(Subscript[σ, i_])[h[F_,L_]]:=h[
Permute[F,Cycles[{{i,i+1}}]],
Expand[L/.{(Subscript[β, i])->(Subscript[β, i+1]), (Subscript[β, i+1])->F[[i]](Subscript[β, i])+(1-F[[i+1]])(Subscript[β, i+1])}]
]

{h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 1])]//(Subscript[σ, 1])//(Subscript[σ, 2])//(Subscript[σ, 1]), h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 1])]//(Subscript[σ, 2])//(Subscript[σ, 1])//(Subscript[σ, 2])}

{h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 2])]//(Subscript[σ, 1])//(Subscript[σ, 2])//(Subscript[σ, 1]), h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 2])]//(Subscript[σ, 2])//(Subscript[σ, 1])//(Subscript[σ, 2])}

{h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 3])]//(Subscript[σ, 1])//(Subscript[σ, 2])//(Subscript[σ, 1]), h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 3])]//(Subscript[σ, 2])//(Subscript[σ, 1])//(Subscript[σ, 2])}

μ[h[F_,L1_],h[F_,L2_]]:=Factor[Expand[L1(L2/.{(Subscript[t, i_]):>(Subscript[t, i]^(-1)),(Subscript[β, i_]):>(Subscript[(OverBar[β]), i])})]/.
{(Subscript[β, i_])(Subscript[(OverBar[β]), j_]):>(Piecewise[{{((((Subscript[t, 0])-1)(F[[i]]-1)(1-(Subscript[t, 0])F[[i]]))/((Subscript[t, 0])F[[i]])), i==j}, {((-((Subscript[t, 0])-1)(F[[i]]-1)(F[[j]]-1))/(F[[j]])), i<j}, {((-((Subscript[t, 0])-1)(F[[i]]-1)(F[[j]]-1))/((Subscript[t, 0])F[[j]])), i>j}}])}]

{μ[h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 1])],h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 2])]],μ[h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 2])],h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 1])]]/.(Subscript[t, i_]):>(Subscript[t, i]^(-1))}//Simplify

h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 2])]//(Subscript[σ, 1])

{μ[h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 1])],h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 1])]], μ[h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 1])]//(Subscript[σ, 1]),h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 1])]//(Subscript[σ, 1])]}

{μ[h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 1])],h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 2])]], μ[h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 1])]//(Subscript[σ, 1]),h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 2])]//(Subscript[σ, 1])]}

{μ[h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 2])],h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 2])]], μ[h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 2])]//(Subscript[σ, 1]),h[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])},(Subscript[β, 2])]//(Subscript[σ, 1])]}