The burau representation

(Subscript[burau, n_])[0]:=Table[0, {n},{n}];
(Subscript[burau, n_])[c_*(α_a|α_b|α_NonCommutativeMultiply)] := c*(Subscript[burau, n])[α];
(Subscript[burau, n_])[expr_Plus] := (Subscript[burau, n]) /@ expr;
(Subscript[burau, n_])[expr_NonCommutativeMultiply] := Dot@@((Subscript[burau, n]) /@ expr);
(Subscript[burau, n_])[b[x_,y_]] := (Subscript[burau, n])[x**y-y**x];
(Subscript[burau, n_])[a[i_,j_]] := Normal@SparseArray[
{{j,j}->(Subscript[b, i]), {i,j}->-(Subscript[b, i])}, {n,n}
];
deburau[m_] /; MatrixQ[m]∧(Equal@@Dimensions[m])∧({0}===Union[Simplify[Plus@@m]]) := Sum[
If[i==j,0,-m[[i,j]]a[i,j]/(Subscript[b, i])],
{i,Length@m},{j,Length@m}
];

(Subscript[burau, 5])[a[1,3]] // MatrixForm

(Subscript[burau, 5])[a[1,3]]//deburau

(Subscript[burau, 5])[a[1,2]**a[2,3]] // MatrixForm

(Subscript[burau, 5])[b[a[1,2],a[1,3]]]

(Subscript[burau, 5])[b[a[1,3],a[2,3]]]

(Subscript[burau, 5])[b[a[1,3],a[2,3]]]//deburau

(Subscript[burau, 5])[b[a[1,2],a[2,3]] + b[a[1,3],a[2,3]]]

The adjoint representation

(Subscript[ad, n_])[x_][y_] := deburau[(Subscript[burau, n])[x].(Subscript[burau, n])[y]-(Subscript[burau, n])[y].(Subscript[burau, n])[x]];

{(Subscript[ad, 5])[a[1,2]][a[3,4]], (Subscript[ad, 5])[a[1,3]][a[2,3]], (Subscript[ad, 5])[a[1,2]][a[2,1]]}

The Burau representation

(Subscript[Burau, n_])[x_] := MatrixExp[(Subscript[burau, n])[x]]

(Subscript[Burau, 3])[a[1,2]] // MatrixForm

MatrixForm /@ Simplify@{
(Subscript[Burau, 3])[a[1,2]].(Subscript[Burau, 3])[a[1,3]].(Subscript[Burau, 3])[a[2,3]], (Subscript[Burau, 3])[a[2,3]].(Subscript[Burau, 3])[a[1,3]].(Subscript[Burau, 3])[a[1,2]]
}

The Adjoint representation

(Subscript[Ad, n_])[x_][y_] := deburau[(Subscript[Burau, n])[x].(Subscript[burau, n])[y].Inverse[(Subscript[Burau, n])[x]]];

(#->Simplify@(Subscript[Ad, 4])[a[1,2]][#])& /@ {a[3,4], a[1,3], a[3,2], a[3,1], a[2,3],a[2,1]} // Column