Pensieve header: The Logos in the ucw order (automatic but messy degrees).

Implementing (Subscript[g, 1])

ϵ /: (ϵ^2)=0;
PBWRule={u->1,c->2,w->3};
Clear[Deg];
Evaluate[Deg /@ {b,c,u,w,ϵ}] = {1,0,1,0,1};
Deg[(Subscript[x_, _])]:=Deg[x];
B[U@c,U@w]=-(B[U@w,U@c]=U@w);
B[U@u,U@c]=-(B[U@c,U@u]=U@u);
B[U@w,U@u]=-(B[U@u,U@w]=b U[]-2ϵ U@c);

UU[l___,((x_)^(n_)),r___]:= UU[l,Sequence@@Table[x,{n}],r];
UU[l___,1,r___]:= UU[l,r];
UU[]=U[]; UU[l_,r___]:=U[l]**UU[r];(Subscript[U, i_])[ℰ_] := ℰ /. {b->(Subscript[b, i]), u_U :> Replace[u, x_ :> (Subscript[x, i]),1]};

B[x_,x_]=0;
B[U[(Subscript[(x_), i_])],U[(Subscript[(y_), i_])]]:=B[U[(Subscript[x, i])],U[(Subscript[y, i])]]=(Subscript[U, i])[B[U@x,U@y]];
B[U[(Subscript[(x_), i_])],U[(Subscript[(y_), j_])]] /; i=!=j := 0;
B[x_,y_] := x**y-y**x;

x_⪯y_:=OrderedQ[{x,y}/.PBWRule]; x_≺y_:=!OrderedQ[{y,x}/.PBWRule];
Simp[ℰ_]:= Collect[ℰ, _U, Expand];

Unprotect[NonCommutativeMultiply];
NonCommutativeMultiply[x_] := x;
0**_=_**0=0;
x_**U[]:=x; U[]**x_:=x;
(a_*x_U)**(b_*y_U) := If[a b === 0, 0, Simp[a b (x**y)]];
(a_*x_U)**y_ := Simp[a(x**y)]; x_**(a_*y_U) := Simp[a(x**y)];
(x_Plus)**y_ := (#**y)& /@ x; x_**(y_Plus) := (x**#)& /@ y;
U[x_]**U[y_] := If[x≺y, U[x,y], U[y,x]+B[U@x,U@y]];
U[x_] ** U[y1_,yy__] := If[x⪯y1,U[x,y1,yy],(U@x**U@y1)**U@yy];
U[xx__,xn_]**U[yy__] := U@xx**(U@xn**U@yy);

U[l___,((x_)^(n_)),r___]:= U[l,Sequence@@Table[x,{n}],r];
U[l___,1,r___]:= U[l,r];

(Subscript[bc, i_]):=(Subscript[b, i])U[]-ϵ U[(Subscript[c, i])];
(Subscript[a, i_,j_]):=(Subscript[bc, i])**U@(Subscript[c, j])+U@(Subscript[u, i])**U@(Subscript[w, j]);

UExp[ℰ_,n_]:=Module[{t=U[],k}, U[]+Sum[((t=t**ℰ)/(k!)), {k,n}]]//Simp

ToDegree[n_][ℰ_] := Normal[
Simp[ℰ] /. {ϵ->ℏ ϵ, (Subscript[b, i_]):>ℏ (Subscript[b, i]), b->ℏ b, x_U:>(ℏ^(Count[x,u|(Subscript[u, _])]))x} /. a_.x_U :>Series[a,{ℏ,0,n}]*x]

LBasis[n_Integer] := LBasis[Range[n]];
LBasis[S_] := DeleteCases[0]@Module[{i,j,k,l}, SortBy[(# /. {ϵ->2,(Subscript[c, _])->2,(Subscript[u, _])->2,(Subscript[w, _])->2, U->Times})&][
Union@Flatten[{{U[],ϵ U[]},
Table[{U@(Subscript[c, i]),U@(Subscript[u, i]),U@(Subscript[w, i]),ϵ U@(Subscript[c, i]),ϵ U@(Subscript[u, i]),ϵ U@(Subscript[w, i])}, {i,S}],
Table[{U[(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])],ϵ U[(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])],ϵ U@@Sort@{(Subscript[c, i]),(Subscript[c, j])},ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[c, i])],ϵ U[(Subscript[c, i]),(Subscript[w, j])]}, {i,S}, {j,S}],
Table[{ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[c, i]),(Subscript[w, k])],ϵ U@@Sort@{(Subscript[u, i]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, k])},ϵ U@@Sort@{(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, k])}}, {i,S}, {j,S},{k,S}],
Table[ϵ U@@Sort@{(Subscript[u, i]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, k]),(Subscript[w, l])}, {i,S}, {j,S},{k,S},{l,S}] }]
]]

