dir=SetDirectory["C:/drorbn/AcademicPensieve/2014-05/MetaCalculi/"];
<< KnotTheory`
<< MetaCalculi-Program.m

General

SXForm[L=Link["L6a4"]]

Z[L]

α-Calculus

{(Subscript[Xp, a,b]), (Subscript[Xm, a,b])} // A

{(Subscript[Xm, 5,1])(Subscript[Xm, 6,2])(Subscript[Xp, 3,4])//A//dm[1,4,1] // dm[2,5,2] // dm[3,6,3],
 (Subscript[Xp, 6,1])(Subscript[Xm, 2,4])(Subscript[Xm, 3,5])//A//dm[1,4,1] // dm[2,5,2] // dm[3,6,3]}

α=(Subscript[Xm, 12,1])(Subscript[Xm, 2,7])(Subscript[Xm, 8,3])(Subscript[Xm, 4,11])(Subscript[Xp, 16,5])(Subscript[Xp, 6,13])(Subscript[Xp, 14,9])(Subscript[Xp, 10,15]) // A

α=(Subscript[Xm, 12,1])(Subscript[Xm, 2,7])(Subscript[Xm, 8,3])(Subscript[Xm, 4,11])(Subscript[Xp, 16,5])(Subscript[Xp, 6,13])(Subscript[Xp, 14,9])(Subscript[Xp, 10,15]) // A;
Do[α = α // dm[1,k,1], {k,2,16}]; α

Testing R3

{((Subscript[Xp, 1,2])//A)**((Subscript[Xp, 1,3])//A)**((Subscript[Xp, 2,3])//A), ((Subscript[Xp, 2,3])//A)**((Subscript[Xp, 1,3])//A)**((Subscript[Xp, 1,2])//A)}

Testing the KV Solution

The Hard R4 Equation

Print /@ {((Subscript[Xp, 2,3])//A)**((Subscript[Xp, 1,3])//A)**(V//A), (V//A)**(((Subscript[Xp, 1,3])//A) // dΔ[1,1,2])};

((Subscript[Xp, 2,3])//A)**((Subscript[Xp, 1,3])//A)**(V//A)==(V//A)**(((Subscript[Xp, 1,3])//A) // dΔ[1,1,2]) // Simplify

Unitarity

(V//A)**(Vi//A)  // αCollect[Simplify]

qΔ (“renormalized cabling”)

qΔ0[z_,x_,y_][α_A] := Module[{b,a},
Times[
V//A//dσ[1->b[x], 2->b[y]],
α//dΔ[z,x,y],
V//A//dA[1]//dA[2]//dσ[1->a[x], 2->a[y]]
] // dm[b[x],x,x] // dm[b[y],y,y] // dm[x,a[x],x] // dm[y,a[y],y]
]

(Subscript[Xp, 1,3])//A//qΔ0[1,1,2]//αCollect[Simplify]

((Subscript[Xp, 2,3])//A)**((Subscript[Xp, 1,3])//A)

(Subscript[Xp, 1,3])//A//qΔ[1,1,2]//αCollect[Simplify]

Clear[ω, α,θ,ϕ,Ξ];
α0=A[ω,{t[a],t[S]}.(({{α, θ}, {ϕ, Ξ}})).{h[a],h[S]}];
α1 = α0 // qΔ0[a,x,y]//αCollect[Simplify]

αCollect[(Simplify[#] /. (Subscript[c, x])+(Subscript[c, y]) -> (Subscript[c, a]))&][α1]

Clear[ω, α,θ,ϕ,Ξ];
α0=A[ω,{t[a],t[S]}.(({{α, θ}, {ϕ, Ξ}})).{h[a],h[S]}];
α0 // qΔ[a,x,y]//αCollect[Simplify]

Γ-Calculus

{(Subscript[Xp, a,b]), (Subscript[Xm, a,b])} // Γ

Meta-Associativity

n=4; γ0=Γ[ω, (∑_(a=0)^n)(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a]), (∑_(a=1)^n)(∑_(b=1)^n)(Subscript[t, a])(Subscript[h, b])(Subscript[α, 10a+b])]

