Pensieve header: Γ-Calculus.

<< KnotTheory`

Linear Control Theory

From the Wikipedia entry “Control Theory” (edited):

M=(({{α, β, θ}, {γ, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}})); {(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]),(Subscript[y, 3])}==M.{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}

eqns=Thread[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]),(Subscript[y, 3])}==M.{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}]⋃{(Subscript[y, 1])==(Subscript[x, 2])}

Solve[eqns, {(Subscript[y, 2]),(Subscript[y, 3])}]

{sol}=Solve[eqns, {(Subscript[x, 2]),(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]),(Subscript[y, 3])}]

Table[Coefficient[(Subscript[y, i]) /. sol, (Subscript[x, j])] // Apart, {i,{2,3}}, {j,{1,3}}] // MatrixForm

Γ0-Calculus

Γ0 /: Collect[Γ0[λ_]] := Γ0[Collect[λ, (Subscript[h, _]), Collect[#,(Subscript[t, _]), Factor]&]];
Format[Γ0[λ_]] := Module[{S, M},
S = Union@Cases[Γ0[λ], (Subscript[(h|t), a_]) :> a, ∞];
M = Outer[Factor[(∂_((Subscript[h, #1]),(Subscript[t, #2])))λ]&, S, S];
M = Prepend[M, (Subscript[t, #])& /@ S] // Transpose;
M = Prepend[M, Prepend[(Subscript[h, #])& /@ S, "Γ0"]];
M // MatrixForm];

ζ=Γ0[{(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3]),(Subscript[t, S])}.(({{(Subscript[α, 11]), (Subscript[α, 12]), (Subscript[α, 13]), (Subscript[θ, 1])}, {(Subscript[α, 21]), (Subscript[α, 22]), (Subscript[α, 23]), (Subscript[θ, 2])}, {(Subscript[α, 31]), (Subscript[α, 32]), (Subscript[α, 33]), (Subscript[θ, 3])}, {(Subscript[ϕ, 1]), (Subscript[ϕ, 2]), (Subscript[ϕ, 3]), Ξ}})).{(Subscript[h, 1]),(Subscript[h, 2]),(Subscript[h, 3]),(Subscript[h, S])}]

Γ0 /: Γ0[λ1_]Γ0[λ2_] := Γ0[λ1+λ2];
(Subscript[m, a_,b_->c_])[Γ0[λ_]] := Module[{α,β,γ,δ,θ,ϵ,ϕ,ψ,Ξ},
(({{α, β, θ}, {γ, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}}))=(({{(∂_((Subscript[t, a]),(Subscript[h, a])))λ, (∂_((Subscript[t, a]),(Subscript[h, b])))λ, (∂_(Subscript[t, a]))λ}, {(∂_((Subscript[t, b]),(Subscript[h, a])))λ, (∂_((Subscript[t, b]),(Subscript[h, b])))λ, (∂_(Subscript[t, b]))λ}, {(∂_(Subscript[h, a]))λ, (∂_(Subscript[h, b]))λ, λ}}))/.(Subscript[(t|h), a|b])->0;
Γ0[{(Subscript[t, c]),1}.(({{γ-((α δ)/(-1+β)), ϵ-((δ θ)/(-1+β))}, {ϕ-((α ψ)/(-1+β)), Ξ-((θ ψ)/(-1+β))}})).{(Subscript[h, c]),1}] // Collect];

(ζ//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1]))

(ζ//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1]))==(ζ//(Subscript[m, 2,3->2])//(Subscript[m, 1,2->1]))

The YB Elements for Γ0-Calculus

(Subscript[R, n_,i_,j_]):=ReplacePart[IdentityMatrix[n], {
{i,i}->α, {i,j}->β,
{j,i}->γ,{j,j}->δ
}];

MatrixForm /@ {(Subscript[R, 2,1,2]), (Subscript[R, 3,1,3])}

(Subscript[R, 3,1,2]).(Subscript[R, 3,1,3]).(Subscript[R, 3,2,3])

eqns=Thread[Flatten[(Subscript[R, 3,1,2]).(Subscript[R, 3,1,3]).(Subscript[R, 3,2,3])]==Flatten[(Subscript[R, 3,2,3]).(Subscript[R, 3,1,3]).(Subscript[R, 3,1,2])]]

Solve[eqns, {α,β,γ,δ}]

MatrixForm /@ ((Subscript[R, 2,1,2])/.Solve[eqns, {α,β,γ,δ}])

MatrixForm /@ ((Subscript[R, 2,1,2])/.Solve[eqns⋃{α==0,δ==t}, {α,β,γ,δ}])

MatrixForm /@ ((Subscript[R, 2,1,2])/.Solve[eqns⋃{α==1,δ==t}, {α,β,γ,δ}])

Γ0[(Subscript[Xp, a_,b_])*more_.] := Γ0[{(Subscript[t, a]),(Subscript[t, b])}.(({{1, 1-T}, {0, T}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, b])}]Γ0[more];
Γ0[(Subscript[Xm, a_,b_])*more_.] := (Γ0[(Subscript[Xp, a,b])] /. T->1/T)Γ0[more];
Γ0[1]=Γ0[0];

{(Subscript[Xm, 5,1])(Subscript[Xm, 6,2])(Subscript[Xp, 3,4])//Γ0//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 3,6->3]),  (Subscript[Xp, 6,1])(Subscript[Xm, 2,4])(Subscript[Xm, 3,5])//Γ0//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 3,6->3])}

Two types of R2!