BLBasis[n_Integer] := BLBasis[Range[n]];
BLBasis[S_] := DeleteCases[0]@Module[{i,j,k,l}, SortBy[(# /. {ϵ->2,(Subscript[c, _])->2,(Subscript[u, _])->2,(Subscript[w, _])->2, U->Times})&][
Union@Flatten[{{U[],ϵ U[]},
Table[{U@(Subscript[c, i]),ϵ U@(Subscript[c, i])}, {i,S}],
Table[{U[(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])],ϵ U[(Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])],ϵ U@@Sort@{(Subscript[c, i]),(Subscript[c, j])}}, {i,S}, {j,S}],
Table[{ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[c, i]),(Subscript[w, k])]}, {i,S}, {j,S},{k,S}],
Table[ϵ U@@Sort@{(Subscript[u, i]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, k]),(Subscript[w, l])}, {i,S}, {j,S},{k,S},{l,S}] }]
]]

𝕆[n_, poly_, specs___] := Module[{vs,us},
vs=Join@@(First /@ {specs});
us=Join@@({specs} /. (l_->s_) :> (l/.(Subscript[x_, i_]):>(Subscript[x, s])));
Total[
CoefficientRules[
Normal@Series[poly /. {ϵ->ℏ ϵ, (Subscript[b, i_]):>ℏ (Subscript[b, i])}/.Thread[vs->(ℏ^(Deg/@vs)) vs], {ℏ,0,n}], vs
] /. (p_->c_) :> c UU@@((us^p))
]
]

Testing (Subscript[g, 1])

Table[x->B[U@x,(Subscript[a, 1,2])], {x,{(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]),(Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[c, 3]),(Subscript[u, 3]),(Subscript[w, 3])}}] // Column

B[(Subscript[a, 1,3]),(Subscript[a, 2,3])]+B[(Subscript[a, 1,2]),(Subscript[a, 2,3])]+B[(Subscript[a, 1,2]),(Subscript[a, 1,3])]

{t1=B[(Subscript[a, 1,2]),(Subscript[a, 1,3])], t2=ϵ U@(Subscript[c, 3])**(Subscript[a, 1,2])-ϵ U@(Subscript[c, 2])**(Subscript[a, 1,3]), t1-t2} // Expand // Column

{t1=B[(Subscript[a, 1,3]),(Subscript[a, 2,3])], t2=(Subscript[bc, 2])**(Subscript[a, 1,3])-(Subscript[bc, 1])**(Subscript[a, 2,3]), t1-t2} // Expand // Column

{t1=(Subscript[a, 1,3])**(Subscript[a, 2,4])-(Subscript[a, 1,4])**(Subscript[a, 2,3]),
t2=(Subscript[a, 1,3])**(Subscript[bc, 2])**U@(Subscript[c, 4])-(Subscript[a, 2,3])**(Subscript[bc, 1])**U@(Subscript[c, 4])-(Subscript[a, 1,4])**(Subscript[bc, 2])**U@(Subscript[c, 3])+(Subscript[a, 2,4])**(Subscript[bc, 1])**U@(Subscript[c, 3]),
t1-t2
} // Column

LBasis[2]

bas=LBasis[2];Table[B[x,y]+B[y,x], {x,bas},{y,bas}] //Flatten//Union

bas=LBasis[2]; Timing[
Table[
{x,y,z}=xyz;
Simp[B[B[x,y],z]+B[B[y,z],x]+B[B[z,x],y]],
{xyz, Subsets[bas,{3}]}
] //Flatten//Union
]

Infinitesimal Spinner Relations

(Subscript[s, i_]):=((Subscript[b, i])/2)U[]-ϵ U[(Subscript[c, i])]

(Subscript[a, 1,2])

B[(Subscript[a, 1,2]),(Subscript[s, 1])]

B[(Subscript[a, 1,2]),(Subscript[s, 2])]

B[(Subscript[a, 1,2]),(Subscript[s, 1])+(Subscript[s, 2])]//Simplify

B[(Subscript[a, 1,3]),(Subscript[a, 2,3])]

Simplify[(Subscript[b, 1]) UU[(Subscript[u, 1]),(Subscript[w, 3])]-(Subscript[b, 1]) UU[(Subscript[u, 1]), (Subscript[w, 3])]+ϵ UU[(Subscript[c, 1]),(Subscript[u, 1]),(Subscript[w, 3])]-ϵ UU[(Subscript[u, 1]),(Subscript[c, 1]),(Subscript[w, 3])]]

Testing bi-local exponential relations in (Subscript[g, 0])

The Yang-Baxter Element.

c Relations.