γ0 // dm[1,2,1]//dm[1,3,1]

γ0 // dm[2,3,2]//dm[1,2,1]

(γ0 // dm[1,2,1]//dm[1,3,1])==(γ0 // dm[2,3,2]//dm[1,2,1])

Column Sums

Clear[α,β,γ,δ,θ,ϵ,ϕ,ψ,Ξ,μ,ω];
γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, b])(Subscript[σ, b])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, b]),(Subscript[t, S])}.(({{α, β, θ}, {γ, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, b]),(Subscript[h, S])}];
γ0 // dm[a,b,c]

{1,1}.(({{((-γ+β γ-α δ)/(-1+β)), ((-ϵ+β ϵ-δ θ)/(-1+β))}, {((-ϕ+β ϕ-α ψ)/(-1+β)), ((-Ξ+β Ξ-θ ψ)/(-1+β))}})) // Simplify

{1,1}.(({{((-γ+β γ-α δ)/(-1+β)), ((-ϵ+β ϵ-δ θ)/(-1+β))}, {((-ϕ+β ϕ-α ψ)/(-1+β)), ((-Ξ+β Ξ-θ ψ)/(-1+β))}})) /. {α->s1-γ-ϕ, δ->s2-β-ψ, Ξ->s3-θ-ϵ}// Simplify

{1,1}.(({{((-γ+β γ-α δ)/(-1+β)), ((-ϵ+β ϵ-δ θ)/(-1+β))}, {((-ϕ+β ϕ-α ψ)/(-1+β)), ((-Ξ+β Ξ-θ ψ)/(-1+β))}})) /. {α->s1-γ-ϕ, δ->s2-β-ψ, Ξ->s3-θ-ϵ} /. s1|s2|s3->1 // Simplify

Tangle Concatenation; Γ-inversion

n=3;{
γ1=Γ[ω1, (∑_(a=0)^n)(Subscript[h, a])(Subscript[σ1, a]), (∑_(a=1)^n)(∑_(b=1)^n)(Subscript[t, a])(Subscript[h, b])(Subscript[α, 10a+b])],
γ2=Γ[ω2, (∑_(a=0)^n)(Subscript[h, a])(Subscript[σ2, a]), (∑_(a=1)^n)(∑_(b=1)^n)(Subscript[t, a])(Subscript[h, b])(Subscript[β, 10a+b])],
FullStitch[γ1,γ2], γ1**γ2, FullStitch[γ1,γ2]==γ1**γ2}

((γ1)^(-1))

γ1**((γ1)^(-1))

γ1 //dS[1]//dS[2]//dS[3]

(γ1 //dS[1]//dS[2]//dS[3])==((γ1)^(-1)) // Simplify

Other

{(Subscript[Xm, 5,1])(Subscript[Xm, 6,2])(Subscript[Xp, 3,4])//Γ//dm[1,4,1] // dm[2,5,2] // dm[3,6,3],
 (Subscript[Xp, 6,1])(Subscript[Xm, 2,4])(Subscript[Xm, 3,5])//Γ//dm[1,4,1] // dm[2,5,2] // dm[3,6,3]}

γ=(Subscript[Xm, 12,1])(Subscript[Xm, 2,7])(Subscript[Xm, 8,3])(Subscript[Xm, 4,11])(Subscript[Xp, 16,5])(Subscript[Xp, 6,13])(Subscript[Xp, 14,9])(Subscript[Xp, 10,15]) // Γ

Do[γ = γ // (Subscript[dm, 1,k->1]), {k,2,10}]; γ

γ=(Subscript[Xm, 12,1])(Subscript[Xm, 2,7])(Subscript[Xm, 8,3])(Subscript[Xm, 4,11])(Subscript[Xp, 16,5])(Subscript[Xp, 6,13])(Subscript[Xp, 14,9])(Subscript[Xp, 10,15]) // Γ;
Do[γ = γ // dm[1,k,1], {k,2,16}]; γ

