a={{1,0},{0,0}}; x={{0,1},{0,0}};

a // MatrixForm

x//MatrixForm

a.x-x.a // MatrixForm

e[α_,ξ_]:=MatrixExp[α a+ξ x];
e[α, ξ] // MatrixForm

e[(Subscript[α, 1]),(Subscript[ξ, 1])].e[(Subscript[α, 2]),(Subscript[ξ, 2])] // Simplify // MatrixForm

e[(Subscript[α, 3]),(Subscript[ξ, 3])]// MatrixForm

Solve[(((-1+(E^(Subscript[α, 1]))) (Subscript[ξ, 1]))/(Subscript[α, 1]))+(((E^(Subscript[α, 1])) (-1+(E^(Subscript[α, 2]))) (Subscript[ξ, 2]))/(Subscript[α, 2]))==(((-1+(E^(Subscript[α, 3]))) (Subscript[ξ, 3]))/(Subscript[α, 3])) /. (Subscript[α, 3])->(Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]),(Subscript[ξ, 3])]

Series[((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])) (-(Subscript[α, 2]) (Subscript[ξ, 1])+(E^(Subscript[α, 1])) (Subscript[α, 2]) (Subscript[ξ, 1])-(E^(Subscript[α, 1])) (Subscript[α, 1]) (Subscript[ξ, 2])+(E^((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]))) (Subscript[α, 1]) (Subscript[ξ, 2])))/((-1+(E^((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])))) (Subscript[α, 1]) (Subscript[α, 2]))),{(Subscript[α, 1]),0,2}, {(Subscript[α, 2]),0,2}]

((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])) (-(Subscript[α, 2]) (Subscript[ξ, 1])+(E^(Subscript[α, 1])) (Subscript[α, 2]) (Subscript[ξ, 1])-(E^(Subscript[α, 1])) (Subscript[α, 1]) (Subscript[ξ, 2])+(E^((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]))) (Subscript[α, 1]) (Subscript[ξ, 2])))/((-1+(E^((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])))) (Subscript[α, 1]) (Subscript[α, 2])))//Simplify