B[U[c],U[u,w]]

𝕆[3, (E^(ℏ γ (Subscript[c, 0])+β (Subscript[u, 0]))),{(Subscript[u, 0]),(Subscript[c, 0])}->1]

𝕆[3, (E^(ℏ γ (Subscript[c, 0])+(E^(-ℏ γ))β (Subscript[u, 0]))),{(Subscript[c, 0]),(Subscript[u, 0])}->1]

With[{n=7}, Simp[𝕆[n, (E^(ℏ γ (Subscript[c, 0])+β (Subscript[u, 0]))),{(Subscript[u, 0]),(Subscript[c, 0])}->1]==𝕆[n, (E^(ℏ γ (Subscript[c, 0])+(E^(-ℏ γ))β (Subscript[u, 0]))),{(Subscript[c, 0]),(Subscript[u, 0])}->1]]]

With[{n=7}, Simp[𝕆[n, (E^(ℏ γ (Subscript[c, 0])+ℏ β (Subscript[w, 0]))),{(Subscript[w, 0]),(Subscript[c, 0])}->1]==𝕆[n, (E^(ℏ γ (Subscript[c, 0])+ℏ (E^(ℏ γ))β (Subscript[w, 0]))),{(Subscript[c, 0]),(Subscript[w, 0])}->1]]]

u,w,(e^u),(e^w).

With[{n=10},Simp[B[U@w,UExp[γ U@u,n]] + (b γ U[]-2γ ϵ U[c]+ϵ (γ^2)U[u])** UExp[γ U@u,n]]]

With[{n=7},Simp[B[U@u,UExp[γ U@w,n]] - (b γ U[]-2γ ϵ U[c]-ϵ (γ^2)U[w])** UExp[γ U@w,n]]]

(Subscript[M, uw]) Relations.

Muw[γ_,n_] := Expand[(∑_(k=0)^n)((γ^k)/(k!))UU[(u^k),(w^k)]]

Muw[γ,5]

𝕆[5,(E^(δ (Subscript[u, 0])(Subscript[w, 0]))), {(Subscript[u, 0]),(Subscript[w, 0])}->1]

With[{n=12},Muw[γ,n]**U[u]-Expand@((1-b γ-2 γ ϵ )U[u]+2 γ ϵ UU[c,u]-(((1-b γ))^(-1))(γ^2) ϵ U[u,u,w])**Muw[γ,n]] // Simplify // Expand

With[{n=7}, Simplify[B[U[w],Muw[γ,n]]+b γ Muw[γ,n]**U[w]]]

With[{n=7}, Simplify[
((∂_α)Muw[γ[α],n])-((γ'[α])/(1-b γ[α]))Muw[γ[α],n]**U[u,w]
]]

(Subscript[M, wu]) Relations.

Mwu[γ_,n_] := Expand[(∑_(k=0)^n)((γ^k)/(k!))UU[(w^k),(u^k)]]

With[{n=7}, {t1=Simplify[B[U[u],Mwu[δ,n]]-b δ Mwu[δ,n]**U[u]], t1//ToDegree[n]}]

With[{n=7}, {t1=Simp[B[U[w],Mwu[δ,n]]+b δ U[w]**Mwu[δ,n]], t1//ToDegree[n]}]

With[{n=7}, {t1=Simplify[
((∂_α)Mwu[α δ,n])-(δ/(1+b α δ))Mwu[α δ,n]**U[w]**U[u]
], t1//ToDegree[n]}]

With[{n=7}, Simplify[
((∂_α)Mwu[α δ,n])-(δ/(1+b α δ))Mwu[α δ,n]**(U[u,w]-b U[])
]]

(Subscript[M, wu]) and (Subscript[M, uw]).

With[{n=10, ν=(((1+b δ))^(-1))}, t1=Simp[
-Mwu[δ,n]+(ν(1-(ν^2)b (δ^2)ϵ)U[]+2(ν^2)δ ϵ U[c])**Muw[ν δ,n]+Expand@(-2(ν^4)b (δ^3) ϵU[u]+2 (ν^3)(δ^2) ϵ UU[c,u])**Muw[ν δ,n]**U[w]-((b (ν^5) (δ^4) ϵ)/2)U[u,u]**Muw[ν δ,n]**U[w,w]
]//ToDegree[n]]

Coefficient[t1, U[u,u,w,w]] /. ℏ->1

Series[((b (δ^4) ϵ)/(2(((1+b δ))^5))),{b,0,7}] // Normal

Simplify[((1/(1+b δ))+((-b (δ^2)ϵ)/(((1+b δ))^3)))]

Hard core uw relations.