Z[Γ, Link["L6a4"]]

MVA[Γ, Link["L6a4"]]

Factor[(((MultivariableAlexander[#][T] /. T[i_] :> (Subscript[T, Skeleton[#][[i,1]]])))/(MVA[Γ, #]))]&  /@ AllLinks[{2,8}]

α↔Γ Convertions

{Xp[1,2] // Γ, Xp[1,2] //A // Γ}

{Xm[1,2] //A, Xm[1,2] // Γ // A}

Clear[α,β,γ,δ,θ,ϵ,ϕ,ψ,Ξ,μ,ω];
γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, b])(Subscript[σ, b])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, b]),(Subscript[t, S])}.(({{α, β, θ}, {γ, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, b]),(Subscript[h, S])}];
{γ0, γ0 // A,γ0//A//Γ, (γ0//A//Γ) /. {α->1-γ-ϕ, δ->1-β-ψ, Ξ->1-θ-ϵ}}

Clear[α,β,γ,δ,θ,ϵ,ϕ,ψ,Ξ,μ,ω];
γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, b])(Subscript[σ, b])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, b]),(Subscript[t, S])}.(({{α, β, θ}, {γ, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, b]),(Subscript[h, S])}];
{γ0 // dm[a,b,c] // A, γ0 // A // dm[a,b,c]} /. {α->1-γ-ϕ, δ->1-β-ψ, Ξ->1-θ-ϵ}

The KV solution in Γ, starting from α

V//A // αCollect[FullSimplify]

V//A//Γ // ΓCollect[Assuming[(Subscript[T, 1])>0 && (Subscript[T, 2])>0,(# /. {Sinh[x_] :>(( (E^x)-(E^(-x)))/2)}) // FullSimplify]&]

ΓSimp=Assuming[(Subscript[T, 1])>1 && (Subscript[T, 2])>1,(# /. {Sinh[x_] :>(( (E^x)-(E^(-x)))/2)}) // FullSimplify]&;
V//A//Γ

Γ[V]**Γ[Vi]

(1/(Log[(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])] (-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2]))))(-Log[(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])]+(Subscript[T, 2]) ((Sqrt[((Log[(Subscript[T, 1])] Log[(Subscript[T, 2])] Log[(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])] (-1+(Subscript[T, 1])) (Subscript[T, 1]) (-1+(Subscript[T, 2])))/(-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])))])+(Subscript[T, 1]) (Log[(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])]+(Sqrt[((Log[(Subscript[T, 1])] Log[(Subscript[T, 2])] Log[(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])] (-1+(Subscript[T, 2])))/((-1+(Subscript[T, 1])) (Subscript[T, 1]) (-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2]))))])-(Subscript[T, 1]) (Sqrt[((Log[(Subscript[T, 1])] Log[(Subscript[T, 2])] Log[(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])] (-1+(Subscript[T, 2])))/((-1+(Subscript[T, 1])) (Subscript[T, 1]) (-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2]))))])))) // PowerExpand // Simplify

(((-1+(Subscript[T, 2])) (-(-1+(Subscript[T, 1])) (Subscript[T, 1]) (Sqrt[((Log[(Subscript[T, 1])] Log[(Subscript[T, 2])] Log[(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])] (-1+(Subscript[T, 2])))/((-1+(Subscript[T, 1])) (Subscript[T, 1]) (-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2]))))])+(Sqrt[((Log[(Subscript[T, 1])] Log[(Subscript[T, 2])] Log[(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])] (-1+(Subscript[T, 1])) (Subscript[T, 1]) (-1+(Subscript[T, 2])))/(-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])))])))/(Log[(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])] (-1+(Subscript[T, 1])) (-1+(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2]))))//PowerExpand//Simplify

dS and dA for Γ, starting from α

Clear[α,θ,ϕ,Ξ,ω];
γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, S])}.(({{α, θ}, {ϕ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, S])}];
((γ0 // A// dS[a] // Γ)== (γ0 // A// dA[a] // Γ))/.{α->1-ϕ,  Ξ->1-θ}

