])(Subscript[X, 19,6,20,7]);
K@(Subscript[10, 153])=(Subscript[X, 2,22,3,21])(Subscript[X, 3,17,4,16])(Subscript[X, 6,2,7,1])(Subscript[X, 7,12,8,13])(Subscript[X, 10,19,11,20])(Subscript[X, 11,14,12,15])(Subscript[X, 13,8,14,9])(Subscript[X, 17,5,18,4])(Subscript[X, 18,9,19,10])(Subscript[X, 20,15,21,16])(Subscript[X, 22,6,1,5]);
K@(Subscript[10, 155])=(Subscript[X, 3,11,4,10])(Subscript[X, 6,19,7,20])(Subscript[X, 8,2,9,1])(Subscript[X, 9,16,10,17])(Subscript[X, 11,19,12,18])(Subscript[X, 12,6,13,5])(Subscript[X, 14,7,15,8])(Subscript[X, 15,3,16,2])(Subscript[X, 17,4,18,5])(Subscript[X, 20,14,1,13]);