{(Subscript[Xp, 1,2])(Subscript[Xm, 3,4])//Γ0//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 2,4->2]), (Subscript[Xp, 1,2])(Subscript[Xm, 3,4])//Γ0//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 4,2->2])}

z=Γ0[(Subscript[Xm, 12,1])(Subscript[Xm, 2,7])(Subscript[Xm, 8,3])(Subscript[Xm, 4,11])(Subscript[Xp, 16,5])(Subscript[Xp, 6,13])(Subscript[Xp, 14,9])(Subscript[Xp, 10,15])];
Do[z= z // (Subscript[m, 1,k->1]), {k,2,16}];z

Γ-Calculus

Γ /: Collect[Γ[ω_, λ_]] := Γ[Simplify[ω],
Collect[λ, (Subscript[h, _]), Collect[#,(Subscript[t, _]), Factor]&]];
Format[Γ[ω_,λ_]] := Module[{S, M},
S = Union@Cases[Γ[ω,λ], (Subscript[(h|t), a_]) :> a, ∞];
M = Outer[Factor[(∂_((Subscript[h, #1]),(Subscript[t, #2])))λ]&, S, S];
M = Prepend[M, (Subscript[t, #])& /@ S] // Transpose;
M = Prepend[M, Prepend[(Subscript[h, #])& /@ S, ω]];
M // MatrixForm];

ζ=Γ[ω, {(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3]),(Subscript[t, S])}.(({{(Subscript[α, 11]), (Subscript[α, 12]), (Subscript[α, 13]), (Subscript[θ, 1])}, {(Subscript[α, 21]), (Subscript[α, 22]), (Subscript[α, 23]), (Subscript[θ, 2])}, {(Subscript[α, 31]), (Subscript[α, 32]), (Subscript[α, 33]), (Subscript[θ, 3])}, {(Subscript[ϕ, 1]), (Subscript[ϕ, 2]), (Subscript[ϕ, 3]), Ξ}})).{(Subscript[h, 1]),(Subscript[h, 2]),(Subscript[h, 3]),(Subscript[h, S])}]

Γ /: Γ[ω1_, λ1_]Γ[ω2_, λ2_] := Γ[ω1*ω2, λ1+λ2];
(Subscript[m, a_,b_->c_])[Γ[ω_, λ_]] := Module[{α,β,γ,δ,θ,ϵ,ϕ,ψ,Ξ,μ},
(({{α, β, θ}, {γ, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}}))=(({{(∂_((Subscript[t, a]),(Subscript[h, a])))λ, (∂_((Subscript[t, a]),(Subscript[h, b])))λ, (∂_(Subscript[t, a]))λ}, {(∂_((Subscript[t, b]),(Subscript[h, a])))λ, (∂_((Subscript[t, b]),(Subscript[h, b])))λ, (∂_(Subscript[t, b]))λ}, {(∂_(Subscript[h, a]))λ, (∂_(Subscript[h, b]))λ, λ}}))/.(Subscript[(t|h), a|b])->0;
Γ[(μ=1-β)ω, {(Subscript[t, c]),1}.(({{γ+α δ/μ, ϵ+δ θ/μ}, {ϕ+α ψ/μ, Ξ+ψ θ/μ}})).{(Subscript[h, c]),1}] // Collect];
Γ[(Subscript[Xp, a_,b_])*more_.] := Γ[1,{(Subscript[t, a]),(Subscript[t, b])}.(({{1, 1-T}, {0, T}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, b])}]Γ[more];
Γ[(Subscript[Xm, a_,b_])*more_.] := (Γ[(Subscript[Xp, a,b])] /. T->1/T)Γ[more];
Γ[1]=Γ[1,0];

(ζ//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1]))

(ζ//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1]))==(ζ//(Subscript[m, 2,3->2])//(Subscript[m, 1,2->1]))

{(Subscript[Xm, 5,1])(Subscript[Xm, 6,2])(Subscript[Xp, 3,4])//Γ//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 3,6->3]),  (Subscript[Xp, 6,1])(Subscript[Xm, 2,4])(Subscript[Xm, 3,5])//Γ//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 3,6->3])}

Two types of R2.

{(Subscript[Xp, 1,2])(Subscript[Xm, 3,4])//Γ//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 2,4->2]), (Subscript[Xp, 1,2])(Subscript[Xm, 3,4])//Γ//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 4,2->2])}

z=Γ[(Subscript[Xm, 12,1])(Subscript[Xm, 2,7])(Subscript[Xm, 8,3])(Subscript[Xm, 4,11])(Subscript[Xp, 16,5])(Subscript[Xp, 6,13])(Subscript[Xp, 14,9])(Subscript[Xp, 10,15])];
Do[z= z // (Subscript[m, 1,k->1]), {k,2,16}];z

Alexander[Knot[8,17]][t]