{x,y} = {a[t,j,k], a[1,k,l]}

pows = NestList[B[x,#]&, y, 15]

states = Union[Cases[pows, s_a|s_β|s_γ|s_γa :> ReplacePart[s, 1->_], ∞]]

s=γ[_,j,k,l]

seq=Cases[{#},s, ∞]& /@ pows

sh=0; While[seq[[1]]==={}, ++sh; seq=Rest[seq]]; {sh,seq}

seq=Replace[seq,{{_[f_,___]}:>f, {}->0}, {1}]; seq

FindSequenceFunction[{-(t^2) (Subscript[b, j])-(t^2) (Subscript[b, k]),-(t^3) (Subscript[b, j]^2)-(t^3) (Subscript[b, j]) (Subscript[b, k]),-(t^4) (Subscript[b, j]^3)-(t^4) (Subscript[b, j]^2) (Subscript[b, k]),-(t^5) (Subscript[b, j]^4)-(t^5) (Subscript[b, j]^3) (Subscript[b, k]),-(t^6) (Subscript[b, j]^5)-(t^6) (Subscript[b, j]^4) (Subscript[b, k]),-(t^7) (Subscript[b, j]^6)-(t^7) (Subscript[b, j]^5) (Subscript[b, k]),-(t^8) (Subscript[b, j]^7)-(t^8) (Subscript[b, j]^6) (Subscript[b, k]),-(t^9) (Subscript[b, j]^8)-(t^9) (Subscript[b, j]^7) (Subscript[b, k]),-(t^10) (Subscript[b, j]^9)-(t^10) (Subscript[b, j]^8) (Subscript[b, k]),-(t^11) (Subscript[b, j]^10)-(t^11) (Subscript[b, j]^9) (Subscript[b, k]),-(t^12) (Subscript[b, j]^11)-(t^12) (Subscript[b, j]^10) (Subscript[b, k]),-(t^13) (Subscript[b, j]^12)-(t^13) (Subscript[b, j]^11) (Subscript[b, k]),-(t^14) (Subscript[b, j]^13)-(t^14) (Subscript[b, j]^12) (Subscript[b, k]),-(t^15) (Subscript[b, j]^14)-(t^15) (Subscript[b, j]^13) (Subscript[b, k])}]