(*S=(e^(2A-B)),T=(e^(2B-A))*)

Ast=(1/3)Log[(S^2)T];Bst=(1/3)Log[S (T^2)];
(Subscript[(SuperPlus[R]), i_,j_]):=𝔼[(Subscript[X, i])(Subscript[x, j])+(Subscript[Y, i])(Subscript[y, j])+(Subscript[Z, i])(Subscript[z, j])+Ast (Subscript[a, j])+Bst (Subscript[b, j])]

CF[ω_.𝔼[Q_]] := Simplify[ω,Assumptions->{S>0,T>0}]𝔼[Simplify[Q,Assumptions->{T>0,S>0}]];
𝔼 /: 𝔼[Q1_]𝔼[Q2_] := CF@𝔼[Q1+Q2];
ω1_.𝔼[Q1_] ≡ ω2_.𝔼[Q2_] := Simplify[ω1==ω2∧Q1==Q2,TimeConstraint->Infinity,Assumptions->{S>0,T>0}];

bazyx[i_,e_,d_,c_,k_][ω_.𝔼[Q_]]:=CF[ω 𝔼[Q/.{(Subscript[x, c])->(E^(Subscript[(SuperMinus[γ]), 1]))(Subscript[x, k]),(Subscript[y, d])->(E^(Subscript[(SuperMinus[γ]), 2]))(Subscript[y, k]),(Subscript[z, e])->(E^(Subscript[(SuperMinus[γ]), 3]))(Subscript[z, k]),(Subscript[b, i])->(Subscript[b, k]),(Subscript[a, i])->(Subscript[a, k])}]/.{(Subscript[(SuperMinus[γ]), 1])->(-2(∂_(Subscript[a, i]))Q+(∂_(Subscript[b, i]))Q),(Subscript[(SuperMinus[γ]), 2])->((∂_(Subscript[a, i]))Q-2(∂_(Subscript[b, i]))Q),(Subscript[(SuperMinus[γ]), 3])->(-(∂_(Subscript[a, i]))Q-(∂_(Subscript[b, i]))Q)}];
baXYZ[i_,j_,c_,d_,e_,k_][ω_.𝔼[Q_]]:=CF[ω 𝔼[Q/.{(Subscript[X, c])->(E^(-(Subscript[(SuperMinus[γ]), 1])))(Subscript[X, k]),(Subscript[Y, d])->(E^(-(Subscript[(SuperMinus[γ]), 2])))(Subscript[Y, k]),(Subscript[Z, e])->(E^(-(Subscript[(SuperMinus[γ]), 3])))(Subscript[Z, k]),(Subscript[b, i])->(Subscript[b, k]),(Subscript[a, i])->(Subscript[a, k]),(Subscript[a, j])->(Subscript[a, k]),(Subscript[b, j])->(Subscript[b, k])}]/.{(Subscript[(SuperMinus[γ]), 1])->(-2(∂_(Subscript[a, i]))Q+(∂_(Subscript[b, i]))Q),(Subscript[(SuperMinus[γ]), 2])->((∂_(Subscript[a, i]))Q-2(∂_(Subscript[b, i]))Q),(Subscript[(SuperMinus[γ]), 3])->(-(∂_(Subscript[a, i]))Q-(∂_(Subscript[b, i]))Q)}];
zyxba[e_,d_,c_,j_,k_][ω_.𝔼[Q_]]:=CF[ω 𝔼[Q/.{(Subscript[x, c])->(E^(-(Subscript[(SuperMinus[γ]), 1])))(Subscript[x, k]),(Subscript[y, d])->(E^(-(Subscript[(SuperMinus[γ]), 2])))(Subscript[y, k]),(Subscript[z, e])->(E^(-(Subscript[(SuperMinus[γ]), 3])))(Subscript[z, k]),(Subscript[b, j])->(Subscript[b, k]),(Subscript[a, j])->(Subscript[a, k])}]/.{(Subscript[(SuperMinus[γ]), 1])->(-2(∂_(Subscript[a, j]))Q+(∂_(Subscript[b, j]))Q),(Subscript[(SuperMinus[γ]), 2])->((∂_(Subscript[a, j]))Q-2(∂_(Subscript[b, j]))Q),(Subscript[(SuperMinus[γ]), 3])->(-(∂_(Subscript[a, j]))Q-(∂_(Subscript[b, j]))Q)}];
xX[i_,j_,k_][ω_.𝔼[Q_]]:=CF[ω ν 𝔼[α β ν(1-S)+α ν (Subscript[x, k])+β ν (Subscript[X, k])+δ ν (Subscript[X, k]) (Subscript[x, k])+Q/.{(Subscript[X, j])|(Subscript[x, i])->0}]]/.{α->(∂_(Subscript[x, i]))Q/.(Subscript[X, j])->0,β->(∂_(Subscript[X, j]))Q/.(Subscript[x, i])->0,δ->(∂_((Subscript[x, i]),(Subscript[X, j])))Q,ν->(((1-(1-S)(∂_((Subscript[x, i]),(Subscript[X, j])))Q))^(-1))};
