Dror’s Program

(Subscript[M, k_])[ℰ_]:=Expand[ℰ /. {(Subscript[e, k])->(1-t)(Subscript[e, k])+(Subscript[e, k+1]),(Subscript[e, k+1])->t (Subscript[e, k])}]

Table[Coefficient[(Subscript[M, 3])[(Subscript[e, j])],(Subscript[e, i])], {i,7},{j,7}]//MatrixForm

Table[(Subscript[e, i])//(Subscript[M, 2])//(Subscript[M, 5]),{i,7}]//MatrixForm

Table[(Subscript[e, i])//(Subscript[M, 5])//(Subscript[M, 2]),{i,7}]

lhs=Table[(Subscript[e, i])//(Subscript[M, 3])//(Subscript[M, 4])//(Subscript[M, 3]),{i,7}]

rhs=Table[(Subscript[e, i])//(Subscript[M, 4])//(Subscript[M, 3])//(Subscript[M, 4]),{i,7}]

lhs==rhs

Leonard’s program

(Subscript[δ, i_,j_]):= If[i==j,1,0]      (* Delta function*)

(Subscript[δ, 7,7])

(*
(Subscript[α, i,j]) is the i,j entries of the n x n  matrix corresponding to the generator (Subscript[A, r,s]), 1 ≤ r < s ≤ n, of the pure braid group. 
*)
(Subscript[α, i_,j_])[(Subscript[A, r_,s_])]:= Which[
s<i || i<r, (Subscript[δ, i,j]), 
s== i, (1- (Subscript[t, i])) (Subscript[δ, i,r])  + (Subscript[t, r]) (Subscript[δ, i,j]), 
r== i,(1- (Subscript[t, i])) ((Subscript[δ, i,j])+ (Subscript[t, i]) (Subscript[δ, s,j])) + (Subscript[t, i]) (Subscript[t, s]) (Subscript[δ, i,j]), 
r<i<s, (1- (Subscript[t, i])) (1- (Subscript[t, s]))(Subscript[δ, r,j]) - (1-(Subscript[t, r])) (Subscript[δ, s,j]) + (Subscript[δ, i,j])
]

Table[(Subscript[α, i,j])[(Subscript[A, 1,2])],{i,3},{j,3}]//MatrixForm

Table[(Subscript[α, i,j])[(Subscript[A, 2,4])],{i,5},{j,5}]//MatrixForm

Table[(Subscript[α, i,j])[(Subscript[A, 2,7])],{i,8},{j,8}]//MatrixForm

Checking the relations of the pure braid group

The relation   (Subscript[A, r,s]) (Subscript[A, m,n]) ((Subscript[A, r,s])^(-1)) = (Subscript[A, m,n])   if s<m   or  m < r < s < n.

A23 = Table[(Subscript[α, i,j])[(Subscript[A, 2,3])],{i,7},{j,7}];

A45 = Table[(Subscript[α, i,j])[(Subscript[A, 4,5])],{i,7},{j,7}];

res1 = A23.A45.Inverse[A23];

Simplify[res1] == A45

When    m < r < s < n

A17 = Table[(Subscript[α, i,j])[(Subscript[A, 1,7])],{i,9},{j,9}];

A35 = Table[(Subscript[α, i,j])[(Subscript[A, 3,5])],{i,9},{j,9}];

res2=Simplify[A35.A17.Inverse[A35]]

A17 == res2  (* This is not giving me true or false? *)

When s<m

A12 = Table[(Subscript[α, i,j])[(Subscript[A, 1,2])],{i,9},{j,9}]

A34 = Simplify@Table[(Subscript[α, i,j])[(Subscript[A, 3,4])],{i,9},{j,9}]

res3 = Simplify[A12.A34.Inverse[A12]]

res3 == A34