Pensieve header: Proof of the main ${\mathfrak g}_0$ lemma and a poly-time program to compute the ${\mathfrak g}_0$ invariant.

Reminder

Make sure that you have Mathematica and that you play with these programs!

Representing (Subscript[𝔤, 0])=⟨h,e,l,f⟩/([e,l]=-e, [f,l]=f, [e,f]=h, [h,*]=0)

ρh=(({{0, 0, -1}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}));ρe=(({{0, 0, 0}, {0, 0, 1}, {0, 0, 0}})); ρl=(({{0, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 0}})); ρf=(({{0, 1, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}})); ρ0=(({{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}));
B[x_?MatrixQ, y_?MatrixQ] := x.y-y.x;

{B[ρe,ρl]==-ρe, B[ρf,ρl]==ρf, B[ρe,ρf]==ρh, B[ρh,ρe]==ρ0, B[ρh,ρl]==ρ0, B[ρh,ρf]==ρ0}

The Main (Subscript[𝔤, 0]) Theorem

Raw Version. The (Subscript[𝔤, 0]) invariant of any S-component tangle T can be written in the form Z(T)=𝕆(((ωe)^(L+Q))|(∏_(i∈S))(Subscript[e, i])(Subscript[l, i])(Subscript[f, i])), where ω is a scalar (meaning, a rational function in the variables (Subscript[h, i]) and their exponentials (Subscript[t, i])=(e^(Subscript[h, i]))), where L=∑(Subscript[a, ij])(Subscript[h, i])(Subscript[l, j]) is a balanced quadratic in the variables (Subscript[h, i]) and (Subscript[l, j]) with integer coefficients (Subscript[a, ij]) and where Q=∑(Subscript[b, ij])(Subscript[e, i])(Subscript[f, j]) is a balanced quadratic in the variables (Subscript[e, i]) and (Subscript[f, j]) with scalar coefficients (Subscript[b, ij]). Furthermore, after setting (Subscript[h, i])=h and (Subscript[t, i])=t for all i, the invariant Z(T) is poly-time computable.

Proof. Indeed, as shown below,
0. (R^s)=(e^(s(h⊗l+e⊗f)))=𝕆(exp(s hl+(((e^(s h))-1)/h)ef)|e⊗lf),
1. 𝕆((e^(γl+βe))|le)=𝕆((e^(γl+(e^γ)βe))|el),
2. 𝕆((e^(γl+βf))|fl)=𝕆((e^(γl+(e^γ)βf))|lf),
3. 𝕆((e^(βe+αf+δef))|fe)=𝕆(((νe)^(ν(-αβh+βe+αf+δef)))|ef), with ν=(((1+hδ))^(-1)),
and the rest is straight-forward.

Proofs of the (Subscript[𝔤, 0]) lemmas

(* 0 *) MatrixForm /@ {MatrixExp[h ρl+e ρf], MatrixExp[h ρl].MatrixExp[(((E^h)-1)/h)e ρf]}

(* 1 *) MatrixForm /@ {MatrixExp[γ ρl].MatrixExp[β ρe], MatrixExp[(E^γ)β ρe].MatrixExp[γ ρl]}

(* 2 *) MatrixForm /@ {MatrixExp[β ρf].MatrixExp[γ ρl], MatrixExp[γ ρl].MatrixExp[(E^γ)β ρf]}

(* 3 at δ=0 *) MatrixForm /@ {MatrixExp[α ρf].MatrixExp[β ρe], MatrixExp[-α β ρh].MatrixExp[β ρe].MatrixExp[α ρf]}

For the full proof of 3, see the blackboard and then check:

With[{ψ=ν (E^(ν(t e f-α β h+α f+β e))) /. ν->(((1+t h))^(-1))}, Simplify@{(∂_t)ψ-(∂_(α,β))ψ, ψ /. t->0}]