yY[i_,j_,k_][ω_.𝔼[Q_]]:=CF[ω ν 𝔼[α β ν(1-T)+α ν (Subscript[y, k])+β ν (Subscript[Y, k])+δ ν (Subscript[Y, k]) (Subscript[y, k])+Q/.{(Subscript[Y, j])|(Subscript[y, i])->0}]]/.{α->(∂_(Subscript[y, i]))Q/.(Subscript[Y, j])->0,β->(∂_(Subscript[Y, j]))Q/.(Subscript[y, i])->0,δ->(∂_((Subscript[y, i]),(Subscript[Y, j])))Q,ν->(((1-(1-T)(∂_((Subscript[y, i]),(Subscript[Y, j])))Q))^(-1))};
xZ[i_,j_,k_][ω_.𝔼[Q_]]:=CF[ω ν 𝔼[-α β ν S (Subscript[Y, k]) +α ν (Subscript[x, k])+β ν (Subscript[Z, k])+δ ν (Subscript[Z, k]) (Subscript[x, k])+Q/.{(Subscript[Z, j])|(Subscript[x, i])->0}]]/.{α->(∂_(Subscript[x, i]))Q/.(Subscript[Z, j])->0,β->(∂_(Subscript[Z, j]))Q/.(Subscript[x, i])->0,δ->(∂_((Subscript[x, i]),(Subscript[Z, j])))Q,ν->(((1+S (Subscript[Y, k])(∂_((Subscript[x, i]),(Subscript[Z, j])))Q))^(-1))};
yZ[i_,j_,k_][ω_.𝔼[Q_]]:=CF[ω ν 𝔼[α β ν (Subscript[X, k]) +α ν (Subscript[y, k])+β ν (Subscript[Z, k])+δ ν (Subscript[Z, k]) (Subscript[y, k])+Q/.{(Subscript[Z, j])|(Subscript[y, i])->0}]]/.{α->(∂_(Subscript[y, i]))Q/.(Subscript[Z, j])->0,β->(∂_(Subscript[Z, j]))Q/.(Subscript[y, i])->0,δ->(∂_((Subscript[y, i]),(Subscript[Z, j])))Q,ν->(((1-(Subscript[X, k])(∂_((Subscript[y, i]),(Subscript[Z, j])))Q))^(-1))}; 
zZ[i_,j_,k_][ω_.𝔼[Q_]]:=CF[ω ν 𝔼[α β ν (1-S T) +α ν (Subscript[z, k])+β ν (Subscript[Z, k])+δ ν (Subscript[Z, k]) (Subscript[z, k])+Q/.{(Subscript[Z, j])|(Subscript[z, i])->0}]]/.{α->(∂_(Subscript[z, i]))Q/.(Subscript[Z, j])->0,β->(∂_(Subscript[Z, j]))Q/.(Subscript[z, i])->0,δ->(∂_((Subscript[z, i]),(Subscript[Z, j])))Q,ν->(((1-(1-S T)(∂_((Subscript[z, i]),(Subscript[Z, j])))Q))^(-1))};
xy[i_,j_,k_][ω_.𝔼[Q_]]:=CF[ω ν 𝔼[α β ν (Subscript[z, k]) +α ν (Subscript[x, k])+β ν (Subscript[y, k])+δ ν (Subscript[y, k]) (Subscript[x, k])+Q/.{(Subscript[y, j])|(Subscript[x, i])->0}]]/.{α->(∂_(Subscript[x, i]))Q/.(Subscript[y, j])->0,β->(∂_(Subscript[y, j]))Q/.(Subscript[x, i])->0,δ->(∂_((Subscript[x, i]),(Subscript[y, j])))Q,ν->(((1-(Subscript[z, k])(∂_((Subscript[x, i]),(Subscript[y, j])))Q))^(-1))};
(Subscript[m, i_,j_->k_])[ω_. 𝔼[S_]]:=Module[{h,l,m,n,o,p,q,r,f},CF@@{(ω 𝔼[S]//bazyx[i,i,i,i,l]//baXYZ[l,j,j,j,j,m]//xX[l,m,n]//yY[l,m,n]//xZ[n,m,o]//yY[n,o,h]//yZ[h,o,p]//zZ[l,p,q]//zyxba[q,p,o,m,r]//xy[r,j,f])/.{(Subscript[x, h|i|j|l|m|n|o|p|q|r|f])->(Subscript[x, k]),(Subscript[y, h|i|j|l|m|n|o|p|q|r|f])->(Subscript[y, k]),(Subscript[z, h|i|j|l|m|n|o|p|q|r|f])->(Subscript[z, k]),(Subscript[a, h|i|j|l|m|n|o|p|q|r|f])->(Subscript[a, k]),(Subscript[b, h|i|j|l|m|n|o|p|q|r|f])->(Subscript[b, k]),(Subscript[X, h|i|j|l|m|n|o|p|q|r|f])->(Subscript[X, k]),(Subscript[Y, h|i|j|l|m|n|o|p|q|r|f])->(Subscript[Y, k]),(Subscript[Z, h|i|j|l|m|n|o|p|q|r|f])->(Subscript[Z, k])}}]