(γ0 // A// dS[a] // Γ)

(γ0 // A// dA[a] // Γ)/.{ϕ->1-α,  Ξ->1-θ} // ΓCollect

(γ0 // dA[a])/.{ϕ->1-α,  Ξ->1-θ} // ΓCollect

(γ0 // A// dA[a] // Γ)==(γ0 // dA[a])/.{ϕ->1-α,  Ξ->1-θ} // Simplify

dΔ for Γ, starting from α

Clear[α,θ,ϕ,Ξ,ω];
γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, S])}.(({{α, θ}, {ϕ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, S])}];
((γ0 // A// dΔ[a,b,c] // Γ)/.{α->1-ϕ,  Ξ->1-θ}) // ΓCollect

Clear[α,θ,ϕ,Ξ,ω];
γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, S])}.(({{α, θ}, {ϕ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, S])}];
γ0 // A // dΔ[a,b,c] // dS[c] // dm[b,c,a]

qΔ for Γ, starting from α

Clear[α,θ,ϕ,Ξ,ω];
γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, S])}.(({{α, θ}, {ϕ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, S])}];
γ0 // A// qΔ[a,b,c] // Γ

Clear[α,θ,ϕ,Ξ,ω];
γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, S])}.(({{α, θ}, {ϕ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, S])}];
γ0 //qΔ[a,b,c]

Clear[α,θ,ϕ,Ξ,ω];
γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, S])}.(({{α, θ}, {ϕ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, S])}];
Simplify[(γ0 //qΔ[a,b,c])[[3]]==(γ0 // A// qΔ[a,b,c] // Γ)[[3]] /. {α->1-ϕ, θ->1-Ξ}]

qΔ tests for Γ

{t1=(Subscript[Xp, 1,3])//Γ//qΔ[1,1,2], t2=(ϵ[1](Subscript[Xp, 2,3])//Γ)**(ϵ[2](Subscript[Xp, 1,3])//Γ), t1==t2}

{t1=(Subscript[Xm, 1,3])//Γ//qΔ[1,1,2], t2=(ϵ[2](Subscript[Xm, 1,3])//Γ)**(ϵ[1](Subscript[Xm, 2,3])//Γ), t1==t2}

{t1=(Subscript[Xp, 3,1])//Γ//qΔ[1,1,2], t2=(ϵ[1](Subscript[Xp, 3,2])//Γ)**(ϵ[2](Subscript[Xp, 3,1])//Γ), t1==t2}

{t1=(Subscript[Xm, 3,1])//Γ//qΔ[1,1,2], t2=(ϵ[2](Subscript[Xm, 3,1])//Γ)**(ϵ[1](Subscript[Xm, 3,2])//Γ), t1==t2}

Clear[α,β,γ,δ,θ,ϵ,ϕ,ψ,Ξ,μ,ω];
{γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, b])(Subscript[σ, b])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, b]),(Subscript[t, S])}.(({{α, β, θ}, {γ, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, b]),(Subscript[h, S])}], γ0 // dm[a,b,c]}

γ0 // dm[a,b,c] // qΔ[c,c1,c2]

γ0 // qΔ[a,a1,a2] // qΔ[b,b1,b2] // dm[a1,b1,c1] // dm[a2,b2,c2]

(γ0 // dm[a,b,c] // qΔ[c,c1,c2]) == (γ0 // qΔ[a,a1,a2] // qΔ[b,b1,b2] // dm[a1,b1,c1] // dm[a2,b2,c2]) //Simplify

dS tests for Γ

{Xp[1,2]// Γ, Xm[1,2] // Γ // dS[1], Xm[1,2] // Γ // dS[2]}

{Xm[1,2]// Γ, Xp[1,2] // Γ // dS[1], Xp[1,2] // Γ // dS[2]}

Xp[1,2] // Γ // dS[1] // dS[2]

