(Subscript[σ, i_,j_])[ℰ_]:=Expand[ℰ/.{(Subscript[x, i])->(Subscript[x, i])+(((Subscript[t, j])-1)/(Subscript[t, i]))(Subscript[x, j]), (Subscript[x, j])->(1/(Subscript[t, i]))(Subscript[x, j])}]

{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}//(Subscript[σ, 1,2])//(Subscript[σ, 1,3])

lhs={(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}//(Subscript[σ, 1,2])//(Subscript[σ, 1,3])//(Subscript[σ, 2,3])

{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}//(Subscript[σ, 2,3])//(Subscript[σ, 1,3])

rhs={(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}//(Subscript[σ, 2,3])//(Subscript[σ, 1,3])//(Subscript[σ, 1,2])

lhs==rhs

(({{(Subscript[t, i]), 0}, {0, (Subscript[t, j])}})).(({{(((Subscript[t, j])-1)/(Subscript[t, i])), (1/(Subscript[t, i]))}, {1, 0}})).(({{(Subscript[t, j]^(-1)), 0}, {0, (Subscript[t, i]^(-1))}}))

Simplify[{{((-1+(Subscript[t, j]))/(Subscript[t, j])),(1/(Subscript[t, i]))},{1,0}}/.{(Subscript[t, i_]):>(Subscript[t, i]^(-1))}]//MatrixForm

n=5

(Subscript[σ, i_])[ℰ_]:=Expand[ℰ/.{(Subscript[t, i])->(Subscript[t, i+1]),(Subscript[t, i+1])->(Subscript[t, i]),(Subscript[x, i])->(Subscript[x, i+1])+(((Subscript[t, i])-1)/(Subscript[t, i+1]))(Subscript[x, i]), (Subscript[x, i+1])->(1/(Subscript[t, i+1]))(Subscript[x, i])}]

{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 4])}//(Subscript[σ, 1])

{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 4])}//(Subscript[σ, 1])//(Subscript[σ, 2])//(Subscript[σ, 1])

{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 4])}//(Subscript[σ, 2])//(Subscript[σ, 1])//(Subscript[σ, 2])

(Subscript[f, i_]):=Table[Coefficient[(Subscript[σ, i])[(Subscript[x, j])],(Subscript[x, k])],{j,n},{k,n}]

(Subscript[f, 1])//MatrixForm

Simplify[(Subscript[f, 1]).(Subscript[f, 2]).(Subscript[f, 1])]//MatrixForm

Simplify[(Subscript[f, 2]).(Subscript[f, 1]).(Subscript[f, 2])]//MatrixForm

Simplify[(Subscript[f, 1]).(Subscript[f, 2]).(Subscript[f, 1])/.(Subscript[t, _])->t]//MatrixForm

Simplify[(Subscript[f, 2]).(Subscript[f, 1]).(Subscript[f, 2])/.(Subscript[t, _])->t]//MatrixForm

(Subscript[β, i_])[ℰ_]:=Expand[ℰ/.{(Subscript[x, i])->(Subscript[x, i+1])+((t-1)/t)(Subscript[x, i]), (Subscript[x, i+1])->(1/t)(Subscript[x, i])}]

{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 4])}//(Subscript[β, 1])//(Subscript[β, 2])//(Subscript[β, 1])

{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 4])}//(Subscript[β, 2])//(Subscript[β, 1])//(Subscript[β, 2])

(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])//(Subscript[β, 1])

(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])//(Subscript[β, 2])

(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])//(Subscript[β, 3])