Implementation

CF[𝔼[ω_,L_,Q_]] := 𝔼[Simplify[ω], Simplify[L], Simplify[Q]];
𝔼 /: 𝔼[ω1_,L1_,Q1_]𝔼[ω2_,L2_,Q2_] := CF@𝔼[ω1 ω2,L1+L2,Q1+Q2];
𝔼[ω1_,L1_,Q1_] ≡ 𝔼[ω2_,L2_,Q2_] := Simplify[ω1==ω2∧L1==L2∧Q1==Q2];

0. R=(e^(h⊗l+e⊗f))=𝕆(exp(hl+(((e^h)-1)/h)ef)|e⊗lf):

𝔼[(Subscript[X, i_,j_]^(+))]:=𝔼[1, (Subscript[h, i])(Subscript[l, j]),(Subscript[h, i]^(-1))((E^(Subscript[h, i]))-1)(Subscript[e, i])(Subscript[f, j])];
𝔼[(Subscript[X, i_,j_]^(-))]:=𝔼[1, -(Subscript[h, i])(Subscript[l, j]),(Subscript[h, i]^(-1))((E^(-(Subscript[h, i])))-1)(Subscript[e, i])(Subscript[f, j])];
𝔼[p_Times] := 𝔼 /@ p;

𝔼[(Subscript[X, 4,1]^(+))(Subscript[X, 2,5]^(+))(Subscript[X, 6,3]^(+))]

1. 𝕆((e^(γl+βe))|le)=𝕆((e^(γl+(e^γ)βe))|el),
2. 𝕆((e^(γl+βf))|fl)=𝕆((e^(γl+(e^γ)βf))|lf):

(Subscript[NO, (Subscript[(x:f|e), i_])(Subscript[l, j_])])[𝔼[ω_,L_,Q_]] := CF[𝔼[ω,L,(E^γ)α (Subscript[x, i])+(Q/.(Subscript[x, i])->0)/.{γ->(∂_(Subscript[l, j]))L,α->(∂_(Subscript[x, i]))Q}]];
(Subscript[ANO, (Subscript[(x:f|e), i_])(Subscript[l, j_])])[𝔼[ω_,L_,Q_]] := CF[𝔼[ω,L,(E^(-γ))α (Subscript[x, i])+(Q/.(Subscript[x, i])->0)/.{γ->(∂_(Subscript[l, j]))L,α->(∂_(Subscript[x, i]))Q}]];

𝔼[(Subscript[X, 4,1]^(+))(Subscript[X, 2,5]^(+))(Subscript[X, 6,3]^(+))]

𝔼[(Subscript[X, 4,1]^(+))(Subscript[X, 2,5]^(+))(Subscript[X, 6,3]^(+))] // (Subscript[ANO, (Subscript[e, 2])(Subscript[l, 3])])

(𝔼[(Subscript[X, 4,1]^(+))(Subscript[X, 2,5]^(+))(Subscript[X, 6,3]^(+))] // (Subscript[ANO, (Subscript[e, 2])(Subscript[l, 3])]) // (Subscript[NO, (Subscript[e, 2])(Subscript[l, 3])]))==𝔼[(Subscript[X, 4,1]^(+))(Subscript[X, 2,5]^(+))(Subscript[X, 6,3]^(+))]

3. 𝕆((e^(βe+αf+δef))|fe)=𝕆(((νe)^(ν(-αβh+βe+αf+δef)))|ef), with ν=(((1+hδ))^(-1)):

(Subscript[NO, (Subscript[f, i_])(Subscript[e, j_])->k_])[𝔼[ω_,L_,Q_]]:=CF[
𝔼[ν ω,L,ν(-α β (Subscript[h, k])+β (Subscript[e, k])+α (Subscript[f, k])+δ (Subscript[e, k])(Subscript[f, k]))+(Q/.(Subscript[f, i])|(Subscript[e, j])->0)]
/.ν->(((1+(Subscript[h, k])δ))^(-1))/.{α->(∂_(Subscript[f, i]))Q/.(Subscript[e, j])->0,β->(∂_(Subscript[e, j]))Q/.(Subscript[f, i])->0,δ->(∂_((Subscript[f, i]),(Subscript[e, j])))Q}];