With[{n=3}, Simp[
UExp[α ℏ U@w,n]**UExp[β U@u,n]-(E^(-b ℏ α β)) UExp[β U@u,n]**UExp[α ℏ U@w,n]
] // ToDegree[n]]

n=14; With[{ν=(((1+b δ))^(-1))},
LHS=Expand[(E^(b ℏ ν α β ))Sum[
(((((α ℏ))^n1)(δ^n2)(β^n3))/(n1!n2!n3!))UU[(w^(n1+n2)),(u^(n2+n3))],
{n1,0,n},{n2,0,n-n1},{n3,0,n-n1-n2}
]];
RHS=Expand[ν Sum[
(((((ν β))^n1)(((ν δ))^n2)(((ν α ℏ))^n3))/(n1!n2!n3!))UU[(u^(n1+n2)),(w^(n2+n3))],
{n1,0,n},{n2,0,n-n1},{n3,0,n-n1-n2}
]];
]

t1=With[{ν=(((1+b δ))^(-1))},Simp[ToDegree[14][-LHS+
RHS - (1/2) b ϵ (ν^2) (2 (δ^2)+4 α β δ ν+(α^2) (β^2) (ν^2))RHS+2 ϵ ν(δ+α β ν)U[c]**RHS-β (1+2 b δ) ϵ (ν^3) (2 δ+α β ν)U[u]**RHS+α ϵ (ν^3) (2 δ+α β ν)RHS**U[w]+Expand[2 β δ (ν^2) ϵ UU[c,u]]**RHS+2 α δ (ν^2) ϵ U[c]**RHS**U[w]-(1/2) (β^2) δ (2+3 b δ) ϵ (ν^4)U[u,u]**RHS+(1/2) (α^2) δ (2+b δ) ϵ (ν^4)RHS**U[w,w]-2 b (δ^2) ϵ (ν^3) (δ+α β ν)U[u]**RHS**U[w]+Expand[2 (δ^2) (ν^2) ϵ UU[c,u]]**RHS**U[w]-β (δ^2) (1+2 b δ) ϵ (ν^4)U[u,u]**RHS**U[w]+α (δ^2) (ν^4) ϵU[u]**RHS**U[w,w]-(1/2) b (δ^4)(ν^4) ϵ U[u,u]**RHS**U[w,w]
]]];
t1 /. ϵ->0

Expand[t1] /. a_.x_U /; (Count[x,u]+Exponent[a,b]+Exponent[a,α])>14 :> 0

Take[Cases[t1, _U, ∞] // Sort, 30]

t2=Collect[Coefficient[t1, U[w,w,w,w]] // Simplify, β, Simplify]

Sum[FindSequenceFunction[CoefficientList[
1-3 b δ+5 (b^2) (δ^2)-5 (b^3) (δ^3)+14 (b^5) (δ^5)-42 (b^6) (δ^6)+90 (b^7) (δ^7)-165 (b^8) (δ^8)+275 (b^9) (δ^9)-429 (b^10) (δ^10)
,b ] /. δ->1][k+1](((b δ))^k), {k,0,∞}]

t3=With[{ν=(((1+b δ))^(-1))}, Series[
(1/2) b (δ^4)(ν^5) ϵ,
{b,0,12}]] // Normal//Simplify

Series[t2-t3, {b,0,8}]

Simplify[β (δ^2) (1+2 b δ )(ν^4)ϵ]

Λ=With[{vs={1,(Subscript[u, 0]),(Subscript[w, 0]),(Subscript[u, 0]^2),(Subscript[w, 0]^2),(Subscript[u, 0]^2)(Subscript[w, 0]),(Subscript[u, 0])(Subscript[w, 0]^2),(Subscript[u, 0]^2)(Subscript[w, 0]^2),(Subscript[c, 0]),(Subscript[c, 0])(Subscript[u, 0]),(Subscript[c, 0])(Subscript[w, 0]),(Subscript[c, 0])(Subscript[u, 0])(Subscript[w, 0])}},
Table[(Subscript[a, i]),{i,Length@vs}].vs
]

With[{n=5, μ=1+(Subscript[b, 1])δ},ToDegree[n][
𝕆[n,(E^(ℏ α (Subscript[w, 0])+β (Subscript[u, 0])+δ (Subscript[u, 0])(Subscript[w, 0]))),{(Subscript[w, 0]),(Subscript[u, 0])}->1]-𝕆[n,(μ^(-1))(1+ϵ (μ^(-1))Λ)(E^((-(Subscript[b, 1])ℏ α β+ℏ α (Subscript[w, 0])+β (Subscript[u, 0])+δ (Subscript[u, 0])(Subscript[w, 0]))/μ)),{(Subscript[u, 0]),(Subscript[c, 0]),(Subscript[w, 0])}->1]
]] // Simp