Plot3D[{((Abs[x+I y])^3)Arg[(x+I y)^8]/5,2+((Abs[x+I y])^3)Arg[(E^(π I/2))(x+I y)^8]/5},{x,-1,1},{y,-1,1}, Exclusions->None, RegionFunction->((((#1)^2)+((#2)^2))<1&)]

Plot3D[Table[2k+((Abs[x+I y])^3)Arg[(E^(k π I/2))(x+I y)^8]/5, {k,0,5}],{x,-1,1},{y,-1,1}, Exclusions->None, RegionFunction->((((#1)^2)+((#2)^2))<1&),BoxRatios->{1,1,2}]

f[x_]:= Piecewise[{{(2/3)x-(3/13)2π,x<(9/13)2π}, {(3/2)(2π-x)-(3/13)2π, x≥(9/13)2π}}, 0];
f[x]

Plot[f[x], {x, 0,2π}, AspectRatio->Automatic]

Plot3D[{((Abs[x+I y])^3)f[π+Arg[(x+I y)^8]]},{x,-1,1},{y,-1,1}, Exclusions->None, RegionFunction->((((#1)^2)+((#2)^2))<1&)]

Plot3D[{((Abs[x+I y])^5)f[π+Arg[(x+I y)^2]]},{x,-1,1},{y,-1,1}, Exclusions->None, RegionFunction->((((#1)^2)+((#2)^2))<1&), PlotRange -> All]