Q0=𝔼[Sum[(Subscript[η, i,j])(Subscript[X, i])(Subscript[x, j])+(Subscript[ζ, i,j])(Subscript[Y, i])(Subscript[y, j])+(Subscript[θ, i,j])(Subscript[Z, i])(Subscript[z, j]),{i,3},{j,3}]+Sum[(Subscript[σ, i])(Subscript[a, i])+(Subscript[ξ, i])(Subscript[b, i]),{i,3}]]

Test Polynomial

Q1=𝔼[Sum[RandomInteger[{-4,4}](Subscript[X, i])(Subscript[x, j])+RandomInteger[{-4,4}](Subscript[Y, i])(Subscript[y, j])+RandomInteger[{-4,4}](Subscript[Z, i])(Subscript[z, j]),{i,3},{j,3}]+Sum[RandomInteger[{-4,4}](Subscript[a, i])+RandomInteger[{-4,4}](Subscript[b, i]),{i,3}]]

Associativity

Qtest=𝔼[3 (Subscript[a, 1])+3 (Subscript[a, 3])-4 (Subscript[b, 1])-2 (Subscript[b, 2])+4 (Subscript[x, 1]) (Subscript[X, 1])+(Subscript[x, 2]) (Subscript[X, 1])+3 (Subscript[x, 3]) (Subscript[X, 1])-(Subscript[x, 1]) (Subscript[X, 2])+(Subscript[x, 2]) (Subscript[X, 2])+(Subscript[x, 3]) (Subscript[X, 2])+3 (Subscript[x, 1]) (Subscript[X, 3])-3 (Subscript[x, 2]) (Subscript[X, 3])-(Subscript[x, 3]) (Subscript[X, 3])+2 (Subscript[y, 1]) (Subscript[Y, 1])-2 (Subscript[y, 2]) (Subscript[Y, 1])+4 (Subscript[y, 3]) (Subscript[Y, 1])-2 (Subscript[y, 1]) (Subscript[Y, 2])+4 (Subscript[y, 2]) (Subscript[Y, 2])-(Subscript[y, 3]) (Subscript[Y, 2])+3 (Subscript[y, 1]) (Subscript[Y, 3])+(Subscript[y, 2]) (Subscript[Y, 3])+3 (Subscript[y, 3]) (Subscript[Y, 3])-3 (Subscript[z, 2]) (Subscript[Z, 1])-2 (Subscript[z, 3]) (Subscript[Z, 1])+3 (Subscript[z, 1]) (Subscript[Z, 2])-(Subscript[z, 2]) (Subscript[Z, 2])-(Subscript[z, 3]) (Subscript[Z, 2])+2 (Subscript[z, 1]) (Subscript[Z, 3])-2 (Subscript[z, 3]) (Subscript[Z, 3])];
Timing[(Qtest//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1]))≡(Qtest//(Subscript[m, 2,3->2])//(Subscript[m, 1,2->1]))]

QYBE

Timing[((Subscript[(SuperPlus[R]), 1,2])(Subscript[(SuperPlus[R]), 3,4])(Subscript[(SuperPlus[R]), 5,6])//(Subscript[m, 3,5->x])//(Subscript[m, 1,6->y])//(Subscript[m, 2,4->z]))≡((Subscript[(SuperPlus[R]), 1,2])(Subscript[(SuperPlus[R]), 3,4])(Subscript[(SuperPlus[R]), 5,6])//(Subscript[m, 1,3->x])//(Subscript[m, 2,5->y])//(Subscript[m, 4,6->z]))]

Trefoil

(Subscript[(SuperPlus[R]), 1,2])(Subscript[(SuperPlus[R]), 3,4])(Subscript[(SuperPlus[R]), 5,6])//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 1,5->1])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 1,6->1])