Pensieve header: The $sl_2^\epsilon$ dequantizator.

Code borrowed from Phi2CR-Classical.nb.

Representing (𝔤^ϵ).

ME=MatrixExp;
Simp[sol_] := Flatten[sol]/. C[_]->0/. (var_->val_) :> (var -> Simplify[PowerExpand@val]);

ρt=(({{1, 0}, {0, 1}}));  ρy=(({{0, 0}, {-ϵ, 0}}));  ρa=(({{(1+1/ϵ)/2, 0}, {0, -(1-1/ϵ)/2}})); ρx=(({{0, 1}, {0, 0}}));
Simplify@{ρa.ρx-ρx.ρa==ρx, ρa.ρy-ρy.ρa==-ρy, ρx.ρy-ρy.ρx==ρt-2ϵ ρa}

The 2-Stitch of Exponentials

ϕ={(Subscript[τ, 0])->-((Log[1-ϵ (Subscript[η, 2]) (Subscript[ξ, 1])])/ϵ)+(Subscript[τ, 1])+(Subscript[τ, 2]),(Subscript[η, 0])->(Subscript[η, 1])+(((E^(-(Subscript[α, 1]))) (Subscript[η, 2]))/(1-ϵ (Subscript[η, 2]) (Subscript[ξ, 1]))),(Subscript[α, 0])->2 Log[1-ϵ (Subscript[η, 2]) (Subscript[ξ, 1])]+(Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]),(Subscript[ξ, 0])->(((E^(-(Subscript[α, 2]))) (Subscript[ξ, 1]))/(1-ϵ (Subscript[η, 2]) (Subscript[ξ, 1])))+(Subscript[ξ, 2])};

Simplify[
ME[(Subscript[τ, 1])ρt].ME[(Subscript[η, 1])ρy].ME[(Subscript[α, 1])ρa].ME[(Subscript[ξ, 1])ρx].ME[(Subscript[τ, 2]) ρt].ME[(Subscript[η, 2])ρy].ME[(Subscript[α, 2])ρa].ME[(Subscript[ξ, 2])ρx]==ME[(Subscript[τ, 0]) ρt].ME[(Subscript[η, 0])ρy].ME[(Subscript[α, 0])ρa].ME[(Subscript[ξ, 0])ρx] /. ϕ]

Φ=Simplify[(Subscript[t, 0]) (Subscript[τ, 0]) + (Subscript[y, 0]) (Subscript[η, 0]) + (Subscript[a, 0]) (Subscript[α, 0]) + (Subscript[x, 0]) (Subscript[ξ, 0]) /. ϕ]

Collect[Limit[Φ, ϵ->0], {(Subscript[t, 0]), (Subscript[y, 0]), (Subscript[a, 0]),(Subscript[x, 0])}]

Finding the Dequantizator

Should satisfy x (OverHat[y])-q (OverHat[y])x=((1-(e^(ℏ(t-2ϵ a))))/ℏ) where q=(e^(ℏ γ ϵ)) (temporarily at γ=1).

The x(OverHat[y]) side

Simplify[(∂_(Subscript[ξ, 1]))(E^Φ)]

Simplify[(∂_(Subscript[ξ, 1]))(E^Φ)] /. {(Subscript[(τ|η|α|ξ), 1])->0, (Subscript[(v:(τ|η|α|ξ)), 2]):>v, (Subscript[(v:(t|y|a|x)), 0]):>v}

Makes x f[y,a-1]+(t-2 a ϵ+y ϵ (∂_y))(∂_y)f[y,a].

The q(OverHat[y])x side

Simplify[(∂_(Subscript[ξ, 2]))(E^Φ)]/. {(Subscript[(v:(τ|η|α|ξ)), 1]):>v, (Subscript[(τ|η|α|ξ), 2])->0, (Subscript[(v:(t|y|a|x)), 0]):>v}

Makes x (e^(ℏ ϵ))f[y,a].

The overall equation

x (f[y,a-1]-(e^(ℏ ϵ))f[y,a])+(t-2 a ϵ+y ϵ (∂_y))(∂_y)f[y,a]=((1-(e^(ℏ(t-2ϵ a))))/ℏ).

At ϵ=0 this is x (f[y,a-1]-f[y,a])+t(∂_y)f[y,a]=((1-(e^(ℏ t)))/ℏ), which is solved by f[y,a]=y((1-(e^(ℏ t)))/(ℏ t)).

With f[y,a]=(e^(-ℏ ϵ a))g[y] the equation becomes (t-2 a ϵ+y ϵ (∂_y))(∂_y)g[y]=(((e^(ℏ ϵ a))-(e^(ℏ(t-ϵ a))))/ℏ).

{sol}=DSolve[(t-2a ϵ)g'[y]+y ϵ g''[y]==(((E^(ℏ ϵ a))-(E^(ℏ(t-ϵ a))))/ℏ), g[y],y]

Simplify[g[y] /. sol /. C[_] -> 0]