Clear[α,β,γ,δ,θ,ϵ,ϕ,ψ,Ξ,μ,ω];
{γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, b])(Subscript[σ, b])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, b]),(Subscript[t, S])}.(({{α, β, θ}, {γ, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, b]),(Subscript[h, S])}], t1=γ0 // dm[a,b,c] // dS[c], t2=γ0 // dS[a] // dS[b] // dm[b,a,c], t1==t2}

Clear[α,θ,ϕ,Ξ,ω];
γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, S])}.(({{α, θ}, {ϕ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, S])}];
FullSimplify[{1,1}.dS[a][γ0][A], And@@Thread[{1,1}.γ0[A]=={1,1}]]

{1,1}.dS[a][γ0][A] // Simplify

And@@Thread[{1,1}.γ0[A]=={1,1}]

Clear[α,θ,ϕ,Ξ,ω];
γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, S])}.(({{α, θ}, {ϕ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, S])}];
γ0 // dS[a] // dS[a]

Clear[α,θ,ϕ,Ξ,ω];
γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, S])}.(({{α[(Subscript[T, a])], θ[(Subscript[T, a])]}, {ϕ[(Subscript[T, a])], Ξ[(Subscript[T, a])]}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, S])}];
{(γ0 // dη[a])(ϵ[a]//Γ),γ0 // qΔ[a,b,c] // dS[c] // dm[b,c,a], γ0 // qΔ[a,b,c] // dS[c] // dm[c,b,a],
γ0 // qΔ[a,b,c] // dS[b] // dm[b,c,a], γ0 // qΔ[a,b,c] // dS[b] // dm[c,b,a]}

{Xp[S,a] // Γ, Xp[S,a] // Γ// qΔ[a,b,c] // dS[c] // dm[c,b,a]}

Clear[α,θ,ϕ,Ξ,ω];
γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, S])}.(({{α, θ}, {ϕ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, S])}];
{t1=γ0 // qΔ[a,b,c] // dS[b] // dS[c], t2=γ0 //dS[a]// qΔ[a,c,b], Simplify[t1==t2]}

dA tests for Γ

{Xp[1,2]// Γ, (Xm[1,2]// Γ) /. (Subscript[T, 1])->1/(Subscript[T, 1]), Xm[1,2] // Γ // dA[1] // dA[2]}

{Xm[1,2]// Γ, (Xp[1,2]// Γ) /. (Subscript[T, 1])->1/(Subscript[T, 1]), Xp[1,2] // Γ // dA[1] // dA[2]}

Clear[α,β,γ,δ,θ,ϵ,ϕ,ψ,Ξ,μ,ω];
{γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, b])(Subscript[σ, b])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, b]),(Subscript[t, S])}.(({{α, β, θ}, {γ, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, b]),(Subscript[h, S])}], t1=γ0 // dm[a,b,c] // dA[c], t2=γ0 // dA[a] // dA[b] // dm[b,a,c], t1==t2}

Clear[α,θ,ϕ,Ξ,ω];
γ0=Γ[ω,(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a])+(Subscript[h, S])(Subscript[σ, S]), {(Subscript[t, a]),(Subscript[t, S])}.(({{α, θ}, {ϕ, Ξ}})).{(Subscript[h, a]),(Subscript[h, S])}];
{t1=γ0 // qΔ[a,b,c] // dA[b] // dA[c], t2=γ0 //dA[a]// qΔ[a,b,c], Simplify[t1==t2]}

n=4; γ0=Γ[ω, (∑_(a=0)^n)(Subscript[h, a])(Subscript[σ, a]), (∑_(a=1)^n)(∑_(b=1)^n)(Subscript[t, a])(Subscript[h, b])(Subscript[α, 10a+b])]

γ0 // dA[1]//dA[2]//dA[3]//dA[4]

