Pensieve header: Reproducing commutation relations from a representation, the classical case.

Code borrowed from pensieve://Talks/LesDiablerets-1708/PBWDemo.nb.

Representing (𝔤^ϵ).

ME=MatrixExp;
Simp[sol_] := Flatten[sol]/. C[_]->0/. (var_->val_) :> (var -> Simplify[PowerExpand@val]);

ρt=(({{1, 0}, {0, 1}}));  ρy=(({{0, 0}, {-ϵ, 0}}));  ρa=(({{(1+1/ϵ)/2, 0}, {0, -(1-1/ϵ)/2}})); ρx=(({{0, 1}, {0, 0}}));
Simplify@{ρa.ρx-ρx.ρa==ρx, ρa.ρy-ρy.ρa==-ρy, ρx.ρy-ρy.ρx==ρt-2ϵ ρa}

The 2-Stitch of Exponentials

ϕ={(Subscript[τ, 0])->-((Log[1-ϵ (Subscript[η, 2]) (Subscript[ξ, 1])])/ϵ)+(Subscript[τ, 1])+(Subscript[τ, 2]),(Subscript[η, 0])->(Subscript[η, 1])+(((E^(-(Subscript[α, 1]))) (Subscript[η, 2]))/(1-ϵ (Subscript[η, 2]) (Subscript[ξ, 1]))),(Subscript[α, 0])->2 Log[1-ϵ (Subscript[η, 2]) (Subscript[ξ, 1])]+(Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]),(Subscript[ξ, 0])->(((E^(-(Subscript[α, 2]))) (Subscript[ξ, 1]))/(1-ϵ (Subscript[η, 2]) (Subscript[ξ, 1])))+(Subscript[ξ, 2])};

Simplify[
ME[(Subscript[τ, 1])ρt].ME[(Subscript[η, 1])ρy].ME[(Subscript[α, 1])ρa].ME[(Subscript[ξ, 1])ρx].ME[(Subscript[τ, 2]) ρt].ME[(Subscript[η, 2])ρy].ME[(Subscript[α, 2])ρa].ME[(Subscript[ξ, 2])ρx]==ME[(Subscript[τ, 0]) ρt].ME[(Subscript[η, 0])ρy].ME[(Subscript[α, 0])ρa].ME[(Subscript[ξ, 0])ρx] /. ϕ]

Φ=Simplify[(Subscript[t, 0]) (Subscript[τ, 0]) + (Subscript[y, 0]) (Subscript[η, 0]) + (Subscript[a, 0]) (Subscript[α, 0]) + (Subscript[x, 0]) (Subscript[ξ, 0]) /. ϕ]

Collect[Limit[Φ, ϵ->0], {(Subscript[t, 0]), (Subscript[y, 0]), (Subscript[a, 0]),(Subscript[x, 0])}]

Reproducing the Commutation Relations

vp=τ|η|α|ξ;

Simplify@PowerExpand[((∂_((Subscript[α, 1]),(Subscript[ξ, 2])))(E^Φ)-(∂_((Subscript[ξ, 1]),(Subscript[α, 2])))(E^Φ)) /. {(Subscript[vp, _
]) -> 0}]

Simplify@PowerExpand[((∂_((Subscript[α, 1]),(Subscript[η, 2])))(E^Φ)-(∂_((Subscript[η, 1]),(Subscript[α, 2])))(E^Φ)) /. {(Subscript[vp, _
]) -> 0}]

bxy=Simplify@PowerExpand[((∂_((Subscript[ξ, 1]),(Subscript[η, 2])))(E^Φ)-(∂_((Subscript[η, 1]),(Subscript[ξ, 2])))(E^Φ)) /. {(Subscript[vp, _
]) -> 0}]

Associativity

(Subscript[m, i_->j_]):={(Subscript[(v:vp), i]):>(Subscript[v, j])};
(Subscript[m, i_->j_,k_]):=(ϕ /. {(Subscript[(v:vp), 0]):>(Subscript[v, i]), (Subscript[(v:vp), 1]):>(Subscript[v, j]),(Subscript[(v:vp), 2]):>(Subscript[v, k])});
{(Subscript[m, 2->3]), (Subscript[m, 2->3,4])}

lhs=Simplify[Φ /. (Subscript[m, 2->2,3])]

rhs=Simplify[Φ /. (Subscript[m, 2->3]) /. (Subscript[m, 1->1,2])]

FullSimplify[lhs==rhs]

Simplify[
FullSimplify[lhs==rhs] //. {Log[a_]+Log[b_] :> Log[a b],Log[a_]-Log[b_] :> Log[a/b]}
]