f[0]=f[1]=1;
f[n_] := f[n] = f[n-1]+f[n-2];

f[10]

f[20]

f[30]

f[40]

f[100]

(Subscript[f, 1,0,k_])[{e_}] := (1/e); (Subscript[f, 0,1,k_])[{e_}]:=((((-1))^(k+1))/e);
(Subscript[f, -1,_,_])[_]=0; (Subscript[f, _,-1,_])[_]=0;
(Subscript[f, a_,b_,k_])[e_List] := (Subscript[f, a,b,k])[e]=Factor[(1/(Total[e]))Plus[
Sum[(((-1))^(j+1))(Subscript[f, a-1,b,k-1])[Delete[e,j]],{j,1,k}],
Sum[(((-1))^(j+1))(Subscript[f, a-1,b,k])[Delete[e,j]],{j,k+1,a+b}],
Sum[(((-1))^(j+a+b))(Subscript[f, a,b-1,k-1])[Delete[e,j]],{j,1,k}],
Sum[(((-1))^(j+a+b+1))(Subscript[f, a,b-1,k])[Delete[e,j]],{j,k+1,a+b}]
]];
(Subscript[f, a_,b_,k_])[e__]:=(Subscript[f, a,b,k])[{e}];
(Subscript[g, a_,b_])[s_] := (Subscript[f, a,b,If[EvenQ[a+b], (a+b)/2, (a+b+1)/2]])[s+Range[a+b]];

(Subscript[f, 1,1,1])[e1,e2]

(Subscript[f, 2,2,2])[e1,e2,e3,e4]

(Subscript[f, 4,0,2])[e1,e2,e3,e4]

(Subscript[f, 6,0,2])[e1,e2,e3,e4,e5,e6]

(Subscript[g, 2,0])[s]//Factor

Table[(Subscript[g, 2-j,j])[s],{j,0,2}]//Simplify

Sum[(Subscript[g, 4-j,j])[s],{j,0,4}]//Simplify

{(Subscript[f, 2,0,1])[e1,e2],(Subscript[f, 1,1,1])[e1,e2],(Subscript[f, 0,2,1])[e1,e2]}//Factor

(Subscript[g, 2,2])[s]//Factor

Roots[(11+10 s+2 (s^2)) (27+20 s+4 (s^2))==0,s]

(Subscript[g, 3,3])[s]

(Subscript[g, 4,4])[s]

(Subscript[g, 5,5])[s]

Solve[(Subscript[g, 4,4])[s]==0,s]

Solve[(Subscript[g, 5,5])[s]==0,s]