(γ0 // dA[1]//dA[2]//dA[3]//dA[4])**γ0

((Subscript[α, 14]) (Subscript[α, 23]) (Subscript[α, 32]) (Subscript[α, 41])-(Subscript[α, 13]) (Subscript[α, 24]) (Subscript[α, 32]) (Subscript[α, 41])-(Subscript[α, 14]) (Subscript[α, 22]) (Subscript[α, 33]) (Subscript[α, 41])+(Subscript[α, 12]) (Subscript[α, 24]) (Subscript[α, 33]) (Subscript[α, 41])+(Subscript[α, 13]) (Subscript[α, 22]) (Subscript[α, 34]) (Subscript[α, 41])-(Subscript[α, 12]) (Subscript[α, 23]) (Subscript[α, 34]) (Subscript[α, 41])-(Subscript[α, 14]) (Subscript[α, 23]) (Subscript[α, 31]) (Subscript[α, 42])+(Subscript[α, 13]) (Subscript[α, 24]) (Subscript[α, 31]) (Subscript[α, 42])+(Subscript[α, 14]) (Subscript[α, 21]) (Subscript[α, 33]) (Subscript[α, 42])-(Subscript[α, 11]) (Subscript[α, 24]) (Subscript[α, 33]) (Subscript[α, 42])-(Subscript[α, 13]) (Subscript[α, 21]) (Subscript[α, 34]) (Subscript[α, 42])+(Subscript[α, 11]) (Subscript[α, 23]) (Subscript[α, 34]) (Subscript[α, 42])+(Subscript[α, 14]) (Subscript[α, 22]) (Subscript[α, 31]) (Subscript[α, 43])-(Subscript[α, 12]) (Subscript[α, 24]) (Subscript[α, 31]) (Subscript[α, 43])-(Subscript[α, 14]) (Subscript[α, 21]) (Subscript[α, 32]) (Subscript[α, 43])+(Subscript[α, 11]) (Subscript[α, 24]) (Subscript[α, 32]) (Subscript[α, 43])+(Subscript[α, 12]) (Subscript[α, 21]) (Subscript[α, 34]) (Subscript[α, 43])-(Subscript[α, 11]) (Subscript[α, 22]) (Subscript[α, 34]) (Subscript[α, 43])-(Subscript[α, 13]) (Subscript[α, 22]) (Subscript[α, 31]) (Subscript[α, 44])+(Subscript[α, 12]) (Subscript[α, 23]) (Subscript[α, 31]) (Subscript[α, 44])+(Subscript[α, 13]) (Subscript[α, 21]) (Subscript[α, 32]) (Subscript[α, 44])-(Subscript[α, 11]) (Subscript[α, 23]) (Subscript[α, 32]) (Subscript[α, 44])-(Subscript[α, 12]) (Subscript[α, 21]) (Subscript[α, 33]) (Subscript[α, 44])+(Subscript[α, 11]) (Subscript[α, 22]) (Subscript[α, 33]) (Subscript[α, 44]))==Det[(({{(Subscript[α, 11]), (Subscript[α, 12]), (Subscript[α, 13]), (Subscript[α, 14])}, {(Subscript[α, 21]), (Subscript[α, 22]), (Subscript[α, 23]), (Subscript[α, 24])}, {(Subscript[α, 31]), (Subscript[α, 32]), (Subscript[α, 33]), (Subscript[α, 34])}, {(Subscript[α, 41]), (Subscript[α, 42]), (Subscript[α, 43]), (Subscript[α, 44])}}))]

Θ tests

Θ[1,2] // A

(V//A)**(Θ[1,2] // A)

(Xp[1,2] // A)**(V//A//dσ[1->2,2->1])

(V//A)**(Θ[1,2] // A) == (Xp[1,2] // A)**(V//A//dσ[1->2,2->1]) //Simplify

{t1=Θ[1,2] // A // Γ,t2=Θi[1,2] // A // Γ, t1**t2}

(V//A)**(Θi[1,2] // A) == (Xm[2,1] // A)**(V//A//dσ[1->2,2->1]) //FullSimplify

(Θ[1,2] // A)==(Vi//A)**(Xp[1,2] // A)**(V//A//dσ[1->2,2->1]) //Simplify

(Xp[2,1] // A)==(V//A//dσ[1->2,2->1])**(Θ[1,2] // A)**(Vi//A) //Simplify