𝔼[(Subscript[X, 4,1]^(+))(Subscript[X, 2,5]^(+))(Subscript[X, 6,3]^(+))] // (Subscript[NO, (Subscript[f, 3])(Subscript[e, 4])->7])

The Stitching Formula

(Subscript[m, i_,j_->k_])[Z_]:=Module[{x,z},CF[(Z//(Subscript[NO, (Subscript[f, i])(Subscript[e, j])->x])//(Subscript[NO, (Subscript[l, i])(Subscript[e, x])])//(Subscript[NO, (Subscript[f, x])(Subscript[l, j])]))/.(Subscript[z_, i|j|x])->(Subscript[z, k])]]

𝔼[(Subscript[X, 4,1]^(+))(Subscript[X, 2,5]^(+))(Subscript[X, 6,3]^(+))] // (Subscript[m, 1,2->1])

𝔼[(Subscript[X, 4,1]^(+))(Subscript[X, 2,5]^(+))(Subscript[X, 6,3]^(+))] // (Subscript[m, 1,2->1]) // (Subscript[m, 1,3->1])

𝔼[(Subscript[X, 4,1]^(+))(Subscript[X, 2,5]^(+))(Subscript[X, 6,3]^(+))] // (Subscript[m, 1,2->1]) // (Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 1,4->1])

𝔼[(Subscript[X, 4,1]^(+))(Subscript[X, 2,5]^(+))(Subscript[X, 6,3]^(+))] // (Subscript[m, 1,2->1]) // (Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 1,5->1])//(Subscript[m, 1,6->1])

Independent Proof of Invariance

Meta-Associativity:

ζ=𝔼[ω,(∑_(i=1)^4)(∑_(j=1)^4)(Subscript[a, i,j])(Subscript[h, i])(Subscript[l, j]), (∑_(i=1)^4)(∑_(j=1)^4)(Subscript[b, i,j])(Subscript[e, i])(Subscript[f, j])]

ζ // (Subscript[m, 1,2->1])

ζ // (Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1])

(ζ // (Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1]))≡(ζ // (Subscript[m, 2,3->2])//(Subscript[m, 1,2->1]))

Reidemeister 3:

lhs=𝔼[(Subscript[X, 1,4]^(+))(Subscript[X, 2,3]^(+))(Subscript[X, 5,6]^(+))]//(Subscript[m, 1,5->1])//(Subscript[m, 2,6->2])//(Subscript[m, 3,4->3])

rhs=𝔼[(Subscript[X, 1,2]^(+))(Subscript[X, 4,3]^(+))(Subscript[X, 5,6]^(+))]//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 3,6->3])

lhs≡rhs

Homework.
1. Use the same methodology to verify (Subscript[m, a,b->c])//(Subscript[m, d,e->f])==(Subscript[m, d,e->f])//(Subscript[m, a,b->c]).
2. Likewise, verify the two types of R2 moves.
3. Make sure that R1 gives no trouble.
4. Implement the “polished version” of the main theorem below, and verify that everything works.

The Main (Subscript[𝔤, 0]) Theorem, Polished Version

Polished Version. With (OverBar[e])=((((e^h)-1))/h)e, the (Subscript[𝔤, 0]) invariant of any S-component tangle T can be written in the form Z(T)=𝕆((ω^(-1))(e^(L+(ω^(-1))Q))|(∏_(i∈S))(Subscript[(OverBar[e]), i])(Subscript[l, i])(Subscript[f, i])), where ω is a scalar (meaning, a polynomial in the variables (Subscript[t, i])=(e^(Subscript[h, i]))), where L=∑(Subscript[a, ij])(Subscript[h, i])(Subscript[l, j]) is a balanced quadratic in the variables (Subscript[h, i]) and (Subscript[l, j]) with integer coefficients (Subscript[a, ij]) and where Q=∑(Subscript[b, ij])(Subscript[(OverBar[e]), i])(Subscript[f, j]) is a balanced quadratic in the variables (Subscript[(OverBar[e]), i]) and (Subscript[f, j]) with scalar coefficients (Subscript[b, ij]). Furthermore, after setting (Subscript[t, i])=t for all i, the invariant Z(T) is poly-time computable.